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在切线上任意一点测设曲线的方法

一、 问题提出
随着国民经济的高速发展，铁路、公路特别是现代化高速公路的修建越来越多。对铁路和高等级公路测量来说，缓和曲线的设置是整个线路的组成部分。测量工作者如何因地制宜地选择经济、合理、快速的测量方法，是测量工作者需要不断探索的。
众所周知，测设曲线的方法有偏角法、切线支距法等多种方法。这些方法在地形、通视条件、以及曲线元素适宜的情况下，都得到了广泛应用。但在上述条件受到限制时，这些测设方法又存在着许多不足之处。鉴于以上原因，作者提出了在切线的任意一点测设曲线的方法，它可以避开不利的地形、障碍物等因素的影响。在切线上任意一点上测设整个曲线。
二、 测设元素аP、SP的计算
如（图一）所示，根据现场地形、通视及曲线元素等条件，在曲线两切线的任一条上选一A点，并量测ZH（直缓）点到A点的长度TA，将仪器置于A点，后视ZH点，顺时针拨所计算的аP角，并测距离SP，即可定出曲线上任意一点P的位置。用同样的方法，可将曲线上全部所需点定出。
（一） ZH～HY段上任意点的测
在（图一）中，建立ZH点为原点，过ZH点的缓和曲线为X轴，ZH点上缓和曲线的半径为Y轴的直角坐标系，P为缓和曲线上任意一点，Li为ZH点到P点的缓和曲线长度，Lo为缓和曲线长度。
根据《工程测量学》（上）以曲线长Li为参数的缓和曲线方程形式：
X=Li-Li5/40R2Lo2+ Li9/3456R4Lo4- ……
Y= Li3/6RLo- Li7/336R3Lo3+ Li11/4224R5Lo5- …… （1）

实际上，可只取前一、二项即可满足要求。（1）式参数方程变为：
x=Li-Li5/40R2Lo2
y= Li3/6Rlo （2）
在图一坐标系中，切线上任一点A的坐标为：（TA、O）
根据A点坐标和缓和曲线上任意点P点参数方程联立起来可求得点A（即测站）和缓和曲线上任意点P点的连线的距离Sp，及该连线和切线的夹角аp。以аp为测量元素，用极坐标法可测定P点。
аp=tg-1（YP/∣XP-XA∣） （3）
Sp=[YP2+（XP-XA）]1/2 （4）
当在A点测定HY点时，Li=Lo。P点坐标（XHY，YHY）
XHY=Lo-Lo3/40R2
YHY=Lo2/R6 （5）
为了实际测设方便，在测设时应注意，аp角是由ZH点顺时针方向至P点。在设计计算程序时，当（3）式中的XP-XA﹤0时，测站拨角为аp。当式中的XP-XA﹥0时，测站拨角应为180O-аp。

（二） 园曲线上任意点的测设
对于园曲线来讲，如（图二）所示，仍用上述直角坐标系。设P为园曲线上任意一点，Li为由ZH点到P点的弧长，Lo为缓和曲线长。根据《工程测量学》园曲线以Li为参数的方程式：
X=Li-0.5Lo- （Li-0.5Lo）3/6R2+…m
Y=（Li-0.5Lo）2/2R- （Li-0.5Lo）4/24R3+…p （6）
通过测站点A点坐标（TA，O）和园曲线上任意点P的坐标（Xp，Yp），用同样的方法求аp和Sp，用此法可一直定出YH点。
（三） YH～HZ段缓和曲线上任意点的测设
在（图一）中，在另一条切线上建立以HZ点为原点O′，以缓和曲线切线方向为x′轴，HZ点上缓和曲线的半径为y′轴的直角坐标系x′o′y′，其目的是将A点坐标换算至x′o′y′坐标系中的xA，yA。
在x′o′y′坐标系中，缓和曲线方程省略形式仍然为：
x′= Li-Li5/40R2Lo2
y′= Li3/6Rlo （7）
式中：R为园曲线半径；Li为缓和曲线上任意一点至HZ点的弧长；Lo为缓和曲线长度。测站A点在x′o′y′坐标式系中坐标为（x′A，y′A），连接A、HZ连接两点，并且由A点向A点向x′作垂线交于B点。
由图可知：（а为线路的偏角）
x′A=T+（T-TA）cosа
y′A=（T-TA）sinа （8）
A点于公式（7）联立同样可以计算YH～HZ段上任意点P的测设元素。
аP=ctg-1（∣y′P-y′A∣/∣x′P-x′A∣）
SP=[( x′P-x′A)2+（y′P-y′A）]1/2
当x′P-x′A≤0时，测站顺时针拨为：2700-аp-а。
当x′P-x′A＞0时，测站顺时针拨为：900-аp-а。
三、 结束语
该方法灵活性、适应性强，可根据实际地形，通视及所给定的曲线元素，在切线上灵活地选择最有利的的观测点，可避开障碍物，甚至是连续的障碍物。
在测距仪甚至是全站仪使用比较普遍的情况下，发挥测距仪测距的准确、快速的优越性，避免量测误差的积累，提高了测量精度。
架设一次仪器即可将整个曲线测设完毕，提高了工作效率。
该方法看起来计算较为烦琐，便携式微机普及的今天，设计一个计算程序，应用起来是比较方便的。
在测设曲线时，因各点者是孤立的，就需要在计算和操作时格外细心。
笔者用BASIC语言编制了一计算程序，由3个实际算例通过手工计算和微机计算结果进行了对比，结果中的微小误差是因取舍所致，证明计算程序可靠。
微机操作时，先输入R、a、Lo、TA和DKZH（既ZH点的里程），采用人机对话的形式输入任一点里程DKP。输出DKP、SP 、aP其中SP是曲线上任一点到测站的距离，aP是测站后视ZH点顺时针所拨角度。
附微机及手工计算结果比较表
参考文献：李青岳《工程测量学》（上）

手 工 计 算
计算机计算
曲线元素
桩号
里 程
坐标
aP
SP
aP
SP
x
y
x′
y′
° ′ ″
m
° ′ ″
m
R=1200
a=19°7′41″
Lo=20
TA=150
T=212.21
ZH
29+979.45
150.00
0

0 00 00
150.00
0 00 00
150.00
HY
29+999.45
19.99986
0.05556

0 01 28.2
130.00
0 01 28.1
130.00
QZ
30+189.78
209.39948
16.696876

164 17 58.6
61.701
164 17 57.4
61.698
YH
30+880.1
393.7499

165 29 59.3
251.770
165 29 59.3
251.770
HZ
30+400.1

270.98470
20.38672
165 10 21
271.750
165 10 21.3
271.749

R=600
a=52°24′36″
Lo=40
TA=200
T=315.36
ZH
21+687.35
200.00
0

0 00 00
200.000
0 00 00
200.000
HY
21+727.35
39.99556
0.44444

0 09 32.9
160.005
0 09 32.9
160.005
QZ
21+981.77
284.85261
61.77239

142 56 44
104.956
143 56 42.8
104.956
YH
22+236.19
480.36763
219.08277

142 07 21.1
355.198
142 07 20.7
355.198
HZ
22+276.19

385.73039
91.41082
140 55 19
369.414
142 55 17.7
369.409
手工计算与计算机计算结果比较表

手工算例：R=800米 a=17°17′56″ T=136.700 L=30米 TA=95米
点 名
桩 号
角 度
距 离

° ′ ″
米
ZH
9+913.97
0 01 14.7
78.970

9+930
0 09 54.9
65.001
HY
9+943097
0 45 31.8
48.982

9+960
3 18 11.2
29.053

9+980
19 26 11.9
9.611

10+000
154 16 18
12.026

10+020
154 50 20.2
31.634

10+040
167 57 57.5
51.578

10+060
168 30 21.9
71.568

10+080
168 29 50.8
91.566

10+100
168 14 06.2
115.558

10+120
167 50 04.8
131.536

10+140
167 27 54.1
147.017
YH
10+155.51
167 21 07.2
151.503

10+160
166 43 09.9
176.949
HZ
10+185.51