【立体设计】2012高考数学-第九章-3-空间点、线、面之间的位置关系课后限时作业-理(通用版).doc

2012高考立体设计理数通用版第九章 3 空间点、线、面之间的位置关系课后限时作业

一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q、b、β之间的关系可写作 ( )
A.Q∈b∈β B.Q∈bβ
C.Qbβ D.Qb∈β
解析：直线与平面均视为点的集合.
答案：B
2.下列四个命题中，真命题的个数为 （ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若M∈α,M∈β,α∩β=l，则M∈l;
(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：命题（1）（2）（4）错误，只有(3)是真命题.
答案：A
3.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
解析：若两条直线异面，则两条直线无公共点；反之，若两条直线无公共点，两直线未必异面(还可能平行)．
答案：A
4.一个正方体的六个面把空间分成 ( )
Ａ．3个部分 Ｂ．9个部分
Ｃ．18个部分 Ｄ．27个部分
解析：上下两面把空间分成三层，而每一层被分为9个部分，共27个部分.
答案：D
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是 ( )
A． B． C． D．
解析：由于AD∥BC，连结C1D，在Rt△DEC1中，cos∠DEC1为所求角的余弦值，为．
答案：C
6.下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是 ( )
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
解析：①BM与ED异面；②CN与BE是平行直线；③CN与BM是面对角线，成60°角；④DM是面对角线，BN是体对角线，成90°．
答案：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7.若点A∈平面α，点B平面α，则直线AB与平面α内的直线的位置关系可能是 .
解析：当平面α内的直线过点A时，AB与它相交.当平面α内的直线不过点A时，AB与它异面.
答案：相交或异面
8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为 .（注：把你认为正确的结论的序号都填上）
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
答案：③④
9.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则

①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）
解析：由平行平面的性质可得①；当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形；③④显然正确．
答案：①③④
10.已知a、b为不垂直的两条异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及直线外一点.在上面的结论中，正确结论的编号是 .(写出所有正确结论的编号)
解析：当a、b在平面α上的射影为同一条直线时，必有a∥b或a与b相交，这与a与b为不垂直的异面直线相矛盾，故③错误.
答案：①②④
三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
11．如图，已知E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：EF、HG、DC三线共点．

证明：易证：HE∥BC1，GF∥BC1，且HE＝BC1，GF＝BC1.
则HE∥GF，且GF＝HE.
由此，E、F、G、H四点共面，并且HG交EF交于一点，设为点K.
则点K既在面C1D中，也在面AC中，则点K一定在两面交线DC上，
则EF、HG、DC三线共点于K.
12．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1.

(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E、F分别是AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解：(1)如图，连结AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的锐角或直角∠B1CA就是A1C1与B1C所成的角．

由AB1＝AC＝B1C可知，∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图，连结AC、BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
可知A1ACC1是平行四边形，
因此AC∥A1C1，
则AC与EF所成的锐角或直角就是A1C1与EF所成的角．
因为EF是△ABD的中位线，
所以EF∥BD.
又因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角为90°.
B组
一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
1.若P为两条异面直线l，m外的任意一点，则 ( )
Ａ．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
Ｂ．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
Ｃ．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
Ｄ．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
解析：异面直线l，m平移成相交直线，确定一个平面，过平面外一点只能作一条直线与平面垂直，垂直平面即垂直于直线l，m．
答案：B
2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是 ( )

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
解析：AC⊥平面BDD1B1，BE平面BDD1B1，则AC⊥BE；EF∥BD，EF平面ABCD，则EF∥平面ABCD；三棱锥A-BEF以△BEF为底面，面积不变为S=EF·BB1，其棱锥高h=AC不变，由体积公式知三棱锥A-BEF的体积为定值．选Ｄ．
答案：D
二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
3.空间四边形ABCD的两条对角线AC和BD的长分别为6和4，它们所成的角为90°，则四边形两组对边中点的距离等于 ．
解析：连结两组对边中点，构成直角三角形.由三角形中位线定理得，两直角边长分别为3和2，解得对边中点的距离为.
答案：
4.空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是 .
解析：如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0；将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝，如图②.故AC的取值范围是0<AC<.

答案：
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
5.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：
（１）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
（２）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
（３）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

解：（1）当E，F，G，H分别为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形，证明如下：
因为E，H分别是AB，AD的中点，

（2）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC时，
四边形EFGH为矩形．
（3）当E，F，G，H分别为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，
四边形EFGH为正方形．

（１）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（２）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

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用心 爱心 专心