必修五第3章高考真题.doc

第三章 不等式
高考真题
1．(2011·重庆高考)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 (　　)．
A. B．4 C. D．5
解析　∵a＋b＝2，∴＝1，
∴＋＝＝＋≥＋2 ＝(当且仅当＝，即b＝2a时，
“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.
答案　C
2．(2011·山东高考)设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝ (　　)．
A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]
解析　M＝{x|(x＋3)(x－2)＜0}＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．
答案　A
3．(2011·浙江高考)设实数x，y满足不等式组
且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是 (　　)．
A．14 B．16 C．17 D．19
解析　作出可行域，如图中阴影部分所示，
点A(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)
符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1
＝16.
答案　B
4．(2011·辽宁高考)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (　　)．

A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析　当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x＞1时，由1－log2 x≤2，知x≥，
即x＞1，所以满足 f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
答案　D
5．(2011·湖南高考)设m>1，在约束条件 下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
解析　根据约束条件画出可行域如图，目标函数
化为斜截式为y＝－x＋.当目标函数过y＝mx
与x＋y＝1的交点时，z有最大值，联立
得交点坐标为， 代入
目标函数得z＝＋5·＝4，解得m＝3.
答案　3
6．(2011·上海高考)不等式≤3的解集为________．
解析　原不等式等价于－3≤0⇔≤0⇔≥0⇔x(2x－1)≥0且x≠0，解得
x≥或x＜0.
答案　
7．(2011·安徽高考)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明loga b＋logb c＋logc a≤logb a＋logc b＋loga c.
证明　(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而原不等式成立．
(2)设loga b＝x，logb c＝y，由对数的换底公式得logc a＝，logb a＝，logc b＝，loga c＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.
又由于1＜a≤b≤c，所以x＝loga b≥1，y＝logb c≥1.
故由(1)知所要证明的不等式成立．
8．若对任意x＞0，≤a恒成立，求实数a的取值范围．
解　＝，因为x＞0，
所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
所以有≤＝，
即的最大值为，故a≥.