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第3章 左半张量积与矩阵映射
本章主要研究矩阵左半张量积的性质.首先证明几乎所有普通矩阵乘法的重要性质都可以推广到左半张量积.接着利用左半张量积研究矩阵的线性和多项式映射.再根据矩阵映射的性质得出左半张量积的一些新性质.最后讨论普通矩阵乘法、张量积和左半张量积之间的转化.
3.1 基 本 性 质
本章讨论左半张量积的一些基本性质.不难看出，当普通矩阵乘法推广到左半张量积时，几乎所有的乘法性质都保留下来了.左半张量积的生命力正在于此.
命题3.1.1 设和是两个具有合适维数的矩阵，则
（3.1.1）
证明 通过简单计算可知，对于具有合适维数的行向量和列向量，有
(3.1.2)
考虑.记的第行为，的第列为，则显然的第块就是

此时，的第块是

由式（3.1.2）可以看出，的第块的转置就是的第块，于是命题得证.
下面的命题说明两个矩阵的左半张量积可以很容易地用它们的普通积加上张量积来实现.
命题 3.1.2 （1）如果则
（3.1.3）
(2) 如果则
（3.1.4）
证明 根据命题2.3.2，不失一般性，对于矩阵和，我们可以假设则可以通过直接计算验证等式成立.
命题3.1.2是很基本的理论，半张量积的很多性质都可以由它得到.下面的命题可以认为是命题3.1.2的直接结论.
命题3.1.3 给定两个具有合适维数的方阵，使得有定义，则
(1)和有相同的特征函数；
(2)
(3) 如果A或B可逆，则这里，“~”表示矩阵相似；
(4)如果A和B都是上三角阵（下三角阵、对角阵、正交阵），则也同样是上三角阵（下三角阵、对角阵、正交阵）；
（5）如果A和B都可逆，则也可逆，并且
（3.1.5）
（6）如果则
（3.1.6）
如果则
（3.1.7）
证明 利用式（3.1.3）和式（3.1.4）将左半张量积转化为矩阵普通乘法和张量积的形式，很容易就得到上面的性质.我们证明（5）作为示例.设则

下面的命题表明换位矩阵也可以交换块结构数组的各块的位置.
命题 3.1.4 （1）设

是每个分块都有相同维数的矩阵，它是由指标按照索引排列的，则

是按照索引排列的.
（2）设

是由具有相同维数的分块排成一列的矩阵，由按照索引排列，则

是按照索引排列的.
证明 如果是列向量或者是行向量，由命题1.5.3可直接得到结果（见习题1.13）.
利用命题3.1.2可以看出，根据左半张量积，换位矩阵也可以实现分块的重新排列.
一个矩阵和单位阵I的左半张量积有一些特殊的性质.粗略地说，当I的大小小于或等于矩阵M的大小（这里，大小指的是行数或列数，分别对应于I左乘或右乘M）时，它就是一个单位阵.当I的大小大于M的大小时，它将会扩大M.
命题3.1.5 （1）设M是一个矩阵，则
（3.1.8）
（2）设M是一个矩阵，则
（3.1.9）
（3）设M是一个矩阵，则
（3.1.10）
（4）设M是一个矩阵，则
（3.1.11）
证明 所有的等式都可以利用命题3.1.2直接推导出来（我们将具体的验证留给读者）.
下面的命题说明左半张量积可以用来将一些有关矩阵的线性映射表示成它们的展开式的线性映射.在下一节里，我们将会讨论另一种表示.
命题3.1.6 设则
（3.1.12）
（3.1.13）
证明 对于式（3.1.12），令并且记A的第行为根据命题2.3.2，等式右边的第块就是

于是，式（3.1.12）成立.再来证明式（3.1.13），对式（3.2.11）应用式（1.5.4），就有

注意到，式（3.1.12）形如一个向量空间（例如等）上的线性映射.实际上，当X是一个向量时，式（3.1.12）就变成一个线性映射的标准形式.这也从另一方面表明左半张量积是普通矩阵乘法的推广.
利用式（3.1.12）和式（3.1.13）可以得到一个矩阵多项式的矩阵表示，下面就是一个直接结果，我们将详细证明留给读者.
推论3.1.1 设X是一个方阵，是一个多项式，则可以表示成的形式，并且
（3.1.14）

3.2 矩阵的映射
第1章中我们已经讨论了矩阵的行展开和列展开，有时将矩阵表示成向量形式会给我们带来很多的方便.本节我们将考虑矩阵表示成向量时，一个矩阵函数（特别是线性函数）的表示.我们称之为矩阵映射的展开表示.
从向量空间V到向量空间W的线性映射是指满足线性条件的映射，即

为方便，我们记为由向量空间V到向量空间W的线性映射全体.作为特例，矩阵集合到矩阵集合的线性映射的全体记作
我们从几个例子开始.
例 3.2.1 （1）（Lyapunov映射）给出一个方阵考虑如下映射定义为
(3.2.1)
说一个矩阵是Hurwitz阵，如果它的所有特征值都具有负实部.大家都知道是一个Hurwitz阵，当且仅当对于任意一个负定矩阵有一个正定解.作为向量空间上的线性映射，有一个矩阵表示
（3.2.2）
这种矩阵表示的确切含义就是
（3.2.3）
（2）（辛映射）矩阵当且仅当其中，

一般，我们考虑广义辛映射

可以证明的解构成一个李代数，并且是李群

的李代数，而且对于任意的存在一个非零解X，即0为的一个特征值.
在式（3.2.3）中，矩阵表示成列展开形式，我们使用上标c来表示.同样，当矩阵表示成行展开时，我们也有一个矩阵表示，即

下面的命题表明，上述两种矩阵表示可以很容易地互相转换，即其中一种矩阵表示可由另一种得到.
命题3.2.1 设则
（3.2.5）
特别，如果则式（3.2.5）就变成
（3.2.6）

证明 考虑(3.2.5)中第一式.根据命题1.5.2，我们可以通过三个步骤得到.首先，用将的行展开转化为列展开；然后作映射.最后，用将的列展开转化为行展开.
第二式可由第一式利用得到.
根据式（3.2.5），和中的任一个都可以轻易的由另一个得到.这里我们约定，如果没有特别说明，当说展开时值得都是.
设，我们考虑一般的线性映射，定义如下：
(3.2.7)
其中
对于这种一般形式，我们有以下命题.
命题 3.2.2 式(3.2.7)的矩阵表示是
（3.2.8)
证明 首先列出4种基本线性映射的矩阵表示（相应矩阵的维数同上），如表3.2.1所示
表3.2.1 列展开表示

前两种映射是大家比较熟悉的，它们都可以通过直接计算验证.对于第三种映射，有

而对于最后一个，可以证明
.
将式(3.2.7)看做是两个复合线性映射的线性组合，由上面这些映射的矩阵表示就可以得到式(3.2.7)每一项的矩阵表示.另外注意到，对于复合映射，它的维数需要根据乘积中间的矩阵大小来调整，于是有

立即就得到了式(3.2.8)
下面我们给出一个数值例子说明上面的公式.
例 3.2.2 设，且

（1）设，使得，则

因此，
(3.2.9)
直接计算有

这就说明式(3.2.9)是正确的.
（2）设使得，则

因此，
(3.2.10)
直接计算得到

这验证了式（3.2.10）的正确性.
（3）设，使得，注意到

于是，

因此，
(3.2.11)
直接计算得到

它验证了式（3.2.11）的正确性.
（4）设使得，则

因此，
（3.2.12）
直接计算有

这验证了式（3.2.12）是正确的.
（5）设使得，利用式(3.2.8)得到

因此，
（3.2.13）直接计算得:
，

这验证上式是正确的.
映射（3.2.7）由两种不同类型的项组成，它可以用于任意有限项的情形，一种特别有用的情形是所有矩阵均为同一维数的方阵.下面给一个数值例子说明.
例3.2.3设

考虑
(3.2.14)
利用式（3.2.8）及表（3.2.1）可得映射的矩阵表达式为

为了方便起见,我们在表中列出了一些有用的矩阵线性映射的矩阵表示
表3.2.2 矩阵线性映射的列展开表示
映射名称
记号

Lyapunov映射

一般Lyapunov映射

辛映射

伴随映射

共轭映射

相合映射

利用上面的矩阵表示，我们可以得到一些有用的公式.
命题3.2.3 设则

(3.2.15)

证明 设考虑表示，它可以通过以下两种方式实现：
(1). 注意到，首先是用 作用，然后是. 因此，它的矩阵表示是
（2）先用，再用 ，因此，同样的映射也可以表示成.
于是，上式成立.
对于上式， 设，考虑表示，我们也可以通过以下两种方式实现：
(1)，它是由实现的，也就是.
(2) z ，它由 实现，就是.
于是有

用右乘等式两边就得到式(3.2.16).
可以看出，式(3.2.15)也可由式(3.2.16)得到，后面我们将会用到他们.
作为另一个应用，我们计算一般线性群的李代数，成为一般线性代数，一般线性群记作, 指的是所有 可逆实矩阵在普通矩阵乘法下行程的群，它又可以看做 的一个开子集，因此也是个解析流行，而且在这个流行结构下，乘法和逆这两个运算都是解析的，因此，它是一个李群，李群的所有左不变向量场构成他的李代数.
例3.2.4 考虑一般线性群设F是由 生成的左不变向量场.将这个 矩阵看成切空间的向量，写成典型的局部坐标表示形式，即将每个元素看成一个坐标分量，则得到(当然也可用) ，记左平移为 当将X看做的一个点时，由式（3.2.14）知的列展开式应为，因此，其中令 ，现在将左平移看做上的一个微分同胚，他将I点的切向量移到X点，其值为

但因为F(X)是左不变的，A左平移到X的向量正是F在该点的值，故

最后一个等号由式(3.2.14)得到.因此,F(X)是X的矩阵形式是XA
接着给定两个左不变的向量场F和W，分别由A和B生成，由上面可知，F和W的矩阵形式分别是和 利用式(3.2.14)，在向量形式下，它们可以分别表示成
根据公式

我们有

利用式（3.2.14），的矩阵表示是 ，也就是由生成的左不变向量场，因此，李群的李代数上的李括号是
(3.2.17)
下面的命题给出了线性映射的行展开，实际上，它也可以通过它的列展开式得到
命题3.2.4 式(3.2.7)的行展开式
（3.2.18）
证明 这里也先列出4种基本线性映射的行展开式，当然，这些表示本身也很有用.
表 3.2.3 行展开

我们逐个证明他们，利用式(3.1.10)和（3.1.2），我们有

这就证明第一个，对于第二个，有

而面对第三个，我们有

然后由

就证明了最后一个，利用上表，我们得到复合映射
(3.2.19)
于是，式(3.2.18)成立.
作为应用，我们考虑 Hautus 方程，设 是一些多项式，称如下关于未知量X的矩阵方程是 Hautus 方程：
(3.3.20)
为了说明Hautus 方程的重要性，我们考虑它的一些特殊情形.
设称如下方程是 Sylvester方程，它在控制理中很重要：
(3.2.21)
可以看出，它是式(3.2.20)在时的特殊情形.
设A和S都是方阵，并且B,P,C,Q都是具有合适维数的矩阵，称如下方程是调节方程，他会在研究控制系统输出调节问题是遇到：
(3.2.22)

上式可以转化为一个Hautus方程，即

其中,

定理3.2.1 Hautus方程对于每个R都有解，当且仅当矩阵
(3.2,23)的n个行对于S的每个特征值，即对每一个，均是线性无关的，而且如果，则解是唯一的.
证明 设，且令
，
则方程（3.2.20）可以转化为
（3.2.24）
显然，对于每个R，都存在解X，与对于存在解等价，并且有.因此不失一般性，我们可以假设S就是它的Jordan标准型.
利用命题3.2.2，式（3.2.20）可以转化成为
（3.2.25）
其中，由于S具有Jordan标准型，

于是，式（3.2.25）可以表示成，其中，

这里，

于是，立即就可以看出结论成立.

推论3.2.1 Sylvester方程（3.2.21）对于每个R都有解，当且仅当A和S没有相同的特征值，而且这是的解是唯一的.
证明 对于Sylvester方程，我们有

对于任意的，非异等价于A和S没有相同的特征值.

3.3 矩阵的形式转换
本节考虑将一种矩阵转化成为另一种或者一种矩阵表示转化成为另一种的问题.其中，后者尤为重要，因为我们可以通过它将一般的矩阵表示转化成为标准的多项式形式.
首先，我们考虑如何将一个变量为矩阵X的多项式转化成为关于以X元素为变量的多项式展开.
设记为它的第行，定义两个映射

分别为
（3.3.1）
和
（3.3.2）
其中，表示的第行，这两个映射有如下关系.
命题3.3.1
， （3.3.3）
证明 仔细计算有
（3.3.4）

（3.3.5）
记

则得

即在式（3.3.4）中，｛｝依索引排列，而在式（3.3.5）中，｛｝依索引排列，根据命题3.1.4立即可知，式（3.3.3）成立.
现在，我们准备将一个常值矩阵和一个变量矩阵的乘积转化成为变量展开.
命题 3.3.2 设则
或 （3.3.6）
或者 或 （3.3.7）
证明 利用式（3.3.4），直接计算得到
，
其中，表示的第k列.这就证明了式（3.3.6）中的第一个等式.
式（3.3.6）中的第二个等式可以由第一个等式和命题1.5.2得到，式（3.3.7）的证明类似.
结合上面这些公式和矩阵线性映射的一些结果，我们可以得出一些有用的公式.
命题 3.3.3 设则
（3.3.8）
证明 利用式（3.3.7）和式（3.2.14），我们有
（3.3.9）
利用式（3.3.1）和式（3.3.3）,有

再由式（3.1.4）得到

将它们代入（3.3.9）就得到式（3.3.8）.
下面给出一个例子说明如何将一个矩阵多项式表示成它的元素的多项式.
例3.3.1 设考虑映射我们想将它表示成它的元素的二次型.
利用式（3.2.8）和式（3.3.8），我们有
（3.3.10）
再对应用式（3.3.20）或者应用式（3.2.16）和式（3.1.4）得到

最后，我们有
(3.3.11)

利用上面的表示，我们可以很方便地研究矩阵函数的一些性质.下面给出一个例子，在后面也会用到它.
例 3.3.2 考虑一个线性控制系统

当使用一个状态反馈
，
并且考虑解耦问题时，为了计算解耦矩阵，下面的形式很重要[21:
(3.3.12)
我们将看作F的函数来研究它的性质，半张量积可以将它按如下方式表示成一个F的多项式函数，首先，利用命题3.3.2，我们可以将转化成为
，
其中，这也可以由式（3.3.1）得到，于是有

一般，我们可以假设
， （3.3.13）
则

为了符号的方便，我们记则对于式（3.3.13）中的系数，我们有一个递推式，即

注意到，，并且很容易计算它.实际上，式（3.3.12）中的矩阵的每一个元素都是的函数，但是在这种形式下很难计算，而现在式（3.3.13）、式（3.3.14）就提供了计算每个元素的函数的简便方法.
粗略的说，换位矩阵也可以将一个矩阵转化成一个向量，在某些情况下，使用下面的公式将会很方便.
命题 3.3.4 （1）设Z是一个t维行向量，，则
（3.3.15）
（2）设Y是一个t维列向量，A同上，则
（3.3.16）
证明 （1） 利用式（1.5.8），直接计算有
（3.3.17）

利用式（1.1.3），我们有

同理，我们有

(2) 在式（3.3.15）中用代替,代替,然后两边同时做转置.注意到，，则式（3.3.16）成立.
下面我们证明一个有用的引理.
引理3.3.1 设 则
(3.3.18)
证明 对于，根据式（3.1.10），我们有

两边左乘，得到
(3.3.19)比较式（3.2.14）的第一式和式（3.3.19），就得到（3.3.18）.
左半张量积不满足交换律，但是，有时我们需要交换因子的次序.下面的公式在一定意义上可以看做是“交换次序”公式，它在多元多项式计算式中非常有用.
命题3.3.5 给定矩阵.
(1) 设是一个列向量，则
(3.3.20）（2）设是一个列向量，则
(3.3.21)
(3)设是一个列向量，则
(3.3.22)（4）设是一个列向量，则
(3.3.23)（5）设是一个列向量，是一个行向量，则
(3.3.24)
证明 将式（3.3.15）中的第一个等号两边同时右乘，并且利用，就有式（3.3.20）的第一个等号成立.有第一个等号，再利用式（3.3.18）就得到第二个等号.
同理，将式（3.3.16）中的第一个等号两边同时左乘，得到式（3.3.21）的第一个等号，再对第一个等号利用式（3.3.18）就得到第二个等号.
我们将式（3.3.22）和式（3.3.23）的证明留给读者.
注意到，，由式（3.3.20）或式（3.3.21）立即可得式（3.3.24）.
命题 3.3.6 设，则
(3.3.25)
证明 记的第行为，通过直接计算有
（3.3.26）对的每一行利用式（3.3.15），有
（3.3.27）
比较式（3.3.26）和式（3.3.27）可以看出，在式（3.3.27）中是按照索引排列的，而在式（3.3.26）中则是按照索引排列的，现在，为了将转化为，我们需要用左乘式（3.3.27）.这样，式（3.3.25）的第一个等号成立.
对式（3.3.25）中的第一个等号应用式(3.3.18)就得到了第二个等号.
例3.3.3 设

则于是，

下面的推论是一个十分有用的等式.
推论3.3.1 设，则对任一整数均有
(3.3.28)
证明 在式（3.3.25）中取及即得.
最后，我们考虑如何将一个矩阵表示成展开式，或者反之.
命题3.3.7 设，则
（3.3.29）
（3.3.30）
证明 直接计算就可得到式（3.3.29）.应有式（1.5.4）到式（3.3.29）得到式（3.3.30）.
反之，我们也可以从的行或列展开得到.
命题 3.3.8 设，则
(3.3.31)
证明 分别用和替换式（3.3.6）中的和，再利用式（3.3.1）就得到了第一个等号.对第一个等号应用式（1.5.4）就得到第二个等式.
例3.3.4 给定矩阵,且

则利用式（3.3.28），我们有

利用式（3.3.30），我们有（关于和的表达式，可在例1.5.1中找到）

则

接下来检验式（3.3.31）.对于第一部分，我们有

为了验证式（3.3.31）的第二部分，我们有

于是，

3.4 注释与参考
矩阵间的线性映射是大家比较熟悉的，它们在线性控制系统理论中起着关键作用.相关的参考书很多，例如文献【18】，【27】等.
直观地说，李群是这样一种集合，从几何结构看，它是一个解析微分流形，从代数结构看，它是一个群.而这两种结构有相容性，即群运算依几何结构也是解析的.有人说，李群是20世纪发现的最漂亮的数学结构.这方面的专著很多，较通俗易懂的读本有如文献【2】.
Lyapunov映射与线性系统的稳定性关系密切，这方面有许多讨论，例如文献【28】讨论了它的许多性质，它与切换线性系统的关系可见文献【29】.记S为对称矩阵集合.显然，它们都是的子空间，并且容易证明，它们都是Lyapunov映射的不变子空间.那么，可以将分别限制在这两个不变子空间上，记作及.
文献【28】证明了在这个基础上，文献【28】提出了一个猜想

大量的数值计算支持这一结果，但这个猜想至今尚未能被证明或否定.
Hautus方程和Sylvester方程在控制理论中有许多应用，特别是在输出调节问题中.关于Hautus方程和Sylvester方程的讨论可见文献【30】.对输出调节有兴趣的读者可参考阅读文献