【全程复习方略】(陕西专用)2013版高考数学-2.9-函数与方程课时提能演练-理-北师大版.doc

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 2.9 函数与方程课时提能演练 理 北师大版
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2012·汉中模拟)已知函数f(x)＝ax2－2x＋1有一个零点，则实数a的取值为(　　)
(A)0　　 (B)1　 　(C)0或1　　 (D)以上答案都不对
2.(2012·南昌模拟)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点个数为(　　)
(A)1　　　 　(B)2　　 　　(C)3　　　 　(D)4
3.函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间(　　)
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)
4.已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
(A)x1<x2<x3　　 (B)x2<x1<x3[
(C)x1<x3<x2 (D)x3<x2<x1
5.(2012·咸阳模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为(　　)
(A)0 (B)1 (C)2　 (D)3
6.(2012·宝鸡模拟)设偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝()x在区间[0,3]上解的个数为(　　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题(每小题5分，共15分)
7.(预测题)已知函数f(x)＝.若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是　　　　　　　.
8.(易错题)若函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1有且仅有一个零点，则实数m的取值集合是　　　　.
9.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，g(x)=f(f(x))，其中真命题有________个.
①若f(x)无零点，则g(x)>0对任意x∈R成立;
②若f(x)有且只有一个零点，则g(x)必有两个零点;
③若方程f(x)=0有两个不等实根，则方程g(x)=0不可能无解.
三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)
10.若方程ax2＋4x＋5＝0在区间[－2,3]上仅有一根，求实数a的取值范围.
11. (2012·西安模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b.
(1)求证a>0且－3<<－；
(2)求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1－x2|的取值范围.
【选做•探究题】
已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.
(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及(0，)内各有一个零点.求实数a的取值范围.

答案解析
1.【解析】选C.验证法：当a＝0时，f(x)＝－2x＋1有一个零点；当a＝1时，f(x)＝(x－1)2也只有一个零点，故选C.
2.【解析】选C.当x<0时，由x(x＋4)＝0，得x＝－4满足题意；当x≥0时，由x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4满足题意，故f(x)有3个零点.
3.【解析】选B.因为f(x)的定义域为x>0，f(1)＝－1＋log21＝－1<0，f(2)＝
－＋log22＝>0.
∴f(1)·f(2)<0，故选B.
4.【解析】选A.由已知x1，x2，x3分别为方程x＋2x＝0，x＋lnx＝0和x－－1＝0的根，亦即2x＝－x，lnx＝－x，－－1＝－x的解，在同一坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lnx，y＝－－1和y＝－x的图像，如图所示，由图像知x1<x2<x3.

5. 【解析】选C.由f(x)＝0，得|x－2|＝lnx，
在同一坐标系内分别画出函数y＝|x－2|及y＝
lnx的图像如图，
由图易知，原函数有两个零点.
【变式备选】(2012·合肥模拟)函数f(x)＝|x＋2|－2x在定义域内零点的个数是(　　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解题指南】转化为函数y＝|x＋2|与y＝2x图像的交点个数问题，利用数形结合的思想方法求解.
【解析】选D.在同一坐标系中画出函数y＝|x＋2|与y＝2x的图像，可以看到两个函数的图像在第二象限有两个交点，在第一象限有一个交点，所以函数f(x)＝|x＋2|－2x在定义域内有3个零点.
6.【解析】选C.由题意得函数f(x)的周期为T＝2，
又∵f(x)是偶函数，
∴f(x)的图像如图所示.

在同一坐标系内画出函数y＝()x的图像，
如图所示，由图像知，方程f(x)＝()x在[0,3]上有3个解
【变式备选】已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)(　　)
(A)恒为正值 (B)等于0
(C)恒为负值 (D)不大于0
【解析】选A.∵f(x)＝()x－log2x在(0，＋∞)上为减函数，并且f(x0)＝0,0<x1<x0，∴f(x1)>f(x0)＝0.
7.【解析】由题意，得f(x)＝m有3个解，
画出f(x)的图像，如图，
由图知0<m<1.
答案：0<m<1
8.【解析】当m＝1时，f(x)＝4x－1＝0，得x＝，符合要求.当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0.即m2＋3m＝0，解得：m＝－3或m＝0，
∴m的取值集合是{－3,0,1}.
答案：{－3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视m＝1而失误.
9.【解析】对于①，若f(x)无零点，则或
当a>0，Δ<0时，f(x)>0对任意x∈R恒成立
此时g(x)=f(f(x))>0对任意x∈R成立,
当a<0，Δ<0时，f(x)<0对任意x∈R恒成立.
此时g(x)=f(f(x))<0对任意x∈R成立，故①不正确;
对于②，若f(x)有且只有一个零点，则Δ=b2-4ac=0.
f()=0,此时f(x)=a(x+)2
当a>0时，f(x)≥0恒成立，
若-<0,方程f(x)=-无解，即g(x)=f(f(x))无零点，故②不正确;
对于③，若方程f(x)=0有两个不等实根，不妨令a>0,f(x)min=
如图，若两实根x1<x2<<0,此时f(x)=x1(或x2)无解，
即方程g(x)=f(f(x))=0无解，故③不正确.
答案：0
10.【解析】①当a＝0时，方程可化为4x＋5＝0，
∴x＝－∈[－2,3]成立，∴a＝0.
②当a≠0时，令f(x)＝ax2＋4x＋5，
若x＝－2时，f(x)＝0，则a＝.
此时另一根为－[－2,3]，成立.
若x＝3时，f(x)＝0，则a＝－，
此时另一根为－∈[－2,3]，舍去.
若x∈(－2,3)，则f(－2)f(3)<0，
∴－<a<且a≠0，
综上：－<a≤.
11.【解析】(1)f(1)＝a＋b＋c＝－，
∴3a＋2c＋2b＝0，∵3a>2c>2b，
∴3a>0,2b<0，>－3，
<，<－.
∴a>0且－3<<－.
(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①当c>0时，∵a>0，
∴f(0)＝c>0，f(1)＝－<0.
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
②当c≤0时，∵a>0，f(1)＝－<0，f(2)＝a－c>0.
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.
故函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点，
(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝＝－－.
∴|x1－x2|＝
＝＝.
∵－3<<－，
∴≤|x1－x2|<，
即|x1－x2|的取值范围为[，).
【选做•探究题】
【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.依题意：f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，
∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.
(2)依题意：要使y＝f(x)在区间(－1,0)及(0，)内各有一个零点，
只需，即，
解得<a<.
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