函数的奇偶性与周期性(解析版).doc

【明确考纲要求】
1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．
2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.
2．奇、偶函数的性质
(1)普通性质
①奇偶函数的定义域关于原点对称；②偶函数的图像关于轴对称；奇函数的图像关于原点对称；③偶函数在对称区间的增减性相反，奇函数在对称区间的增减性相同。④奇函数在原点有定义时，必有
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。

【分析题型】
题型一：函数的奇偶性的判定
（1）判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法；
（2）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【典型例题1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )
A . B． C． D．

【迁移训练1】下列函数：
①f(x)＝ ＋ ；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；⑤f(x)＝lg.其中奇函数的个数是(　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
则f(x)为奇函数．

【迁移训练2】判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x(＋)；
(2)f(x)＝log2(x＋)；
(3)f(x)＝

题型二：函数的奇偶性的应用
(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称；
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；
(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；
(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．
【典型例题】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】已知函数为奇函数,且当时, ,则 （ ）
A. B. C. D.
题型三：函数的奇偶性与周期性
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．
(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；
(4)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
【典型例题】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
【答案】 D

【迁移训练1】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有
f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．
【迁移训练2】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为(　　)．
A．－1 B．1 C．0 D．无法计算

【考题回顾】
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】
已知函数（ ）
A． B． C． D．

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）】设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为______.
5．【2011年高考广东卷】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
7．【2012年高考重庆卷】若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
8．【2012年高考课标全国卷】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

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