奥数数论习题-公约数与公倍数.docx

公约数、公倍数、完全平方数

知识点的掌握：概念、求解方法（即短除和分解质因数，是否能灵活应用）、约数与倍数运算的技巧

简单
1（☆）写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数

2（☆）从1到2011中有几个有偶数个因数的整数？

2（☆）试求出一个最小的整数，它正好有14个约数
【详解】14=2*7，2^6*3^1=192

2（☆☆）试求出一个最小的正整数，它正好有12个约数
要求求出一个最小的正整数，使之有给定的约数个数并非都很简单
【详解】12=2*6=3*4=2*2*3
2*6，2^5*3^1=96
3*4，2^3*3^2=72
2*2*3，2^2*3^1*5^1=60

3（☆）求1007，10017，100117，1001117和10011117的最大公约数？
【详解】辗转相除法，求最大公约数
1007与10017的最大公约数是53，类似地，10017与100117，
100117与1001117，1001117与10011117的最大公约数都是53，那么这5个数的最大公约数也是53

4（☆）一个偶数，它的约数里最大的两个之和是120，求该数是多少？
【详解】设这个数是2a，那么它最大的两个约数显然是2a和a；2a+a=120，a=40；
所以2a=2×40＝80 所以这个数是80

5 （☆）四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？
【详解】6435=3×3×5×11×13
四个连续奇数是9，11，13，15，其中最大的是15；
三个连续奇数必两两互质，而在四个连续奇数中，第一个奇数与第四个奇数相差6，它们的最大公约数只能是1或3，因此这四个连续奇数的乘积是6435或6435×3；

6（☆）（02四川五年级初赛）n是一个整数，如果n×n的十位数字是7，那么n×n的个位数字是什么？
【详解】奇数的完全平方数的十位数一定是偶数，所以n是偶数，n×n能被4整除；从70~79能被4整除的有72、76，个位数是2的不是完全平方数

 6（☆☆）从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 
【详解】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现 
72=2^3×3^2，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍；
2×31×31=1922〈2008〈2×32×32=2048，所以2×1^2、2×2^2、…、2×2^31´都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个

 7（☆☆）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【详解】设这个数减去63为A^2，减去100为B^2
A^2-B^2=（A+B）（A-B）=100-63=37+-=-==´， 
A+B=37，A-B=1
+= 所以A=19=，B=18
这个数为18^2+100=424

8（☆☆）能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【详解】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为A^2、B^2，
A^2-B^=（A+B）（A-B）=54=2×27
（A+B）与（A-B）的奇偶性质相同，所以（A+B）（A-B）不是4的倍数，就是奇数，54不是4的倍数，那么题中所说的数是找不到的

（☆☆）（02河北香河）有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么？
【详解】设这两个两位数分别是a和b，有
a^2-b^2=c00=100c
（a+b）（a-b）=100c
a-b=56=8×7，a、b同奇偶性，
a+b必须是50的倍数，a〈100，所以b〈44，a+b〈144，a+b=100
a=78，b=22

（☆☆）（97六预）一个四位数的数码都是由非零的偶数码构成，它又恰好是某个偶数码组成的数的平方，则这个四位数是什么？
【详解】设两位数为ab，四位数是cdef
考察44^2=1936，a〉=4，a为4、6或8
ab为偶数，则cdef能被4整除；ef只能是24、44、64或84
b为2或8
ab可能是48、62、68、82或88
仅有68^2=4624满足题意

9（☆☆）（05浙江五年级决赛）一个两位数ab加上它的反序数ba，再加上这个两位数的数字之和，得到的和是一个平方数，这样的两位数有几个？
【详解】依题意有下式
10a+b+10b+a+a+b=12（a+b）=2^2×3（a+b）是完全平方数
a+b=3、a+b=3×2^2满足条件

（☆☆）（02甘肃冬令营）有一个自然数，它与168的和恰好等于某个数的平方；它与100的和恰好等于另一个数的平方，这个数是什么？
【详解】设该自然数为a
100+a=m^2
168+a=n^2=100+a+68=m^2+68
n^2-m^2=68，n、m同奇偶
（n+m）（n-m）=68=2×2×17
n+m=34，n-m=2
n=18，m=16
a=16^2-100=156

10（☆☆☆）（03江苏吴江）一个四位数是完全平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同，这个四位数是什么？
【详解】设该4位数为aabb，有下式
1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11（100a+b）是完全平方数
即100a+b=100a+b=a0b=11×n^2，n为自然数
a+b=11（a+b是11的倍数）
末两位数字相同的完全平方数只能是00或44，所以b=4，a=7
这个四位数是7744

（☆）甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
【详解】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会；

（☆☆）一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？
【详解】2、3、4的最小公倍数是12，12人需要饮料是12/2+12/3+12/4=13瓶。
65=13×5，一共有12×5=60人

（☆）五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？
【详解】

有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值是多少？ 
【详解】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧，一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的。
设中间数是x，则它们的和为5x， 中间三数的和为3x，5x是平方数
有5x=5^2×a^2，则x=5×a^2=，
3x=15*a^2是立方数，所以a^2至少含有3和5的质因数各2个， 即a^2至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123

（04南京冬令营）记S=（1×2×3×…×n）+（4k+3），这里n≥3，当k在1至100之间取整数值时，有（   ）个不同的k，使得S是一个整数的平方

（05浙江夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球．．．．依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么最后袋中留下几个球？

（☆☆）（2000浙江五年级决赛）小明妈妈买了4张体育彩票，第一张的末三位是125；第二张的末位是4，倒数第四位是5；第三张的末位是1，倒数第四位是7；第四张的末三位是280。妈妈说这中间有一张是中奖的，中奖号码是一个四位数，就是彩票中的最后四位与它相同便是中奖彩票，且这个四位数正好是个平方数。中奖号码是多少？

（03浙江夏令营）11….11×11…11的各位数字之和是多少？

（04南京冬令营）将1，2，3…..n（n为大于4的整数）这n个数分成两组，使每组中任意两数之和都不是完全平方数，整数n可以取得的最大值是多少？并给出一种分组方法。

已知1×2×3×…×n+3是一个自然数的平方，n是多少？

2007与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少？

两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

（☆）证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数

（☆☆）有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数

（☆）甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
【详解】甲乙轮流，最后一次轮到乙，但不足10元，所以十位数是奇数，个位数是6

（☆☆）房间里有100盏灯，用1、 2、…、100编号，每盏灯连着一个开关，开始时所有的灯全都不亮。有100名同学依次进入房间，第一位进入房间的同学把编号为1的倍数的灯的开关揿动一次（这时所有的灯全亮着）， 第二位进入房间的同学把编号为2的倍数的灯的开关揿动一次（这时编号为偶数的所有的灯全熄灭）； 第三位进入房间 的同学把编号为3的倍数的灯的开关揿动一次，如此下去,直到最后一位进入房间的同学把编号为100的倍数的灯的开关揿动一次。问：这时房间里哪些灯亮着？
【详解】注意到一盏灯亮或不亮，与这盏灯的开关揿动的次数的奇偶性有关：原来不亮的灯，若开关揿动奇数次，则将变亮；开关揿动偶数次，则仍然不亮。而根据题意，一盏灯的开关揿动的次数，恰等于灯的编号所含因数的个数。

（☆☆）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？
【详解】设有8k名战士，8k+120=n^2，8k-120=m^2
（n+m）（n-m）=240=2^5*3*5, （n+m）、（n-m）同奇偶
n+m=120，n-m=2
n+m=60，n-m=4
n+m=40，n-m=6
n+m=30，n-m=8
n+m=20，n-m=12

将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个
【详解】设这4个数字分别是a>b>c>d  
   那么从小到大的第2个就是dcba,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5；  
   从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2；  
   从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；  
   因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。  
   这24个四位数中最大的一个是abcd，a=7，b=5，c=4，d=3  
   所以这24个四位数中最大的一个是7543

已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？
【详解】因为□△□△□△ □△ ，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△。
  作质因数分解得 ，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有 。注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21。即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132

（97六年级决）下式中的“香港”，“中国”都代表一个两位自然数，那么，香港=（    ），中国=（    ）。
（香港）+1997=（中国）+1949