余弦定理教学案例.doc

余弦定理教学案例

教学目标
1.让学生经历由特殊到一般，发现并证明余弦定理的过程；同时能利用余弦定理解决三类解三角形问题。
2.在余弦定理的证明过程中，体会“由特殊到一般” 、“转化与化归” 、“类比”、“方程”等思想方法。
3.让学生通过自主探究、小组合作，发现并证明余弦定理，享受数学发现的快乐，激发学生的学习兴趣。

教学重点
余弦定理的发现与推导、余弦定理的应用

教学难点
创设情境推导余弦定理 .

教学过程
1. 创设情境，提出问题.
问题1. 在中，，求边
师：画出图形，分析三角形中的边角关系，6个度量值中，存在着哪些关系？
生：6个度量值中，已知两边及其夹角A，求角的对边;且。
问题2. 请同学思考运用现有哪些知识能够联系条件和结论中的相关量？

学生小组讨论后回答
小组1：因为有边及各自对角B,C故想到正弦定理,运用方程思想，求出角B=，故，该三角形是直角三角形，由勾股定理得，
小组2：因为涉及AB与AC及其夹角A，故联想到向量的方法。因为,取模两边平方即可得
问题3：上述两种方法中，哪种更简单？
生：方法二，向量方法
问题4： 能否将上述问题作一般性推广，你会表述上述问题的一般形式吗？你会求解吗？
请同学们独立完成这个任务， 投影展示学生的学习成果。

2.新课讲授
问题1：同学们所推导出的公式就是我们今天要学习的余弦定理。请各位将余弦定理用文字语言和符号语言分别表述。
文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。
符号语言：

问题2：除了向量方法，请考虑是否还有其他的方法证明余弦定理。

（学生小组讨论，鉴于这个证明比较困难，可根据实际情况，做一些点拨）
点拨1：在上述具体例题中，我们运用正弦定理和方程的思想求解，这种方法能沿用到一般吗？在求解时，要注意哪些变化呢？
点拨2：现有知识中涉及度量线段长度的，还有哪些知识？（解析法）
点拨3：在上一节正弦定理的证明中，我们曾经将任意三角形化归到直角三角形中，分类讨论推导了正弦定理，那余弦定理的证明也能这样类似的处理吗？
请同学们，选择解析法的角度完成证明，其他的角度可以课后做一些尝试。

师：请同学们思考如何建系？并求得各点坐标？
生：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，请由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A(b,0),C(0,0)∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，，则所以B点坐标是
师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？
生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2
　　=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C
　　=a2+b2－2abcosC，
　　即c2=a2+b2－2abcosC．
师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．

问题3：观察余弦定理公式，看看它有哪些形式特征？
生：等式两侧是三边的齐二次式，左侧的边与右侧的角是对边对角关系；前的符号是减号。
特别的，当A=时，，即为勾股定理。勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。

问题4：比较正弦定理和余弦定理，思考余弦定理能解决三角形中的哪些问题？
生：利用，已知两边夹角，可求第三边；已知两边对角，可求第三边；
利用，已知三边，可求任一角。
总之，只要是涉及到三边问题，都可以考虑用余弦定理。

3.例题讲解

变题1.,
变题2.已知

4.课堂小结：
请同学们总结下本节课有哪些收获？学到了什么知识？在知识的学习过程中，都用了哪些思想方法？

5.反馈练习P15练习1，3

6.课后作业
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