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二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。
【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数
一， 二项式定理和杨辉三角介绍：
1,二项式定理：
其中叫做二项式系数。
2,杨辉三角：

二， 重要组合恒等式:
（1）,
证明：
=（证 毕）
（2），
证明（数学归纳法）：
当时 上式 左边=1 右边是，所以是正确的。
假设上式对正确 即
那么就有 再有组合不等式（1）可得

故综上所述 对于所有大于r的正整数n（2）式都是成立的。
三， 一元n次多项式根与系数的关系
对于多项式 若是它的n个根则有一下等式成立：

（所有i个不同的根的乘积的和）

四， 应用举例
为了方便应用，（2）式也可以写成
当r=1，2，3，4的时候上式也就是：

例一：求数列 的前n项和。
分析：因为 所以

=
例二：求数列的前n项和。
分析：因为 所以

例三：求数列的前n项和。
分析：因为
所以：=
=
五， 归纳总结
推论 若多项式他的根分别是，则
他的展开式中的系数是

同理展开式中的系数是：
规律总结：求数列的方法
步骤一：分拆通项
++
步骤二：利用组合不等式（2）分组求和就可求出前n项和。

【参考文献】
1，华罗庚 《从杨辉三角谈起》 科学出版社
2，焦润霞 《浅谈对二项式定理的研究》 语数外学习（高中版高二年级）2007年04期
3，蒋书华 《盘点二项式定理八类应用 》 中学生数理化（高二版）2007年04期
4，戴丽萍 《有关二项式定理的高考试题综述》 中学数学 1995年 第02期