“一题多解”我的思考.doc

“一题多解”我的思考
苏轼《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”其中强调“横看”“侧看”“远看”“近看”“高看”“低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。教师有意识地激发学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会。进行一题多解的训练，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的方法 , 能促进学生智能和思维的发展，起到意想不到的教学效果。
何谓“一题多解”?简言之，就是从不同角度、按不同思路、用不同方法给出同一道习题的解答。
“一题多解”有利于调动学生的学习积极性，课堂成为同学们合作、争辩、探究、交流的场所，它能极大提高学生的学习兴趣。
“一题多解”有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点。
“一题多解”有利于培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道习题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法。
“一题多解”有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。
学生头脑中已储存了许多解题方法和规律，如何熟练提取运用是关键。“给出方法解题目”不可取，应该“给出题目选方法”，学好数学关键在于“悟”，多给学生一点思考时间，让学生自己去领会、体验，只有这样才能将所学知识转化为解决问题的能力。
例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
     x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－）2+
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知：
当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。则  ≤x2+y2≤1
解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
      x=cos2θ，y=sin2θ   其中θ∈[0，]
则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ
      =1－（2sinθcosθ）2=1－sin22θ
于是，当cos4θ=－1时，x2+y2取最小值；
      当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。则  ≤x2+y2≤1
解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设
    x=+t，  y=－t，其中t∈[－， ]
于是，x2+y2= （+t）2+（－t）2=+2t2   t2∈[0，]
所以，当t2=0时，x2+y2取最小值；当t2= 时，x2+y2取最大值1。则  ≤x2+y2≤1
解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1从而0≤xy≤
于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy= 时，x2+y2取最小值。则  ≤x2+y2≤1
 解法四：（解析几何思想）设d= x2+y2，则d为动点c（x，y）到原点0（0，0）的距离平方，于是只需求线段AB(x+y=1， x∈[0，1])上的点到原点的最大和最小距离就可。
当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1
当OC⊥AB时dmin=，则（x2+y2）min= ，则  ≤x2+y2≤1
 解法五：（数形结合思想）设x2+y2=r2（r＞0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆，记为⊙C。
于是，问题转化为⊙C与线段AB(x+y=1， x∈[0，1]) 有公共点，求r的变化范围。
当⊙C经过线段AB端点时rmax=1；当⊙C与线段AB相切时rmin= ， 则  ≤x2+y2≤1  
 一题多解，有利于加强学生的思维训练 ，教学中积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用，训练思维的发散性和灵活性，在考场上遇到难题时，可以增加解出的概率；提高解题方法的熟练程度，使思维更敏捷，考试时节约答题时间，减少出错机率；不同的解题方法通过比较优劣，可以增强选择优秀解法的意识；不同解法间可以相互印证，避免错误的发生；对同一个问题的反复研究，可以形成对该问题及其解法的深刻记忆，有利于形成“模板”。