海南省洋浦中学2009年高中数学联赛模拟试题7新人教版.doc

海南省洋浦中学2009年高中数学联赛模拟试题7

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1. 设，则的最小值是 。
2. 已知，且，则将表示成的函数，其解析式是 。
3. 已知函数，若，且，则的取值范围是 。
4. 满足方程的所有实数对 。
5. 若 表示不超过实数 的最大整数，则方程 的解是 。
6. 不等式的解集是 。
7. 设是由不超过的所有正整数构成的集合，即，集合，且中任意两个不同元素之差都不等于，则集合元素个数的最大可能值是 。
8. 给出一个凸边形及其所有对角线，在以该凸边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸边形顶点的三角形有 个。

二、解答题
9.（本题满分14分）设函数定义于闭区间，满足，且对任意，都有，其中常数满足，求的值。

10. （本题满分14分）如图，是双曲线的右顶点，过点的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点，问直线是否一定过轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点试求出这个定点的坐标。

11. （本题满分16分）设是集合的两个不同子集，使得不是的子集，也不是的子集，求不同的有序集合对的组数。

12. （本题满分16分）设正整数构成的数列使得对一切恒成立。记该数列若干连续项的和为，其中，且。求证：所有构成的集合等于。

海南省洋浦中学2009年高中数学联赛模拟试题7答案
一、
1、； 2、； 3、； 4、
5、或； 6、； 7、； 8、。
二、9、解：因为，

所以 8分
由此得，而，所以 14分
10、解法一：，将轴向右平移个单位，使点成为新直角坐标系的原点，在新坐标系下，双曲线的方程为，即 (*)
若轴，则，即，代入（*）式可得，进而。所以，则点在原坐标系中的坐标为。 5分
若不垂直轴，设，则，
于是（*）可以改写成，即
该方程的两个根既是的斜率。
因为，所以， 10分
所以，故
所以过定点，则点在原坐标系中的坐标为。
综上所述，直线过轴上的定点 14分
解法二：设直线的斜率为
由，同理得
当时，，所以过 8分
当时，由直线的方程得， 10分
所以，直线过轴上的定点 14分
11、解：集合有个子集，不同的有序集合对有组。
2分
若，并设中含有个元素，则满足的有序集合对有
组 8分
同理，满足的有序集合对也有组。 10分
所以，满足条件的有序集合对的组数为组。 16分
12、证明：显然 2分
下证对任意，存在
用表示数列的前项和，考虑个前项和：
（1）
由题设 6分
另外，再考虑如下个正整数：
（2）
显然 10分
这样（1），（2）中出现个正整数，都不超过，
由抽屉原理，必有两个相等。由于（1）式中各数两两不相等，（2）式中各数也两两不等，故存在，使得，即，且
所以，所有构成的集合等于。 16分