9.4-线性微分方程(1-69)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,9.4,线性微分方程,我们将方程,(1),称为,二阶线性微分方程,(,关于 都是一次,),若,R(,x,)=0,则方程,(2),称为,二阶线性齐次微分方程,.,一样假如,R(,x,)0,称方程,(1),为,二阶线性非齐次微分方程,若,P(,x,)=,p,Q(,x,)=,q,(,p,q,为常数,),则方程,(1),为,(3),第1页,(3),方程,(3),称为,二阶线性常系数微分方程,一样地,假如,R,(,x,)=0 ,即,(4),称方程,(4),为二阶线性常系数齐次微分方程,不然若,R,(,x,)0,称方程,(3),为,二阶线性常,系数非齐次微分方程,第2页,1,二阶线性微分方程解结构,设,P(,x,),Q(,x,),R(,x,),在,a,b,上连续,下面我们,讨论方程,(1),(2),解性质,性质,1,(,齐次方程解叠加性,),(,线性性质,),假如,y,1,(,x,),y,2,(,x,),是齐次方程,(2),解,则对任意,常数,c,1,c,2,R,y,(,x,)=,c,1,y,1,(,x,)+c,2,y,2,(,x,),也是方程,(2),解,第3页,证实,因为,是方程,(2),解,第4页,问题,:,是否为方程,(2),通解,?,若,y,1,(,x,),与,y,2,(,x,),成线性关系,即存在常数,LR,使,则,此时 不是方程,(2),通解,第5页,定义,对于,a,b,上两个函数,y,1,(,x,),y,2,(,x,),若其,中之一是另一个常数倍,即存在常数,L,使,则称函数,y,1,(,x,),y,2,(,x,),在,a,b,上,线性相关,不然,称,y,1,(,x,),y,2,(,x,),在,a,b,上,线性无关,说明,:,因为,在任意区间上都是线性无关,第6页,因为,在任一区间上都是线性相关,定理,1,(,二阶线性齐次方程解结构,),假如,y,1,(,x,),y,2,(,x,),是齐次方程,(2),在,a,b,上,任意两个线性无关解,则,是齐次方程,(2),在,a,b,上通解,(,这里,c,1,c,2,是,任意常数,),(5),第7页,定理,1,结论可类似地推广到,n,阶线性齐次方程,(6),定义,对于,a,b,上函数,则称这,n,个函数在,a,b,上是,线性相关,假如存在,n,个不全为零常数 使在,a,b,上有,不然称这,n,个函数在,a,b,上是,线性无关,第8页,定理,2,(,n,阶线性齐次方程解结构,),假如函数 是齐次方程,(6),是方程,(6),通解,n,个线性无关特解,则,说明,:,(1),线性齐次方程解结构定理把方程求,解归结为对方程线性无关解计算问题,(2),对于普通变系数线性齐次方程,对线性,无关解计算仍是困难,第9页,(3),求解齐次方程,(2),方法,:,(,a,),求出,(2),两个线性无关特解,y,1,(,x,),y,2,(,x,);,(b),写出通解,第10页,例,验证 是微分方程,一个解,并求其通解,解,将 代入方程得,是方程一个解,因为方程是二阶线性齐次微分方程,故为求其,通解,只需求一个与,y,1,线性无关解,y,2,设 是方程解,其中,u,(,x,),是待定函数,第11页,因为,代入方程得,积分得,因为只需取一个解,故取,c,1,=1,于是有,再积分得,取,c,2,=0,则有,第12页,所以 是原方程一个解,且与,线性无关,.,依据齐次方程解结构定理,知,方程通解为,第13页,下面讨论非齐次方程,(1),解结构,证实,将函数 代入方程,(2),有,性质,2,假如 是非齐次方程,(1),任意,两个特解，则 是非齐次方程,(1),所对,应齐次方程,(2),解,第14页,深入分析,：若 是非齐次方程,(1),任意一个解,是非齐次方程,(1),一个任意取定特解,依据性质,2,，是齐次方程,(2),解，,即,非齐次方程,(1),任意一个解都可表示为非齐次,方程,(1),任意一个取定特解与其对应齐次方,程（,2,）某一解和。,从而有,反之，轻易验证,也一定是非齐次方程,(1),解,第15页,定理,(,非齐次方程解结构,),其中,c,1,c,2,是任意常数,假如,y,1,(,x,),y,2,(,x,),是方程,(1),对应齐次方程,(2),任一特解,任意两个线性无关解,是非齐次方程,(1),则,是非齐次方程,(1),通解，,第16页,非齐次方程,求解方法,:,(1),求出齐次方程,任意两个线性无关特解,y,1,(,x,),y,2,(,x,),;,(2),求出非齐次方程,一个特解,(3),写出非齐次方程通解,第17页,例,设,y,1,(,x,),y,2,(,x,),和,y,3,(,x,),都是二阶线性非齐次,微分方程 解,且,常数,求证,:,是该方程通解,其中,c,1,c,2,是任意常数,.,解,因为,因为 是非齐次方程解,所以,是其对应齐次方程解,第18页,依据,非齐次方程解结构定理,知,是非齐次方程通解,因为,常数,解 线性无关,.,第19页,性质,4,(,非齐次方程解叠加原理,),假如函数,y,1,(,x,),和,y,2,(,x,),分别是二阶线性非齐,次方程,和,解,则 是方程,解,第20页,2,二阶线性常系数微分方程,考虑二阶线性常系数方程,(7),求解问题,(1),二阶线性常系数齐次方程求解,设齐次方程,(8),其中,p,q,为常数,下面考虑求,(8),两个线性无关特解,设方程,(8),有形式 解,代入方程,(8),有,第21页,即,待定常数,应满足方程,(9),方程,(9),称为齐次方程,(8),特征方程,为求方程,(8),两个线性无关解,需分别,对特征方程,(9),情况进行讨论,(,a,),假如特征方程,(9),有两个不一样实根,设 是特征方程,(9),根,则,第22页,是方程,(8),解,.,因为,常数,是线性无关解,所以方程,(8),通解,(b),假如特征方程,(9),有两个不一样复根,设两个复根,:,则有解,第23页,为了取得方程,(8),两个实线性无关解,利用性质,1,知,都为,(8),解,而且,y,1,y,2,是,(8),实函数解,同时是线性无关,.,所以方程,(8),通解,第24页,(c),假如特征方程,(9),有相等实根,此时根,于是,是方程,(8),解,为了取得,(8),另外一个与,y,1,(,x,),线性无关,解,采取,常数变易法,设,(8),有形如 解,其中,c,(,x,),为待定函数,.,则,第25页,代入方程有,第26页,积分得,所以 是方程,(8),解,且与,y,1,(,x,),线性无关,所以方程,(8),通解,第27页,计算齐次方程,(8),通解方法,:,设齐次方程为,(1),写出特征方程,(2),依据特征方程情况写出方程通解,(,a,),有两个不一样实根,:,通解,:,(b),有一对共轭复根,:,通解,:,(c),有两个相等实根,:,通解,:,第28页,例,求方程 通解,解,特征方程,特征根,(,二重根,),所以方程通解,例,求方程 通解,解,特征方程,特征根,所以方程通解,第29页,解,特征根,所以方程通解,例,求方程 满足初始条件,特解,特征方程,由,由,又,所以特解,第30页,例,一圆柱形浮体半径为,0.25 m,在水中浮动,.,设,它对称轴一直垂直于水面,且水面是平静,.,今,将它轻轻按下再放开,浮体作周期,2,秒上下震,动,设忽略阻力,求浮体质量,解,s,0,h,s,建立坐标系如图所表示,原点,O,为浮体平衡时浸水线位置,当浮体下浮位移,s,时,由牛顿第二定律得,原理知,:,由阿基米德,第31页,因为平衡时,所以有,即,(,二阶线性齐次方程,),特征根,:,特征方程,:,第32页,方程通解,此时运动周期,现由,T=2,所以有,第33页,(2),二阶线性常系数非齐次方程求解,设非齐次方程,(,p,q,常数,),(10),从非齐次方程解结构理论知,现只需讨论求,方程,(10),一个特解方法,下面介绍用待定系数法求方程,(10),特解方法,(,a,),为实常数,P,n,(,x,),为,n,次实,系数多项式,设,(10),有形式 解,其中,Q,(,x,),是一待定多项式,第34页,由,代入方程有,整理得,(11),第35页,1),假如 不是特征方程 根,则,取,其中 为待定系数,(11),代入,(11),式确定 使,是方程,(10),解,(,不是特征根情形特解形式,),第36页,2),假如 是特征方程 单根,则,此时,为使,(11),式左边为一,n,次多项式,代入,(11),式确定 使,是方程,(10),解,.,(,是单根情形特解形式,),可取,第37页,3),假如 是特征方程 二重根,.,则,此时,为使,(11),式左边为一,n,次多项式,是方程,(10),解,(,是二重根情形特解形式,),代入,(11),式确定系数 使,可取,第38页,综合以上结论知,:,其中 为待定,n,次实系数多项式,0,不是特征根,1,是单根,2,是二重根,k,=,(P,n,(,x,),为,n,次实多项式,),特解形式为,二阶线性常系数非齐次方程,第39页,例,求方程 通解,解,特征方程,特征根,(,二重根,),所以齐次方程通解,:,先求齐次方程 通解,再求非齐次方程一个特解,由,是特征方程二重根,故可设非齐次方程特解为,第40页,此时,代入方程整理得,令,解得,所以求得方程一特解,:,由此求得原方程通解,第41页,例,设,f,(,x,),为连续函数,且满足方程,求,f,(,x,),解,原方程可表示为,将方程两边对,x,求导有,第42页,再将方程两边对,x,求导有,即,又从上面等式可得,故知所求函数,f,(,x,),满足以下初值问题,特征方程,特征根,所以齐次方程 通解,:,第43页,设非齐次方程特解为,(=2,不是特征根,),代入方程得,所以特解,于是原方程通解,由,由,故所求函数为,第44页,(b),此时方程,(11),为,(12),其中,P,n,(,x,),P,l,(,x,),分别为,n,次和,l,次多项式,.,对于方程,(12),可设其特解为,其中,m=max,n,l,为,m,次多项式,0,+i,不是特征方程根,1,+i,是特征方程单根,k,=,第45页,例,求方程 通解,解,特征方程,特征根,所以齐次方程通解,先求齐次方程 通解,再求非齐次方程一个特解,此时,及,P,n,(,x,)=10,P,l,(,x,)=0,=2,=1,因为,+i,=2,+i,不是特征根,故设特解,第46页,此时,代入原方程并整理得,令,解得,a,=1,b,=2,所以原方程特解,:,原方程通解,第47页,注意,:,尽管 中不含,(12),中,sin,x,但应认为是,(12),式中,P,l,(,x,)=0,不可设特解为,而应设为,第48页,例,求方程 通解,解,特征方程,特征根,所以齐次方程通解,下面考虑求非齐次方程特解,将原方程分解为,(13),(14),注意到若 是,(13),特解,是,(14),特解,第49页,则 就是原方程特解,而,(13),属于,(,a,),情形,(14),属于,(b),情形,设方程,(13),特解为,(=2,是特征根,),将 代入,(13),整理得,令,解得,所以,第50页,再求方程,(14),特解,.,因为 不是特征根,故可设特解,将 代入,(14),整理可得,令,解得,第51页,原方程特解,所以原方程通解,第52页,例,弹性横梁震动问题,有一质量为,m,电动机,安装在梁上,A,点,电,动机开动时,产生一垂直于梁干扰力,p,sin,t,(,p,为常数,),使梁发生振动,.,梁上,A,点位移用坐,标,y,表示,梁弹性恢复力与位移,y,成正比,(,百分比,系数为,k,0),求,A,点运动规律,(,不计阻力与重力,),解,建立坐标系如图所表示,A,o,y,A,点受到力,:,(1),干扰力,:,psin,t,(2),弹性恢复力,:,ky,第53页,据牛顿第二定律有,初始条件,:,即,y,满足初值问题,:,特征方程,:,特征根,:,齐次方程通解,:,第54页,被称为,固有频率,下面求非齐次方程特解,(1),当 时,设非齐次方程特解为,代入方程整理得,令,解得,第55页,非齐次方程特解,:,非齐次方程通解,:,由,所以初值问题解,第56页,(2),当 时,设非齐次方程特解为,代入方程可得,:,非齐次方程特解,:,非齐次方程通解,:,由 可确定,第57页,所以初值问题解,注意,:,位移,y,(,t,),振幅为,将随,t,增大而无限增大,从而引发,共振现象,当 时,第58页,3,n,阶线性常系数微分方程,n,阶方程,(15),其中 是常数,称为,n,阶线性,常系数微分方程,而称,n,阶方程,(16),为方程,(15),所对应,n,阶线性常系数齐次方程,第59页,与二阶线性方程类似,非齐次方程,(15),通解为,:,其中,y,h,(,x,),为其对应齐次方程通解,为,(15),一个特解,若 为齐次方程,(16),n,个线性无关解,(,即其中任何一个都不能被其余,线性表示,),则齐次方程,(16),通解为,第60页,为求齐次方程,(16),n,个线性无关解,求出特征方程根,并写出对应解,:,(1),若 是,(17),单重实根,则确定其对应,解为,:,(2),若 是,(17),k,重实根,则确定其对应,k,个解为,:,其有形式 解,可设,(17),方程,(16),特征方程,代入,(16),得,满足,第61页,则确定其对应两个解为,:,(3),若 是,(17),单重共轭复根,:,(4),若 是,(17),k,重共轭复根,:,则确定其对应,2,k,个解为,:,于是就可依据方程,(17),根情况,写出齐次,方程,(16),n,个线性无关解,从而取得齐次方程,(16),通解,y,h,(,x,),第62页,例,求方程 通解,解,特征方程,特征根,即,所以方程通解,第63页,4,欧拉,(Euler),方程,变系数线性微分方程,普通来说不易求解,但有些特殊变系数线性微分方程可经过变量代,换化为常系数线性微分方程,.,欧拉方程,就是一个,可化为常系数方程方程,方程,(18),称为,二阶欧拉方程,其中,a,b,为常数,而称,n,阶方程,(19),为,n,阶欧拉方程,其中 为常数,第64页,二阶欧拉方程,(18),求解,令,则,t=,ln,x,代入方程,(18),有,第65页,即,(20),这是一二阶线性常系数微分方程,例,求方程 通解,解,这是一二阶欧拉方程,令,则,t=,ln,x,原方程可化为,特征方程,特征根,齐次方程通解,:,第66页,设非齐次方程特解,:,代入方程解得,所以非齐次方程通解,原方程通解,第67页,在欧拉方程经过变量代换 化为常系数,方程过程中,假如用算子,D,表示对,t,求导运算,则有,普通地,可证,:,于是,n,阶欧拉方程可化为常系数方程,其特征方程为,:,第68页,例,求方程 通解,解,这是一三阶欧拉方程,令,则,t=lnx,原方程可化为,特征方程,特征根,齐次方程通解,:,原方程通解,:,第69页,