2014年镇江市中考数学试卷.doc

2014中考数学试卷精品解析版
2014年镇江市中考数学试卷
(全卷满分120分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）

1．（2014年江苏省镇江市，1，2分）|－5|＝_______．
【答案】5
【考点解剖】本题考查了绝对值的求法，解题的关键是掌握绝对值的概念．
【解题思路】－5是一个负数，根据“正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数”可以直接求得答案．
【解答过程】∵－5是一个负数，它的绝对值等于它的相反数，而－5的相反数是5，∴－5的绝对值是5．
【易错点津】此类问题一般不容易出错．
【方法规律】（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数；（2）绝对值的几何意义：绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，所以可以通过观察距离，求出长度．
【试题难度】★
【关键词】绝对值；

2．（2014年江苏省镇江市，2，2分）计算：＝_______．
【答案】－1
【考点解剖】本题考查了实数的运算，涉及有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则．
【解题思路】先根据“同号得正，异号得负”判断符号，然后再把和3相乘，计算出它的绝对值．
【解答过程】＝－1．
【易错点津】实数的运算，最易出错的是符号的判断，特别是遇到较复杂的计算．
【方法规律】有理数的加减乘除运算包含两种运算，一是确定符号，二是确定绝对值，符号的确定可依据加法法则和乘除法法则．
【试题难度】★
【关键词】有理数的乘法；

3．（2014年江苏省镇江市，3，2分）化简：(x＋1)(x－1)＋1＝_______．
【答案】x2
【考点解剖】本题考查了整式乘法，需要用到平方差公式，解题的关键计算(x＋1)(x－1)．
【解题思路】先用平方差公式计算出(x＋1)(x－1)，然后再合并同类项．
【解答过程】原式＝x2－1＋1＝x2．
【易错点津】此类问题容易出错的地方是整式乘法法则运用出错．
【方法规律】平方差公式的文字语言：两个数的和与这两个的差的积等于这两个数的平方差；用字母表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差．
字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或其他较复杂的代数式，如（3n＋2m）（2m－3n）＝（2m＋3n）（2m－3n）＝4m2－9n2，这里的2m就相当于平方差公式里的a，3n就相当于平方差公式里的b．
【试题难度】★★
【关键词】平方差公式；整式乘法；合并同类项；

4．（2014年江苏省镇江市，4，2分）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】x≠1
【考点解剖】本题考查了分式的意义，解题的关键掌握分式有意义的条件．
【解题思路】根据分式的分母不为0，可列不等式x－1≠0，解得x≠1．
【解答过程】∵在实数范围内有意义，∴x－1≠0，解得x≠1．
【易错点津】此类问题容易出错的地方是易与二次根式是否有意义混淆．
【方法规律】当分式的分母为0时，分式没有意义；当分式的分母不为0时，分式有意义；当分式的分子为0，而分式的分母不为0时，分式的值为0．
【试题难度】★★
【关键词】分式的意义；

5．（2014年江苏省镇江市，5，2分）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF＝1，则BD＝_______．
(第5题)

【答案】2
【考点解剖】本题考查了中线和中位线的性质，解题的关键是利用中位线的性质得出AD＝2EF＝2．
【解题思路】由“EF是△ACD的中位线”可得“AD＝2EF＝2”，然后根据“CD是△ABC的中线”可得BD＝AD．
【解答过程】∵E、F分别是AC、DC的中点，∴AD＝2EF＝2．∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD＝2．
【易错点津】此类问题易出错的地方是不会运用中位线的性质解决问题．
【方法规律】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系；二是数量关系．位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系．
【试题难度】★★
【关键词】三角形的中线；中位线；

6．（2014年江苏省镇江市，6，2分）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝_______°．
(第6题)

【答案】45°
【考点解剖】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，解题的关键是∠1、∠2和∠BAC之间的数量关系．
【解题思路】先根据∠2＝70°，利用“两直线平行，内错角相等”求得∠BAD，再由∠BAD＝∠BAC＋∠1，求得∠BAC，最后根据“直角三角形的两个锐角互余”，求出∠B．
(第6题解答)

【解答过程】∵m∥n，∠2＝70°，∴∠BAD＝∠2＝70°，∴∠BAC＝∠BAD－∠1＝70°－25°＝45°．∵∠C＝90°，∴∠B＝45°．
【易错点津】此类问题容易出错的地方有两处，一是计算出错，二是不能建立起∠B与∠1、∠2之间的数量关系出错．
【方法规律】由两直线平行可得两个角之间的数量关系，而三角形内角和定理，也可以得出三个角的和为180°．所以平行线与三角形的组合，题目常常与角度的计算有关．
【试题难度】★★
【关键词】平行线的性质；三角形的内角和；

7．（2014年江苏省镇江市，7，2分）一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为_______．
【答案】
【考点解剖】本题是众数与平均数的综合题，解题的关键是先求出a的值．
【解题思路】由于这组数据的众数为1，所以1是唯一出现的次数最多数据，所以a＝1．然后再求这个数据的平均数．
【解答过程】∵1，2，1，0，2，a的众数为1，∴a＝1，(1＋2＋1＋0＋2＋1)÷6＝．
【易错点津】（1）在计算平均数的时候计算错误；（2）众数理解出错．
【方法规律】众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不只一个．对于众数来说，在理解上要明确是指出现次数最多的那个数据，而不是出现的次数，也不是这组数据中最大的那个数据．
【试题难度】★★
【关键词】众数；平均数；

8．（2014年江苏省镇江市，8，2分）若关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝_______．
【答案】
【考点解剖】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是由一元二次方程根的情况，列出关于m的方程．
【解题思路】方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝0，根据Δ＝0可列出一个关于m的一元一次方程．
【解答过程】∵x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝12－4×1×m＝0，解得m＝．
【易错点津】此类问题易出错的地方是根的判别式公式记忆错误．
【方法规律】一元二次方程根的判别：
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．反之也成立．
【试题难度】★★★
【关键词】一元二次方程根的判别式；

9．（2014年江苏省镇江市，9，2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为8，则圆锥的侧面积等于_______．
【答案】24π．
【考点解剖】本题考查了圆锥的侧面积求法，解题的关键是能够熟练运用圆锥侧面积公式．
【解题思路】将R＝3，l＝8代入公式S侧＝πRl即可．
【解答过程】把R＝3，l＝8代入公式S侧＝πRl，可得S侧＝π×3×8＝24π．
【易错点津】此类题目易出错的地方是记错圆锥侧面积公式．
【方法规律】对于圆锥的计算考查主要有两种形式：（1）圆锥的半径、高、母线长中已知两个求圆锥的侧面积或全面积；（2）知道圆锥的侧面积和底面半径，求母线长或高或圆锥侧面展开图的圆心角；（3）已知圆锥侧面展开图弧长及圆心角度数，求圆锥的底面半径和高，解此类题的方法就是利用圆锥的底面周长等于侧面展开图弧长的关系式及勾股定理仔细计算即可．
【试题难度】★★
【关键词】圆锥的侧面积；

10．（2014年江苏省镇江市，10，2分）如图，将△OAB绕着点O逆时针旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°，若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝_______°．
(第10题)

【答案】20°
【考点解剖】本题考查了图形旋转的性质，解题的关键是掌握旋转时，图形上每个点旋转的方向和角度都相同来解决问题．
【解题思路】由于△OAB旋转了两次，每次旋转的角度都是50°，所以∠BOB″＝100°，由于∠B″OA＝120°，用∠B″OA减去∠BOB″的度数，即可得到∠AOB的度数．
【解答过程】由旋转的性质可知，∠BOB′＝∠B′OB″＝50°，
∵∠B″OA＝120°，∴∠AOB＝∠AOB″－∠BOB′－∠B′OB″＝20°．
【易错点津】此类题目易出错的是不能在复杂的题目中找到解题所用的角的度数，造成计算出错．
【方法规律】图形旋转时，图形上每个点都绕旋转中心，沿着相同的方向旋转相同的角度，旋转角相等是进行旋转有关角度计算的突破口．
【试题难度】★★★
【关键词】图形的旋转；旋转角；

11．（2014年江苏省镇江市，11，2分）一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达乙地后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回时的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，货车离甲地的距离y（千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示，则a＝_______（小时）．
(第11题)

【答案】5
【考点解剖】本题考查了从函数图象中获取信息，解题的关键是读取每段函数图象所表示的速度、时间和路程．
【解题思路】如果设甲地到乙地路程为s，从甲地到乙地时的速度为v，则三段图象可列表如下：

第1段
第2段
第3段
速度
v
0
1.5v
时间
3.2－0.5
0.5

路程
s
0
s
通过分析表中的数量关系，可求得第3段所需的时间，即可求得a的值．
【解答过程】如图，由于卸货花了半小时，因此A点横坐标为2.7，所以从甲地到乙地花了2.7小时，由于返回时速度是从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，所以返回时所花的时间是来时的，即1.8小时，所以a＝3.2＋1.8＝5．
(第11题解答)
A
B
C

【易错点津】找不到正确的解决问题的方法，导致出错．或者不能分析得出第一、三两段图象中的时间关系出错．
【方法规律】从函数图象中获取信息类问题，对于行程问题，可逐段分析得出每段图象表示的速度、时间和路程，分析这些数据，就可以求得问题．
【试题难度】★★★★
【关键词】函数的图象；行程问题；应用题；

12．（2014年江苏省镇江市，12，2分）读取表格中的信息，解决的问题．
n＝1
a1＝
b1＝
c1＝
n＝2
a2＝b1＋2c1
b2＝c1＋2a1
c2＝a1＋2b1
n＝3
a3＝b2＋2c2
b3＝c2＋2a2
c3＝a2＋2b2
…
…
…
…
满足≥2014×()的n可以取得的最小正整数是______________．
【答案】7
【考点解剖】本题考查了规律探究问题，需要用到不等式知识和二次根式的运算，解题的关键是找到的值的变化规律．
【解题思路】在≥2014×()中，含参数的部分只有，所以求出的值是解决本题需要首先考虑的问题，而求，可以从a1＋b1＋c1、a2＋b2＋c2、…的结果中寻找规律．
【解答过程】a1＋b1＋c1＝，a2＋b2＋c2＝3(a1＋b1＋c1)＝，a3＋b3＋c3＝3(a2＋b2＋c2)＝，…，＝．代入不等式≥2014×()，可得≥2014×()，化简得≥2014．由于36＝729，37＝2187，所以n的最小值7．
【易错点津】本题容易出错的地方是选错方法，或者计算出错．
【方法规律】解决此类规律探究问题可使用归纳法，从n＝1，n＝2，…这些特殊情况入手，归纳得出结果的一般规律，利用这个规律求出第n个式子的值．
【试题难度】★★★★★
【关键词】规律探究；二次根式运算；不等式；

二、选择题（本大题共有5个小题，每小题3分，共计15分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）

13．（2014年江苏省镇江市，13，3分）下列运算正确的是（ ）
A．(x3)3＝x9 B．(－2x)3＝－6x3 C．2x2－x＝x D．x6÷x3＝x2
【答案】A
【考点解剖】本题考查了整式的运算，涉及幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等知识，解题的关键是熟练运用幂的运算公式解决问题．
【解题思路】运用公式(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，am÷an＝am－n逐项检验．
【解答过程】A项正确；B项(－2x)3＝－8x3，所以错误；C项2x2和－x不是同类项，不能合并；D项错误，x6÷x3＝x3．
【易错点津】这三个错误选项都极具迷惑性，基础不扎实的学生都容易出错．
【方法规律】（1）含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，合并同类项的法则是：系数相加减，字母及其字母的指数不变；
（2）同底数幂相乘法的法则：am×an＝am+n（m、n都是正整数）；
（3）同底数幂相除的法则：am÷an＝am-n（m、n都是正整数）；
（4）幂的乘方的法则(am)n＝amn（m、n都是正整数）；
（5）积的乘方的法则(ab)m＝ambm（m是正整数）．
【试题难度】★★
【关键词】整式乘法；幂的运算；

14．（2014年江苏省镇江市，14，3分）一个圆柱如图放置，则它的俯视图是（ ）
A．三角形 B．半圆 C．圆 D．矩形
(第15题)

【答案】D
【考点解剖】本题考查了圆柱体的三视图，解题的关键是掌握三视图的概念．
【解题思路】三视图实际上就是从三个方向看的正投影，俯视图就是从物体上方向下看．
【解答过程】从上面往下看圆柱，得到图形是一个矩形．
【易错点津】此类题目易出错的主要是混淆三种视图．
【方法规律】主视图是指从立体图形的正面看到的平面图，左视图指从立体图形的左面看到的平面图，俯视图指从立体图形的上面看到的平面图．
【试题难度】★
【关键词】三视图；俯视图；
15．（2014年江苏省镇江市，15，3分）若实数x、y满足，则x＋y的值等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【考点解剖】本题考查了二次根式和平方的非负性，解题的关键是得出、都等于0．
【解题思路】由于、都是非负数，两个非负数的和为0，表示这两个数都等于0．
【解答过程】由题意：，解得．
∴x＋y＝．
【易错点津】常见的错误是直接把根号和平方去掉，导致解不下去．
【方法规律】初中阶段学习了三种非负数，①；②；③，如果出现几个非负数的和为零，则说明这几个非负数的值都等于0，此时可得一个方程组，解方程组即可求得未知数的值．
【试题难度】★★
【关键词】非负数；
16．（2014年江苏省镇江市，16，3分）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
(第16题)

【答案】D
【考点解剖】本题考查了圆周角与圆心角的关系、等腰三角形的性质、正切的知识等，解题的关键是把∠A转化为一个直角三角形的锐角．
(第16题解答)

【解题思路】过点O作OD⊥BC于D，连接OB，OC，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形的性质，可以把∠A转化为∠BOD，然后在Rt△BOD中用锐角三角函数的定义求解．
【解答过程】过点O作OD⊥BC于D，连接OB，OC，则∠A＝∠BOC．
∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC ，∴∠A＝∠BOD．
在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，根据勾股定理可得BD＝＝4．
∴tan∠BOD＝＝，tan∠A＝．
【易错点津】不能正确作出辅助线，将∠A的转化为一个直角三角形的锐角．
【方法规律】要求一个角的三角函数值，通常考虑将这个角置于直角三角形中，在本题中，我们采用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及等腰三角形的性质，把求∠A的正切值转化为求∠BOD的正切值．
【试题难度】★★★
【关键词】圆周角；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；

17．（2014年江苏省镇江市，17，3分）已知过点(2，－3)的直线y＝ax＋b（a≠0）不经过第一象限，设s＝a＋2b，则s的取值范围是（ ）
A．－5≤s≤－ B．－6＜s≤－ C．－6≤s≤－ D．－7＜s≤－
【答案】B
【考点解剖】本题考查了一次函数性质和不等式的性质，解题的关键是先求出a或b的取值范围，再把“s＝a＋2b”化成关于a或b的式子．
【解题思路】把(2，－3)代入y＝ax＋b得出a、b之间的关系，消去s＝a＋2b中字母b，根据a的取值范围，求出s的取值范围．
【解答过程】解：∵直线y＝ax＋b点(2，－3)，∴2a＋b＝－3，即b＝－3－2a．∴s＝－6－3a．
∵直线y＝ax＋b（a≠0）不经过第一象限．∴a＜0，b≤0．
∴，解得－≤a＜0，∴－6＜－6－3a≤－，即－6＜s≤－．
【易错点津】不能充分抓住题目中的每个信息，也就不能求出最后的结果．
【方法规律】（1）当题目提供一个点的坐标时，一般考虑把这个点的坐标代入解析式；（2）直线y＝ax＋b（a≠0）不经过第一象限，可先画出草图，观察图象是呈上升趋势还是呈下降趋势，判断出a的范围，再根据直线与y轴的交点，判断b的取值．
【试题难度】★★★★
【关键词】一次函数图象的性质；不等式组的应用；

三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

18．（2014年江苏省镇江市，18（1），4分）
（1）计算：；
【答案】原式＝2＋×－3＝0
【考点解剖】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握负指数、三角函数、二次根式、立方根的运算法则．
【解题思路】先分别求出、、，再把所得的结果相加减．
【解答过程】原式＝2＋×－3＝0．
【易错点津】本题可能记错运算法则，导致结果出错．
【方法规律】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
【试题难度】★★
【关键词】三角函数；负整数指数幂；二次根式；立方根；

18．（2014年江苏省镇江市，18（2），4分）化简：．
【答案】原式＝＝＝3x－3．
【考点解剖】本题考查了分式的化简问题，解题的关键是正确通分和约分．
【解题思路】先将括号里面通分，进行分式加法运算，然后再进行分式除法运算．
【解答过程】原式＝＝＝3x－3．
【易错点津】受分式方程影响，常有不少同学喜欢去分母，导致结果没了分母而出错．
【方法规律】分式化简的一般步骤：把各个分母因式分解；找准最简公分母；通分；按照同分母的分式的运算法则加减；最后进行乘除运算，并把最终结果化成最简二次根式．
【试题难度】★★
【关键词】分式化简；因式分解；

19．（2014年江苏省镇江市，19（1），5分）解方程：；
【答案】去分母，得3x＋6－2x＝0，
解得x＝－6．
经检验，x＝－6是原方程的解．
【考点解剖】本题考查了可化为一元一次方程的分式方程的解法，解题的关键是找出最简公分母．
【解题思路】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤运算，注意分式方程最后一定要检验．
【解答过程】去分母，得3x＋6－2x＝0
解得x＝－6．
经检验，x＝－6是原方程的解．
【易错点津】常有同学在解分式方程的时候忘记检验，导致出现增根．
【方法规律】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解．
【试题难度】★★
【关键词】分式方程；

19．（2014年江苏省镇江市，19（2），5分）解不等式：2＋≤x，并将它的解集在数轴上表示出来．
(第19（2）题)

【答案】去分母，得6＋2x－1≤3x．
解得x≥5．
它的解集在数轴上可表示为：
(第19（2）题解答)

【考点解剖】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是不等式的基本性质．
【解题思路】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤运算．
【解答过程】去分母，得6＋2x－1≤3x．
解得x≥5．
它的解集在数轴上可表示为：
(第19（2）题解答)

【易错点津】在系数化为1的时候，两边需要同时除以一个负数，这时候不等号方向要改变．
【方法规律】解一元一次不等式与解一元一次方程的思想和方法差不多，只是最后系数化为1的时候不等式两边同时乘或除以正负数涉及到不等号是否改变的问题．
对于在数轴在表示不等式的解集，有固定的要求，即“不含等号的不等式用空心，含等号的不等式用实心”，“不等号的尖端指向哪一边则其解集指向这一边”．
【试题难度】★★
【关键词】解一元一次不等式；

20．（2014年江苏省镇江市，20，6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）连接BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
(第20题)

【答案】证明：（1）在△ABC与△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．∴∠1＝∠2．
（2）∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD．
∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．
∵OC⊥BD，∴□BCDE是菱形．
【考点解剖】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形和菱形的判定，解题的关键是找出图中相等的线段和相等的角．
【解题思路】（1）先利用边边边证明△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等得出∠1＝∠2；（2）CE与BD互相垂直平分，很显然四边形BCDE为菱形，可先证明它是平行四边形，然后再证对角线互相垂直．
【解答过程】证明：（1）在△ABC与△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．∴∠1＝∠2．
（2）∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD．
∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．
∵OC⊥BD，∴□BCDE是菱形．
【易错点津】不正确使用菱形的判定方法，如直接由对角线互相垂直平分就证明菱形．
【方法规律】（1）三角形全等判定方法的选择
已知条件
可供选择的判定方法
一边和这边邻角对应相等
选边：只能选角的另一边（SAS）
选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS、ASA）
一边及它的对角对应相等
只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS）
两边对应相等
选边：只能选剩下的一对边（SSS）
选角：只能选两边的夹角（SAS）
两角对应相等
只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS、ASA）
（2）如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，菱形的几种判断方法可以理解为“平行四边形＋菱形特征＝菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征．
【试题难度】★★
【关键词】全等三角形的判定和性质；边边边；菱形的判定；

21．（2014年江苏省镇江市，21，6分）为了了解“通话时长”(“通话时长”指每次通话时间)的分布情况，小强收集了他家1000个“通话时长”的数据，这些数据均不超过18（单位：分钟），他从中随机抽取了若干个数据作为样本，统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图．
“通话时长”
（x分钟）
0＜x≤3
3＜x≤6
6＜x≤9
9＜x≤12
12＜x≤15
15＜x≤18
次数
36
a
8
12
8
12
根据图、表提供的信息，解答下面的问题：
（1）a＝_______，样本容量是_______，并将这个频数分布直方图补充完整；
（2）求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率；
（3）求估计小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数．
(第21题)

【答案】（1）24，100，频数分布直方图补充如下：
(第21题解答)
12

（2）．
答：样本中“通话时长”不超过9分钟的频率是0.68．
（3）1000×＝120．
答：小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数为120．
【考点解剖】本题考查了数据的描述，涉及的知识点有频数分布表、频数分布直方图、样本估计总体，解题的关键是弄清频数、频率和频数分布直方图之间的关系．
【解题思路】（1）从统计图可以看出通话时长为3＜x≤6的频数为24，所以a＝24；样本容量可将36、24、8、12、8、12相加；（2）通话时长不超过9分钟的频数为36＋24＋8＝68，除以100即可“通话时长”不超过9分钟的频率；（3）先计算出样本中通话时长超过15分钟的频率，然后乘以总体1000即可估计出小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数．
【解答过程】（1）24，100，频数分布直方图补充如下：
(第21题解答)
12

（2）．
答：样本中“通话时长”不超过9分钟的频率是0.68．
（3）1000×＝120．
答：小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数为120．
【易错点津】第（2）问求频率的时候，应该除以100，有可能有学生除以1000．
【方法规律】解答双统计图表问题的关键是要善于抓住两个统计图表之间已知数据信息的联系，并进行信息互补．
【试题难度】★★
【关键词】频数分布表；频数分布直方图；样本估计总体；

22．（2014年江苏省镇江市，22，6分）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都相同，充分摇匀．
（1）若布袋中有3个红球，1个黄球．从袋中一次摸出2个球，计算“摸出的球恰好一红一黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）．
（2）若布袋中有3个红球，x个黄球．
请写出一个x的值_______，使得事件“从袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可能事件．
（3）若布袋中有3个红球，4个黄球．
我们知道：“从袋中一次摸出4个球，至少有一个是黄球”为必然事件．
请你仿照这个表述，设计一个必然事件：_______．
【答案】（1）

红1
红2
红3
黄
红1

红2，红1
红3，红1
黄，红1
红2
红1，红2

红3，红2
黄，红2
红3
红1，红3
红2，红3

黄，红3
黄
红1，黄
红2，黄
红3，黄

P(摸出的球恰是一红一黄)＝＝；
（2）x可取1≤x≤3之间的整数；
（3）答案不惟一，如从袋中一次摸出5个球，至少有一个是红球．
【考点解剖】本题考查了概率，解题的关键是理解摸球．
【解题思路】（1）一次摸出两个的摸球概率事件，相当于“先摸出一个不放回，再摸出一个”的概率事件；（2）当布袋中黄球个数少于4个时，不管怎么摸球，“从袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可能事件．（3）答案不惟一，如从袋中一次摸出5个球，至少有一个是红球．
【解答过程】（1）

红1
红2
红3
黄
红1

红2，红1
红3，红1
黄，红1
红2
红1，红2

红3，红2
黄，红2
红3
红1，红3
红2，红3

黄，红3
黄
红1，黄
红2，黄
红3，黄

P(摸出的球恰是一红一黄)＝＝；
（2）x可取1≤x≤3之间的整数；
（3）答案不惟一，如从袋中一次摸出5个球，至少有一个是红球．
【方法规律】一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．
【试题难度】★★★★
【关键词】概率；列表法；必然事件；不可能事件；

23．（2014年江苏省镇江市，23，6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A．
（1）如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1．
①求点B的坐标及k的值；
②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于_______；
（2）直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．
(第23题)

【答案】解：（1）①当x＝－1时，y＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3) ．
将B(－1，3)代入y＝kx＋4，得k＝1．
②；
【解析】由（1）可得直线AB的解析式为y＝x＋4，得与y轴交点A（0，4）；由y＝－2x＋1与y轴交于点C，得点C（0，4），所以AC=3．由点B(－1，3) 得△ABC的AC边上的高为1，所以．
（2）2＜k＜4．
【解析】y＝kx＋4与x轴的交点为(，0)，－2＜x0＜－1即－2＜＜－1，解得2＜k＜4．
【考点解剖】本题考查了一次函数图象的性质，解题的关键是求出A、B、C三点的坐标．
【解题思路】（1）点B在直线y＝－2x＋1上，把B点横坐标－1代入y＝－2x＋1即可得到B点坐标；把B点坐标代入y＝kx＋4可求出k的值；求△ABC面积的时候，可先求出A、B、C三点的坐标．（2）y＝kx＋4与x轴的交点为(，0)，－2＜x0＜－1即－2＜＜－1，据此可求出k的取值范围．
【解答过程】
解：（1）①当x＝－1时，y＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3) ．
将B(－1，3)代入y＝kx＋4，得k＝1．
②；
【解析】由（1）可得直线AB的解析式为y＝x＋4，得与y轴交点A（0，4）；由y＝－2x＋1与y轴交于点C，得点C（0，4），所以AC=3．由点B(－1，3) 得△ABC的AC边上的高为1，所以．
（2）2＜k＜4．
【解析】y＝kx＋4与x轴的交点为(，0)，－2＜x0＜－1即－2＜＜－1，解得2＜k＜4．
【方法规律】坐标系内求图形面积的时候，首先应该考虑求出图形各顶点坐标，然后再考虑采用什么方法求图形面积．
【试题难度】★★★
【关键词】一次函数图象的性质；

24．（2014年江苏省镇江市，24，6分）如图，小明从点A出出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0．65千米到达点B，sinα＝，然后又沿着坡度为i＝1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C．问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
(第24题)

【答案】解：作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则sinα＝，
(第24题解答)
E
F

BE＝AB×＝0.65×＝．
∵i＝，设CF＝x，BF＝4x，∴BC＝＝1，∴CF＝x＝．
∵BE⊥AD，BF⊥CD，CD⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴BE＝DF．
∴CD＝CF＋DF＝CF＋BE＝．
答：明从A点到C点上升的高度CD是()千米．
【考点解剖】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形解决．
【解题思路】作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，将这个不规则图形分割成两个直角三角形和一个矩形，分别在两个直角三角形中求得CF和FD的长．
【解答过程】解：作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则sinα＝，
(第24题解答)
E
F

BE＝AB×＝0.65×＝．
∵i＝，设CF＝x，BF＝4x，∴BC＝＝1，∴CF＝x＝．
∵BE⊥AD，BF⊥CD，CD⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴BE＝DF．
∴CD＝CF＋DF＝CF＋BE＝．
答：明从A点到C点上升的高度CD是()千米．
【方法规律】解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型：
根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；
‚若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决．
【试题难度】★★★★
【关键词】解直角三角形；坡度；坡角；

25．（2014年江苏省镇江市，25，6分）六·一儿童节，小文到公园游玩，看到公园的一段人行弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A，B，C是弯道MN上三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2＝6（单位：平方米），OG＝GH＝HI．
（1）求S1和S3的值；
（2）设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；
（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP＝2米，NQ＝3米．问一共能种植多少棵花木？
(第25题)

【答案】（1）根据题意：S1∶S2∶S3＝3∶1∶2，又∵S2＝6，∴S1＝18，S3＝12．
（2）点T(x，y)是弯道MN上的任一点，根据弯道MN上任一点到围墙两边的垂线段及围墙所围成的矩形的面积都相等．∴xy＝3S3＝36，∴．
（3）一共能种植17棵花木．
【解析】由MP＝2，NQ＝3和，可得M(2，18)，N(12，3) ，∴Q(12，3)．把x=2，4，6，8，10分别代入，得y=18，9，6，4.5，3.6，∴种树的位置可以为(2，2)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，(2，12)，(2，14)，(2，16)；(4，2)，(4，4)，(4，6)，(4，8)；(6，2)，(6，4)；(8，2)，(8，4)；(10，2) ．
【考点解剖】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是知道弯道的解析式是反比例函数．
【解题思路】（1）由于矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，OG＝GH＝HI．可得AG＝2BH＝3CI，即DE∶EF∶OF＝3∶1∶2，所以S1、S2、S3比为3∶1∶2，由S2＝6，可求得S1和S3的值．（2）由于矩形ADOG、矩形B