测试点35(不等式的解法).doc

不等式的解法
1. 一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：①去括号②移项：将含有的项移到等号的左边，常数项移到等号右边③合并同类项：化为的形式④求解（若的系数含参数，需讨论）。
[例] 解不等式。
[解] （1）（2）
（3）
练习题：
1、解不等式：（1）；（2）
2、解不等式：（1）；（2）
3、解关于的不等式：。
4、解关于的不等式：。
5、解关于x的不等式：。
6、设关于x的不等式的解集是，求不等式的解集。
2. 一元二次不等式的解法
根据不等式的性质，一元二次不等式都可化为，（）的形式。其解集可借助一元二次方程的根或相应的二次函数的图象与轴的交点来获得。
（1）当的判别式时，此方程有两个不等实数根，设。则不等式的解为{|或}；不等式的解为{|}。对应的一元二次函数（）与x轴有两个不同的交点；
（2）当的判别式时，此方程没有实数根。则不等式的解为R；不等式的解为。对应的一元二次函数（）与x轴没有交点；
（3）当的判别式时，此方程有两个相等的实数根。则不等式的解为；不等式的解为。对应的一元二次函数（）与x轴有一个交点（顶点）；
[注意]①若不等式中，，可在不等式两边乘-1转化成二次项系数为正的情况。
②若方程中，时，可根据函数的图象直接写出解集。
练习题：1、解不等式：（1）；（2）；（3）
2、在R上定义运算，，若不等式对任意实数x成立，则（ ）A. B. C. D.
3、不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______．
4、解不等式：（1）； （2）
5、解关于x的不等式：（1）；（2）
6、如果关于x不等式的解为，求。
7、解关于x的不等式：。

3. 分式不等式
分式不等式
同解不等式

①与或同解；
②与同解

①与或同解
②与同解

①与同解
②与同解
（核心为“移项、通分”）
[例] 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______。
[解析] 的解集为，则，且

练习题：
1、若x满足与，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
2、＞1的解是 。
3、解不等式：（1）；（2）；（3）
4、不等式>0的解集为（ ）
A.{x|x<1} B.{x|x>3} C.{x|x<1或x>3} D.{x|1<x<3}
5、下列不等式中与同解的是（ ）
A. B. C. D.
6、不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7、不等式的解集是（ ）
A. R B. C. D.
8、解不等式：（1）；（2）。
9、解不等式：。

4、无理不等式的解法
对于根号下含有未知数的不等式，求解思想是“去绝对值”，根据不等式的性质和算术根的意义把原无理不等式化为有理不等式来解，而去绝对值最常用的方法是平方。在平方的过程中，如果不等号两边均为非负实数，那么可以平方；如果不是，要注意平方后是否等价。另外要保证根号有意义。
（1），当时，不等式等价于；
当时，不等式等价于；
（2），当时，不等式等价于；
当时，不等式无解；
（3）；
（4）
[例1] 解不等式。
[解] 原不等式化为：
所以原不等式的解集为。
[例2] 解不等式。
[解] 原不等式化为：
（1）或（2）
不等式（1）的解集为，不等式（2）的解集为，
故原不等式的解集为。
练习题：
1、解不等式：（1）；（2）
2、解不等式（1）；（2）。（其中为常数）
3、不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
4、解不等式：；
5、解不等式：（1）；（2）
6、解不等式：（1）；（2）（2）
7、解不等式：（1）；（2）
8、不等式的解集是____________。
9、解含参数的不等式。

5、含绝对值的不等式的解法
解含绝对值的不等式，关键是去绝对值。
解含绝对值不等式的基本思想：
化归
脱去绝对值符号

含绝对值不等式 不含绝对值符号不等式

（1）。当时，不等式的解为；
当时，不等式无解。
（2）。当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为一切实数；
当时，不等式的解为一切非零实数。
注：若不等式中含2个以上的绝对值，去绝对值时需要讨论（根据每个绝对值里代数式的正负去绝对值）。
[例1]解不等式
[解] 原不等式与的解相同，即

故原不等式的解集为。
[例2] 解不等式。
[解] 原不等式可化为下列三个不等式组

解得原不等式的解集为。
练习题：
1、解不等式（1）；（2）
2、解不等式
3、解不等式
4、不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－1
5、解不等式：；
6、不等式有实数解的的取值范围是______________。
6. 指数、对数不等式的解法
（1）指数不等式的同解变形
。
时；

（2）对数不等式的同解变形

时，
时，
[例1] 解关于x的不等式：
，其中
[解] 原不等式化为
原不等式等价于

[例2] 解不等式

[解析] 令，则。

由对数性质： ①
又
②
由①②可得，
当时，；当时，
[例3] 解不等式
[解法一] 原不等式可变形为，通分，整理可得

此不等式同解于下面两个不等式组：

由此可得原不等式解为
[解法二] 令，将其代入原不等式，
原不等式可变形为， ①
它的允许值满足
（1）当时，①显然无解；
（2）当时，①等价于，有；
由得
（3）当时，①等价于，有；
由得，
故原不等式的解为
[点评] 解法一是将原不等式转化为同解的两个不等式组来解，解法二首先进行变量代换，然后划分区间，在此基础上将其转化为整式不等式来解，这两种方法是解此类题常用的方法。
练习题：
1、不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
2、已知不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、已知关于x的不等式的解集是，则实数k的取值范围是（ 　）
A. B.
C. D.
4、不等式的解集为　　。
5、已知，则a的取值范围是________。
6、已知在整数集合内，关于x的不等式的解集为｛１｝，则实数a的取值范围是___________.
7、不等式（）＞3－2x的解集是_____.
8、解不等式（a＞0且a≠1）
9、不等式的解集是 （ ）
（A） （B） （C）（0，1） （D）（0，1）
10、已知集合M，N则MN＝（ ）
（A） （B） （C） （D）（0，1）
11、设，函数，则使的的取值
范围是（ ）
（A） （B） （C）（D）
12、解关于x的不等式：.
13、解不等式。

7. 简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式用根轴法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：
（1）将的最高次项的系数化为正数；
（2）若分解成若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集。
注意：在化简为几个一次因式的乘积时，可能某些一次因式的次数大于1，此时要注意次数的奇偶性。
[例] 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
[解] 原不等式可化为，由根轴法，得。故选A。
练习题：
1、若不等式的解集是，则不等式的解集___。
2、解下列不等式（１）； （２）
3、解不等式：（1）；（2）
4、解不等式：
8.含有参数的不等式的求解，往往需要比较（相应方程的）根的大小，对参数进行讨论。
解含参数的不等式，关键是如何分类，所谓分类实质上是找“分界点”。例如，解不等式，在写出解集之前，有两个问题：一是的正负问题；二是与3的大小问题。故分界点为，所以须分五种情况讨论。在解题之前做到心中有数。
[例1] 解关于x的不等式
[解] 原不等式等价于 ①
（1）当时，有。此时，不等式①的解集为。
（2）当时，有。此时不等式①的解集为。
（3）当时，原不等式无解。
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为。
[例2] 已知关于x的不等式的解集中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集。
[解析] 原不等式即，由适合不等式，故得，所以
若，则不等式的解集是；
若，由不等式的解集是
[例3] 已知函数，且方程有两个实根为。
（1）求函数的解析式；（2）设，解关于x的不等式。
[解析] （1）将分别代入方程，
得 解得，所以。
（2）不等式即为，可化为
即
①当时，解集为；
②当时，不等式为，解集为；
③当时，解集为。
[例4] 解关于x的不等式。
[分析] 将分式不等式转化为整式不等式，需用“序轴标根法”。对中的要分类讨论，在求解的过程中容易忽略的情况，以及与-1和2的大小的比较。
[解析] 当时，原不等式等价于，解得
当时，原不等式化为
即
则当时，；
当时，；
当时，；
当时，原不等式等价于
则当时，；
当时，；
当时，。
练习题：
1、解关于x的不等式
2、解关于x的不等式＜0（a∈R）．
3、解关于的不等式:(其中).
7. 解不等式的综合运用
解不等式问题，从本质上说，是研究相应函数的零点、正负区间以及单调性问题。因此，用函数思想解不等式，不仅能优化解题过程，而且能迅速获得解题途径。
[例1]已知是定义在上的奇函数，若，时，有。
（1）用定义证明在上是增函数；
（2）解不等式：
[解]（1）任取，
则：
，则
由已知，又
即在上为增函数。
（2）在上为增函数

[例2]（1）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
(2)设不等式对满足的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。
[分析] 本题可从函数的单调性考虑解决。
[解析] （1）设，

上是增函数
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，为奇函数
又，

，
根据的上述特点，可构造一个符合题意的特殊函数的图象，通过图象直接观察出的解集是。
（2）反客为主，先将m看作变量，x看作常数，令=，可看成是一条直线（由知它实质是一条线段），且使的一切实数都有成立。
所以 ，即，所以
[点评]没有函数，构造函数，巧用线段函数的单调性质解题，这充分体现了函数思想在解答数学问题中的神奇作用。
练习题：
1、若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，）成立，则a的取值范围是（ C ）
A．0 B. –2 C.- D.-3
2、若不等式的解集为Ｒ，求实数m的取值范围。
3、已知是定义在区间上的减函数，是否存在实数m，使得对定义域内的一切实数x恒成立。若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
4、设是函数的反函数，则使成立的
x的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
5、二次函数对一切R都有，解不等式。