数理方程8-11章习题_计算题).doc

数学物理方法8－11章习题选
1、求解定解问题：
2．求解定解问题：
3、求解定解问题：
4、求解定解问题：
5、 在半径为a的圆域内求解定解问题：
6．在圆域内求解定解问题：
7、在半径为a的圆域外求解定解问题：
§8－3
1．　
2．　
3．　
4．　
5．　
§8－4
1．在圆域上求解：
2．在圆域上求解：。
3．在圆域 上求解：
4．在半径为a的圆域内求解定解问题：
§9－1
1．在球坐标系中，拉普拉斯方程为

试将方程分离为三个常微分方程。
2．在柱坐标系中，拉普拉斯方程为：
试将方程分离为三个常微分方程。
3．在球坐标系中，亥姆霍兹方程为：

试将方程分离为三个常微分方程。
4．在柱坐标系中，亥姆霍兹方程为：

试将方程分离为三个常微分方程。
5．在球坐标系中，氢原子的定态问题薛定谔方程为

其中都是常数，试将方程分离为三个常微分方程。
6．平面极坐标中二维波动方程为：

其中， ，试将方程分离为三个常微分方程。
7．平面极坐标中二维输运方程为：

其中， ，试将方程分离为三个常微分方程。
§10－1
1．求解球形区域内部的定解问题：
2．求解球形区域内部的定解问题：
3．求解球形区域外部的定解问题：
4．求解球形区域内部的定解问题：，A为常数。
5．写出勒让德多项式的母函数，利用母函数证明递推公式：

6．计算
§10－3
1．求解球形区域内部的定解问题：
[提示：. ]
2．求解球形区域外部的定解问题：
[提示：. ]
3．求解球形区域内部的定解问题：
[提示：. ]
4．求解球形区域外部的定解问题：
[提示：. ]
5．求解球形区域内部的定解问题：
[提示：. ]
6．求解球形区域内部的定解问题：，A为常数。
§11－2
1．
2．
3．
4．
5．
6．　　
7．
提示：
8．
提示：
9． ；提示：在柱坐标系中，若与、无关，，则；
10．，求本征振动。提示：与无关，亥姆霍兹方程分离变数：
11．
提示：在柱坐标系中，若与、无关，，则。
§11－4
1．　
2．　
3．　
部分习试题解答

§8－3
3．　

4．解：　　　　　　　　　　　

代入泛定方程,得

分为两个定解问题
　，　
求解：

5．解：

代入泛定方程,得

，

，　　　　

§10－1
5．解：用§8－4的特殊处理法找特解，因为，简单的特解是
。
令　　　　　

§10－3
6．
解：找特解，因为，简单的特解是
，

§11－2
1．类似于§11－2习题4，是第一类齐次边界条件，原定解问题的一般解为

2．原定解问题的一般解为

3．类似于§11－2例题4，柱面上有第二类齐次边界条件，因此有通解

4．类似于题3，柱面上有第二类齐次边界条件，因此有通解

5．（§11－2例题6的变形）解：1)与无关；2)上下底齐次边界条件， ，（即：本征值）；3）圆柱面上的齐次边界条件和轴上的自然边界条件，，本征值；4)
，。
一般解为：

，

6．解：1)与无关；2)上下底有第二类齐次边界条件，；3）圆柱面上有齐次边界条件，，本征值；4)，。
的一般解为：

7．§11－2习题4，是第一类齐次边界条件，，原定解问题的一般解为

8．（类似于§11－2习题5），与无关，柱面上有第二类齐次边界条件。

，

9.　 （类似于§11－2习题7），令　
分离变量得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）
　　　　　　　　　　　　　（2）
加上边界条件，构成本征值问题，本征函数为：，　本征值　

　　　，

10．§11－2习题8，，，
与z无关，
本征值问题1　　，　　　
本征值问题2　　　　　，

本征振动为：
11．§11－2习题12，与、无关，令

的方程是非齐次方程，是其一个特解，令，代入上式，得
，即
是零阶贝塞尔方程

，

§11－4
1．（§11－4习题4）
上下底的非齐次边界条件可转化为齐次边界条件，即令　

，

2．（§11－4习题2）
上下底的非齐次边界条件可转化为齐次边界条件，即令

3．（§11－4例题1）　令　

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