浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题4.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题4

试卷命题双向细目表
题序
考查内容
分值
难易程度
1
集合的含义及运算
5
容易题
2
不等式及充要条件的判断
5
容易题
3
三视图，直观图
5
容易题
4
函数零点概念及判定
5
中档题
5
函数性质与图像
5
中档题
6
平面向量概念及数量积运算
5
中档题
7
等差等比数列及归纳推理
5
中档题
8
线性规划中的最值及数形结合的思想方法
5
中等偏难题
9
双曲线的定义及几何性质
5
中等偏难题
10
新定义的理解
5
较难题
11
复数运算以及复数虚部的概念
4
容易题
12
等差等比数列的运算
4
容易题
13
二项式定理应用
4
容易题
14
程序框图的理解
4
中档题
15
正余弦定理解三角形
4
中档题
16
抛物线方程与性质
4
中等偏难题
17
立体几何的体积及推理
4
较难题
18
三角函数的图象与性质、三角变换
14
容易题
19
随机事件概率和随机变量分布列、期望
14
容易题
20
空间点线面位置关系，二面角，空间向量应用
14
中档题
21
椭圆的几何性质，直线与椭圆的定值定点
15
中等偏难题
22
导数运算法则、导数应用
15
较难题
难度系数

150
0.65—0.70
说明：题型及考点分布按照《2013考试说明》参考样卷。

2013年高考模拟试卷 数学卷（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
参考公式：
如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示球的半径 表示棱台的高

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集为实数集，集合，则 ( )
A． B． C． D．
（命题意图：考查集合的含义及运算，属容易题）

2．设，那么“”是“”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
（命题意图：考查不等式及充要条件的判断，属容易题）

3．（引用：福建省莆田市2011年质量检查理科）某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ）

（命题意图：考查三视图，直观图，属容易题）

4．(改编)下列各数中，与函数的零点最接近的是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（原题）设函数f (x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f (x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则
A．x1＞－1 B．x2＜0 C．x2＞0 D．x3＞2
（命题意图：考查函数零点概念及判定，属中档题）

5．(改编) 函数在上的图象是( )

（原题）对函数现有下列命题:
①函数是偶函数; ②函数的最小正周期是
③点是函数的图像的一个对称中心;
④函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
其中是真命题的是 (把正确结论的序号都填在横线上).
（命题意图：考查函数性质与图像，属中档题）

6．（改编）如图，在中，AB＝3，AC＝5，且是的外心，则·的值是
(A) －8 (B) －1 (C) 1 (D) 8
（原题）已知在直角中，，，，且是的外心，则
A．   B． C．   D．
（命题意图：考查平面向量概念及数量积运算，属中档题）
7．（引用：湖南十二校13届高三第一次联考（理））已知各项均不为零的数列，定义向量·下列命题中真命题是( )
A．若对任意的，都有cn∥bn成立，则数列是筹差数列
B．若对任意的，都有cn∥bn成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有cn⊥bn成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有cn⊥bn成立，则数列是等比数列
（命题意图：考查等差等比数列及归纳推理，属中档题）

8．实数满足如果目标函数的最小值为，则实数的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
（命题意图：考查线性规划中的最值及数形结合的思想方法，中等偏难题）

（第9题）
9．（引用：2013年2月海宁市高三期初测试试题卷(理科数学)）已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
（命题意图：考查双曲线的定义及几何性质，中等偏难题）

10．（引用：安徽蚌埠市13届高三第一次质量检测（理））定义全集U的子集A的特征函数为表示集合A在全集U中的补集，已，给出以下结论中不正确的是（ ）
A.若；
B.对于任意；
C.对于任意；
D.对于任意
（命题意图：考查新定义的理解，属较难题）
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．(原创) 若复数的虚部是实部的2倍，则实数a的值为___ ___.
（命题意图：复数运算以及复数虚部的概念，属容易题）

12．(原创) 已知等差数列前15项的和=30，则=_________.
n＝12, i＝1
n＝3n＋1
开 始
n是奇数?
输出i
结 束
是
否
n＝
n＝1?
是
否
n
2
i＝i＋1
(第14题图)
（命题意图：等差等比数列的运算，属容易题）

13．(原创) 的展开式中各项系数的和2，
则该展开式中常数项为__ _.
（命题意图：考查二项式定理应用，属容易题）

14．（引用：温州十校联合体13届高三上学期期末联考）
若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
（命题意图：考查程序框图的理解，属中档题）

15．设的内角所对的边长分别为，且，,则边长= ．
（命题意图：考查正余弦定理解三角形，属中档题）

16．（改编）已知抛物线，过抛物线的焦点Ｆ的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为、，,,则 ．.
（原题）过抛物线的焦点Ｆ的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为、，求证：.
（命题意图：考查抛物线方程与性质，中等偏难题）

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
(第17题图)

17．（引用：浙江省考试院2013届高三测试卷（理）试题）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2．若存在各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分别在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直线上，则此长方体的体积为 ．
（命题意图：考查立体几何的体积及推理，属较难题）

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）
（改编）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．
（原题）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求在区间上的值域．
（命题意图：考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识，同时考查运算求解能力，属容易题）

19．（本题满分14分）
一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分的分布列；
（2）求甲总得分的期望．
（命题意图：考查随机事件概率和随机变量分布列、期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识，属容易题）

20．（本题满分14分）
如图,在ΔAOB中，已知AB＝4，D为线段贴的中点. ΔAOC是由绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO-C的大小为.
(I)当平面COD丄平面AOB时，求的值；
（II）当 求二面角B－OD－C的余弦值

A
O
B
C
D

（原题）如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．
(Ⅰ) 当平面COD⊥平面AOB时，求的值；
(Ⅱ) 当∈[,]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

（命题意图：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力，属中档题）

21．（本题满分15分）
（改编）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成
等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
（原题）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点（0，1）。

（命题意图：考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的定值定点，及解析几何的基本思想方法，属中等偏难题）
22．（本题满分15分）
（改编）已知函数
（I）当a=0,求的最小值；
（II）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（III）当，求证。
（原题）已知函数
（I）求的单调区间；
（II）讨论关于x的方程的解的个数；]
（命题意图：考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，属较难题）

学校 班级 姓名 考号

装 订 线
2013年高考模拟试卷 数学卷（理科）
答题卷

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11 ______ __ 12 ___ _____. 13_____ ___ 14_____ ___.

15______ __. 16___ _. _ __. 17________.

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
18．（本小题14分）
（改编）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．

19．（本小题14分）
一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分的分布列；
（2）求甲总得分的期望．

20．（本小题14分）
（改编）如图,在ΔAOB中，已知AB＝4，D为线段贴的中点. ΔAOC是由绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO-C的大小为.
(I)当平面COD丄平面AOB时，求的值；
（II）当 求二面角B－OD－C的余弦值

21.（本小题15分）
（改编）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成
等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

（22）（本题满分15分）
（改编）已知函数
（I）当a=0,求的最小值；
（II）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（III）当，求证。

2013年高考模拟试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
A
D
A
D
A
D　

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
11、6 12、6 13、10 14、10
15、5 16、 17、4
三、解答题（本大题有5小题, 共72分）
18．（本题满分14分）
解: 解：（Ⅰ）
. ……………3分
所以． ……………4分
由，
得．
故函数的单调递减区间是（）． …………7分
（Ⅱ）因为， 所以．
所以． …………10分
因为函数在上的最大值与最小值的和，
…………13分
所以． …………14分

19. （本题满分14分）
解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种情况，记为甲总得分。…………2分
,,
, …………6分

6
7
8
9

…………10分
（1）j甲总得分的期望 …………14分

20. （本题满分14分）
(Ⅰ) 解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，
F
C
A
O
B
D
(第20题)
G
E
因为平面AOB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD＝OD，
所以BE⊥平面COD， ……………3分
故BE⊥CO．
又因为OC⊥AO，
所以OC⊥平面AOB，
故OC⊥OB．
又因为OB⊥OA，OC⊥OA，
所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，即＝． ……………7分
(Ⅱ) 解：当=时，
过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，
则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角． ……………10分
在Rt△OCF中，CF＝，OF＝1，
在Rt△CGF中，GF＝OF sin＝，CG＝，
所以cos∠CGF ＝＝．
所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为． ……………14分
解法二：
(Ⅰ)以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，C．
设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量， 由　
得取z＝1，则＝(－1，－，1)．
又因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，
设二面角C－OD－B的大小为,
故二面角C－OD－B的余弦值为 …………14分

21. （本题满分15分）
解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴∴
又∵椭圆经过点，代入可得，
∴,故所求椭圆方程为 …………3分
（2）首先求出动直线过（0，）点． …………5分
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： …………6分
当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程： …………7分
由
即两圆相切于点（0，1）,因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）。事实上，点T（0，1）就是所求的点。 …………9分
证明如下:
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点、 …………12分

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件． …………15分
（注：其他解法相应给分）
22. （本题满分15分）..
解：（I）
………………1分
的变化的情况如下：

—
0
+

极小值

………………3分
所以， ………………4分

（II） 由题意得： ………………5分
函数在区间上为增函数，
当时，即在上恒成立，
， ………………7分
又当时，，
,
………………9分
（III）原不等式可化为：

令 ………………11分
上单调递减，在上单调递增，
………………13分

令 …………15分

17