高中数学《抛物线》练习题.doc

高中数学《抛物线》练习题
一、选择题：
1. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
(A) (B) (C) (D)1
2. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
3. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 （ ）
A．2+ B． C． D．21
5 .（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0
6. （湖北卷）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
7．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 .
8．若抛物线的焦点在x轴上，则m的值是 .
9．过（－1，2）作直线与抛物线只有一个公共点，则该直线的斜率为 .
10．抛物线为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 .

O
A
B
E
F
M
三、解答题：
11. （江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹

12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.
当m<1时, AK与圆M相交.

13、(全国卷III)
设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。

14.（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
x
y
O
A
B

抛物线练习题答案

解答：一。BB D BB A
三.1. 解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为－k，方程为
∴由，消 解得
∴(定值) 所以直线EF的斜率为定值
（2）直线ME的方程为
由得 同理可得
设重心G（x, y），则有
消去参数得
4. [解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,
则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, ∴N的坐标(,).
(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK与圆M相离;
当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.

8. ．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0
∴上述条件等价于 ∵
∴上述条件等价于 即当且仅当时，经过抛物线的焦点。
（Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程 得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即
13.解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当即时，等号成立。 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；