近世代数学习系列二十二 群论与魔方.doc

群论与魔方：群论基础知识

要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。

群的基本定义
设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「•」。如果G的元素和「•」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, •)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, •)」径直称为「群G」)：
1. 「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a • b ∈ G。
2. 「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a • b) • c = a • (b • c)。
3. 「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e • a = a • e = a。
4. 「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a−1 (称为a的「逆元」)，使得a • a−1 = a−1 • a = e。
请注意由于「•」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a • b • c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a • a • a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0 = e，a−n = (a−1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a−1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a • b)也是G的元素，因此我们也可以谈论(a • b)的逆元，而且这个逆元满足
(a • b)−1 = b−1 • a−1      (1)
如果(G, •)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b而言，a • b = b • a，我们便说(G, •)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。

此外，如果在G中存在一个元素g使得对G中任何元素a，都有a = gn，其中n为0、正整数或负整数，我们便说(G, •)是「循环群」(Cyclic Group)。在此情况下，我们说G由g生成，记作G = < g >，其中< g >称为g的「生成集合」(Span)，其定义为< g > = {gn: n是整数}，我们也说g是G的「生成元」(Generator)。
举例说，如果我们把G定为整数集Z，把「•」定为整数的加法「+」，那么容易验证(Z, +)构成一个交换群，这个群的「单位元」是0，对每个整数n而言，其「逆元」就是其负数−n。而且(Z, +)也是一个循环群，其生成元就是1，因为Z中的元素要么是0，要么是正整数，要么是负整数，而对任何正整数n而言，我们有n = 1 + 1 + ... 1 (共n个1)，以及−n = (−1) + (−1) + ... (−1) (共n个−1)。由此我们有Z = < 1 >。

类似地，如果我们把G定为非零实数集R*，把「•」定为实数的乘法「×」，那么容易验证(R*, ×)也构成一个交换群，这个群的「单位元」是1，对每个非零实数x而言，其「逆元」就是其倒数1 / x。但(R*, ×)不是一个循环群，因为我们无法找到R*的生成元。

「群」是一个非常广泛的概念，其定义中的集合G的元素可以是各式各样的对象，除了上述较为具体的整数／非零实数外，还可以是某些抽象数学对象，例如「几何变换」。以下介绍一种特殊的几何变换－「对称变换」，即可保持几何图形的形状不变的变换，以下图为例：

上图显示一个等边三角形的三个顶点A、B、C以及三条对称轴。上图共有以下六种对称变换：恒等变换(Identity Transformation，记作I，即不作任何变换，亦等同于逆时针旋转0°)、逆时针旋转120° (记作R)、逆时针旋转240° (记作R2)、以通过三角形上方顶点(即上图中的A点)的轴为对称轴的反射(记作RA)、以通过三角形左下方顶点(即上图中的B点)的轴为对称轴的反射(记作RB)、以通过三角形右下方顶点(即上图中的C点)的轴为对称轴的反射(记作RC)(注1)。
我们可以把上述六种对称变换组成一个集合，记作S3 (下标"3"代表三角形)。这个集合中的元素有一种二元运算，称为「复合」(Composition)，记作「•」。两个变换的「复合」就是先后进行该两个变换，举例说，RA • R2便代表先以通过A点的轴为对称轴进行反射，然后逆时针旋转120° (注2)。基于上述定义，容易推出(S3, •)构成一个群，称为「对称群」(Symmetry Group)。首先，任何两个对称变换的复合显然也是一个对称变换，例如RA • R2 = RB，因此「•」满足封闭性。其次，「•」显然也满足结合性。第三，I显然就是S3中的单位元。最后，每个对称变换都有其逆变换，而且这个逆变换显然也是对称变换，例如R−1 = R2，(RA)−1 = RA等。
我们也可以把S3的元素看成对顶点集合{A, B, C}进行「排列」(Permutation，亦译作「置换」)的结果，一个集合的排列就是该集合上的一个「双射」(Bijection)。例如前述的RA就相当于把A映像为A，B映射为C和C映射为B的变换。由于这个集合有3个元素，所以共有3! = 6种排列，刚好对应着前述的六种对称变换，因此S3也称为「排列群」(Permutation Group，亦译作「置换群」)(注3)。
(S3, •)既非交换群，亦非循环群。首先，变换的复合并不满足交换性。举例说，RA • R2 ≠ R2 • RA，因为上式的左方等于RB，而右方则等于RC。其次，S3也不存在生成元，因为旋转和反射是两类很不相同的变换，不能把某一类变换表达为重复进行另一类中某变换的结果。

子群
接着我们引入「子群」(Subgroup)的概念。给定群(G, •)和G的子集H，如果(H, •)本身也是群，那么我们说(H, •)是(G, •)的「子群」。由于H的运算跟G的运算相同，若(G, •)满足结合性，(H, •)自然也满足结合性，所以给定G的某子集H，如要检验(H, •)是否(G, •)的子群，只需检验
1. 「封闭性」－对H中任何两个元素a和b而言，a • b ∈ H。
2. 「单位元」－G的「单位元」e ∈ H。
3. 「逆元」－对于H中任何元素a而言，a−1 ∈ H。
如果在H中存在一个元素h使得对H中任何元素a，都有a = hn，其中n为整数，我们便说(H, •)是(G, •)的「循环子群」(Cyclic Subgroup)，并记作H = < h >。

请注意即使G不是循环群，它也可以有循环子群。事实上，给定群G和G的某个元素h，不难构造出由h生成的循环子群< h >，方法是先写出h0 = e，然后依次写出h、h2 ... 直至hn = e，其中n为使hn = e成立的最小正整数。容易验证< h > = {e, h, h2 ... hn−1}是G的一个循环子群。请注意对G中任何元素h而言，必有某个最小的正整数n使得hn = e，我们把这个n称为h的「阶」(Order)，这个数字也就是< h >的基数。

以前述的等边三角形对称群S3为例，这个群不是循环群，但却包含多个循环子群。举例说，所有旋转变换便组成一个循环子群：< R > = {I, R, R2}。此外，每个反射变换也各自生成一个循环子群，例如< RA > = {I, RA}。最后，I本身也构成一个(平凡)循环子群：< I > = {I}。

魔方群
把以上介绍的内容推广应用于魔方，便可得到一个「魔方群」(Rubik Group)，记作(RUBIK, •)，其中集合RUBIK包含对魔方的各种操作，这些操作包括笔者在上一章，即《群论与魔方：魔方的基本概念》中介绍的操作以及这些操作的复合。举例说，上一章介绍了以下两种操作：「顺时针旋转前面90°」(F)和「逆时针旋转上面180°」(U−2)，这两个操作的复合(F • U−2)也是一个操作，代表「先顺时针旋转前面90°，然后再逆时针旋转上面180°」，因此也是RUBIK的元素(注4)。「魔方群」的二元运算「•」则代表魔方上各种运算之间的复合。

请注意「复合」(•)在这里出现于两个不同层面。一方面它是RUBIK中元素之间的二元运算，另一方面它又是RUBIK中某些复合元素的代号的一个组成部分，例如前述的F • U−2。之所以出现这个情况，是因为RUBIK包含非常多元素。根据某些数学家的计算，RUBIK元素的数目为
8! × 12! × 38 × 212 / 12 = 4.3252 × 1019      (2)
由于RUBIK的元素极多，难以亦无必要为每一个元素提供一个独特的代号，所以无可避免要把某些复合元素写成其它较简单元素的复合。不过，有时我们也需要区分上述两个层面。为此，以下将把作为复合元素代号一部分的「•」略去不写。在这个约定下，FU−2代表一个复合元素，而F • U−2则代表两个元素的复合。

容易验证(RUBIK, •)满足上述公理。首先，如前所述，任意两个操作的复合显然也是一个操作，故满足封闭性。其次，操作之间的复合显然满足「结合性」。第三，RUBIK的单位元就是「恒等变换」，即不作任何操作，以下记作I。最后，RUBIK的每个元素都有逆元。对于简单元素而言，其逆元在上一章中已有所定义，例如F的逆元就是F−1。对于复合元素而言，只需应用前述的公式(1)便可找到其逆元，例如FU−2的逆元就是U2F−1。RUBIK显然不是交换群，因为调换两个操作的先后次序，所得结果可能不同，例如F • U ≠ U • F。

RUBIK包含多个循环子群，上一章介绍的各种90°旋转(包括顺时针和逆时针)便可生成4阶的循环子群，例如< F > = {I, F, F2, F−1}和< F−1 > = {I, F−1, F2, F}。除此以外，各种180°旋转也可生成2阶的循环子群，例如< F2 > = {I, F2}。

从某一角度看，我们可以把RUBIK看成某个排列群的子群，这个排列群的元素是对魔方小面的所有可能排列。由于魔方共有54个小面，这个排列群可记作S54，其元素数目是
54! = 2.3084 × 1071      (3)
比较(2)和(3)，我们看到S54的元素数目远远多于RUBIK的元素数目，这说明了在魔方小面的所有可能排列中，只有极小部分可以透过魔方的操作实现。举例说，魔方上的方块分为角块、边块和中心块这三类，魔方的操作只能把某一类中的方块送到同类方块的位置上，因此如果某一排列是把「fru」角块的前面送到「fu」边块的前面，那么这个排列就是不可能实现的，因而不属于RUBIK。魔方小面的可能排列还有其它限制，这些限制将在以后各章中提到。

注1：RA、RB和RC下标中的A、B和C是就三角形的初始状态而言的。三角形经变换后，A、B和C可能已转到不同位置，但RA仍是指以通过当前三角形上方顶点(不一定是A点)的轴为对称轴的反射，其余类推。
注2：本文不采用大多数群论教科书表示复合变换的方法(即用X • Y代表先进行Y，后进行X)，这是为了与大多数魔方书籍／网址用来表示魔方复合操作的方法(详见下文)保持一致。
注3：「对称群」与「排列群」是两个不同的概念。尽管S3既是「对称群」，又是「排列群」，但一般而言这两个概念并不重合。请注意当n > 3时，Sn专指「排列群」。
注4：请注意上一章介绍的某些操作也可以看成复合的结果，例如CU便可以表达为U • MU • D−1，因为把整个魔方绕其垂直轴转动90°实质上等同于把魔方的顶、中、底层逐层转动90°。由此可见，RUBIK的成员可以有多于一种等价表达法。

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