2013江苏泰州中考数学解析党常兰.doc

泰州市2013年初中毕业、升学统一考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 满分150分）
请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分
2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效
3.作图必须用2B铅笔，并加黑加粗
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1.（2013江苏泰州，1，3分）－4的绝对值是（ ）
A. 4 B. C.－4 D. ±4
【答案】 A.
【考点解剖】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是掌握实数绝对值的求法．
【解题思路】方法一：在实数范围中，任何数的绝对值都是非负数，而负数的绝对值等于它的相反数.方法二：一个数的绝对值就是它在数轴上对应的点到原点的距离．
【解答过程】 解：⑴．故选A．⑵∵在数轴上对应的点到原点的距离为4，∴ 的绝对值为4. 故选A.
【方法规律】求实数绝对值的一般方法：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0. 求一个数的绝对值也可以利用“它在数轴上所对应的点到原点的距离”来求．
【关键词】绝对值、相反数、求数轴上两点间距离.

2.（2013江苏泰州，2，3分）下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【考点解剖】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式的加减运算，正确掌握二次根式的化简是关键．
【解题思路】先根据二次根式的的性质进行化简，再根据同类二次根式的加减进行运算，A的结果是，而非1，B、D都不能进行运算，所以选B．
【解答过程】∵，，∴选B.
【方法规律】对于二次根式的运算，一般先把二次根式化成最简二次根式，然后进行加减运算。
【归纳拓展】在选择题中对于二次根式的运算主要考查二次根式的化简和同类二次根式的加减运算，解此类题的方法就是利用各自运算法则仔细计算即可.
【易错点睛】此类题目中，易错点为：①同类二次根式才能进行加减运算，不是同类二次根式不能进行加减运算；②对有关运算公式不熟悉而导致错误.
【关键词】二次根式 二次根式的运算

3.（2013江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点解剖】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解答本题的关键．
【解题思路】根据一元二次方程根的判别式，逐一验证四个选择项求解.
【解答过程】解：选项A中的，所以方程有两个不相等的实数根；选项B中的，所以方程没有实数根；选项C中的，所以方程有两个相等的实数根；选项D中的，所以方程没有实数根．故选A.
【方法规律】一般判断一元二次方程根的情况，通常通过计算一元二次方程根的判别式来实现．
【关键词】一元二次方程，一元二次方程根的判别式

4.（2013江苏泰州，4，3分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】 B.
【考点解剖】本题考查了轴对称和中心对称的概念和性质，解题的关键掌握轴对称和中心对称的概念．
【解题思路】根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断来求解．
【解答过程】根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B即是中心对称图形，又是轴对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选B
【方法规律】对于对称图形的题目，一般先根据轴对称和中心对称的概念和性质进行逐一判断，再根据题目的要求下结论；对于此类题，认真审题是关键．
【关键词】轴对称图形，中心对称图形

5.（2013江苏泰州，5，3分）由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】 D
【考点解剖】本题主要考查了组合几何体的三视图，能够正确判断出几何体的三视图是关键．
【解题思路】根据几何体的三视图的画法，判断出每个几何体的三视图，这个组合几何体中圆柱体和长方体左视图均为矩形，又根据选项A可知，圆柱体位于长方体的中间，故选D.
【解答过程】：因为圆柱体和长方体左视图均为矩形，又根据选项A可知，圆柱体位于长方体的中间，故选D.
【方法规律】先根据题目给出的几何体判断出它们的三视图，再进行判断.
【关键词】画三视图
【易错点睛】⑴几何体的三视图都是平面图形；⑵一定要注意几何体的放置位置.

6.（2013江苏泰州，6，3分） 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)、P(B)、 P(C)，则P(A)、P(B)、 P(C)的大小关系正确的是（ ）
A. P(C)＜P(A)=P(B) B. P(C)＜ P(A)＜P(B)
C. P(C)＜ P(B)＜P(C) D. P(A)＜ P(B)＜P(C)
【答案】 B.
【考点解剖】本题考查了确定事件和不确定事件概率的求法. 掌握简单事件概率的求法是关键．
【解题思路】因为“事件A：打开电视，它正在播广告”是不确定事件，所以0<P(A) <1；“事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7”是确定事件里的必然事件，所以P(B)=1；“事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化”是确定事件里的不可能事件，所以P(C)=0．故选B.
【解答过程】∵0<P(A) <1，P(B)=1，P(C)=0，∴P(C)＜ P(A)＜P(B)，故选B.
【方法规律】⑴确定事件包括必然事件和不可能事件，其中必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率介于0和1之间 . ⑵求一个不确定事件发生的概率的一般方法：先根据列表、树状图或枚举法列举出所有可能的情况，再根据计算得出．
【关键词】确定事件、不确定事件、求概率的方法
【易错点睛】对于确定事件，包括必然事件和不可能事件，这一点一定要搞清楚；另外不确定事件的发生的概率介于0和1之间.

第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
7.（2013江苏泰州，7，3分）9的平方根是
【答案】 ±3
【考点解剖】本题主要考查了平方根的概念，能够正确计算实数的平方根是关键．
【解题思路】因为正数的平方根有两个，所以9的平方根是±3.
【解答过程】：∵，故答案为±3.
【方法规律】⑴正数的平方根有两个；0的平方根是0；负数没有平方根.⑵一个正数的平方根中，正的那个平方根叫做算术平方根；0的算术平方根为0.
【关键词】平方根
【易错点睛】对于这类题，一定要认真读题，看清题目要求的是平方根还是算术平方根，这两个概念不要混淆.

8.（2013江苏泰州，8，3分）计算：=
【答案】
【考点解剖】本题主要考查了整式的运算，能够正确掌握整式的运算法则是关键．
【解题思路】因为单项式与单项式相乘，分别把单项式的系数、相同字母的幂相乘，所以，故答案为.
【解答过程】：∵，故答案为.
【方法规律】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式；（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；（3）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项.
【关键词】单项式与单项式相乘
【易错点睛】⑴计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

9.（2013江苏泰州，9，3分）2013年第一季度，泰州市共完成工业投资22 300 000 000元，22 300 000 000这个数可用科学记数法表示为
【答案】.
【考点解剖】本题考查了科学记数法.根据概念求解是解决问题的关键.
【解题思路】科学记数法就是要写成a×10的形式，得先确定a，再确定n（其中1≤│a│＜10，n为整数）．
【解答过程】∵22 300 000 000=，∴答案为.
【方法规律】把一个数写成a×10n的形式（其中1≤＜10，n为整数，这种计数法称为科学记数法），其方法是⑴确定a，a是只有一位整数的数；⑵确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．．
【关键词】科学记数法.
【易错点睛】科学记数法就是把一个数写成a×10n的形式，一定要注意，这里的a是介于1和10之间的数，a可以是1，但不可以是10.

10.（2013江苏泰州，10，3分）命题“相等的角是对顶角”是 命题. （填“真”或“假”）
【答案】假
【考点解剖】本题主要考查了真命题和假命题，能够通过举反例说明一个命题是假命题是解答此题的关键．
【解题思路】判断一个命题是真假命题时，应该是先判断是否正确，正确的要给出证明，错误的要举出反例。本题中因为相等的角不一定是对顶角，还有可能是同位角或内错角，所以命题“相等的角是对顶角”是假命题.
【解答过程】：因为相等的角不一定是对顶角，还有可能是同位角或内错角，或者是在位置上没什么特殊关系的两个角，所以命题“相等的角是对顶角”是假命题.故答案为假.
【方法规律】判断一个命题是假命题，通常有两种方法：⑴反证法；⑵举反例.
【关键词】真命题、假命题

11.（2013江苏泰州，11，3分）若，则的值是
【答案】1.
【考点解剖】本题考查了因式分解中完全平方公式的运用以及代数式求值中的整体代入思想方法的运用，灵活运用代数式求值的方法是解题的关键．
【解题思路】先根据得：，再根据完全平方公式得：，然后整体代入即可．
【解答过程】∵，∴，
又∵，∴原式=.
【方法规律】对于因式分解的方法有：⑴提公因式法；⑵运用公式法；⑶十字相乘；
名称
公式
平方差公式

完全平方公式

“十字相乘”法

【关键词】因式分解 完全平方公式

12.（2013江苏泰州，12，3分）某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是 岁.
【答案】15岁
【考点解剖】本题考查了中位数的概念.正确掌握求中位数的方法是关键.
【解题思路】把这组数据按照大小顺序排列后，因为数据为偶数个，则中位数数为这组数据中最中间位置的两个数的平均的数.
【解答过程】：把40个人的年龄按大小顺序排序，因为：第20个人的年龄和第21个人的年龄都是15岁，所以中位数为15岁.故答案为15岁.
【方法规律】求一组数据的中位数，必须先把这组数据按照大小顺序排序，(1）当数据有奇数个时，则中位数数为这组数据中最中间位置的数；（2）当数据有偶数个时，则中位数数为这组数据中最中间位置的两个数的平均的数.
【关键词】中位数
【易错点睛】求一组数据的中位数，一定要先按这组数据的大小顺序进行排序，这一点非常重要.

13（2013江苏泰州，13，3分）对角线互相 的平行四边形是菱形.
【答案】垂直
【考点解剖】本题考查了菱形的判定方法.正确掌握菱形的判定方法是关键.
【解题思路】要判定一个平行四边形是菱形，要么需要有一组邻边相等，要么需要对角线互相垂直.所以此处需满足“垂直”条件.
【解答过程】∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故答案为垂直.
【方法规律】判定一个平行四边形是菱形，有两种方法：⑴一组邻边相等；⑵对角线互相垂直.
【关键词】菱形，平行四边形

14.（2013江苏泰州，14，3分）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm.
【答案】6
【考点解剖】本题考查了线段的垂直平分线的性质和三角形的周长，解答本题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
【解题思路】根据线段垂直平分线的性质，得：BD=DC，所以求三角形ABD的周长就转化为求线段AB、AD、DC的和，即AB+AC，所以△ABD的周长为6cm．
【解答过程】 解：∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D
∴BD=DC
∴.AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm，故答案为6cm
【方法规律】线段的垂直平分线，往往可以让线段移动位置，而和线段的垂直平分线有关的求三角形的周长，常常会用到这种转化思想．
【关键词】线段垂直平分线，三角形的周长

15. （2013江苏泰州，15，3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3,0）、（2，－3），是△ABO关于点A的位似图形，且的坐标为（－1,0），则点的坐标为 .
【答案】
【考点解剖】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的求法，综合了位似图形、相似三角形的知识，综合性较强，难度较大.通过两组三角形相似进行比例线段的转化是解决此题的关键.
【解题思路】要求点的坐标，先向x轴、y轴作垂线，构造相似三角形△ABE∽△AB’C，再利用位似图形的性质可得△AOB∽△AO’B’，得到比例式，根据比例式即可求出线段的长，故.
【解答过程】如图，过点作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D两点，过点B作x轴的垂线，垂足为E，
∴BE∥
∴.
∵是△ABO关于点A的位似图形
∴∥.
∴
∴
∵A（3,0）,（－1,0）,B（2，－3）
∴AO=3，，BE=3，AE=1
∴，
∴，
∴
∴
故答案为.

【方法规律】在平面直角坐标系中，求点的坐标，一般先向x轴、y轴作垂线，然后根据相似三角形或勾股定理求出相应线段的长，即可求出点的坐标.
【关键词】平面直角坐标系，位似图形，相似三角形

16.（2013江苏泰州，16，3分）如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的，⊙P与⊙O没有公共点，设PO=dcm，则d的范围是 .

【答案】2<d<3或d>5
【考点解剖】本题是圆与圆的位置关系、勾股定理、垂径定理等知识的综合运用，正确分析题目，找出临界点是解决此题的关键所在.
【解题思路】要d的取值范围，首先要分析出，何时⊙P与⊙O没有公共点，以⊙P与⊙O只有一个公共点（即⊙P与⊙O内切或外切）时，求出此时OP的值，问题即可迎刃而解.
【解答过程】如图16－1，过点O作OC⊥AB,连接OA、OP，
∵OC⊥AB，AB=
∴AC=BC=,
∵AO=4
∴.

∴.当⊙P与⊙O外切时，如图16－2和图16－3，PO=R+r=5

当⊙P与⊙O内切时，如图16－4和图16－5，PO=R－r=3

∴2<d<3或d>5，故则d的范围是2<d<3或d>5
【方法规律】要研究两圆的位置关系，往往需要首先确定临界位置，即圆与圆内切或外切时，这是解决这类问题的关键；同时，遇到圆与圆的位置关系的题目，常常会有多种情况.
【关键词】圆与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理

三、解答题（本大题共有10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（2013江苏泰州，17（1），6分）⑴计算：
【考点解剖】本题考查了实数的运算、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等有关知识．
【解题思路】根据负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的先进行计算和化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答过程】 解：

【方法规律】对于实数的混合运算，一般思路是：分别根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值计算出各数，再根据有理数混合运算的法则进行解答即可．
【技巧点拨】求一个分数的负指数幂，可以先求这个分数的倒数，然后再求其正指数幂.
【注意事项】 求一个数（或式子）的绝对值，一定要先判断这个数（或式子）的正负，然后根据绝对的性质求解. 在本题中，∵，∴
【关键词】负指数幂、零指数幂、三角函数、绝对值

（2013江苏泰州，17（2），6分）⑵ 先化简，再求值：，其中
【考点解剖】本题考查了分式的运算，解答分式乘除运算的关键是先分解因式，再约分；分式加减运算的关键是先化成同分母，再根据同分母分式加减法法则进行运算．
【解题思路】先把作为一个整体，进行通分，再利用分式的加减运算法则计算，然后再根据分式的除法法则进行除法运算，最后根据化简得结果代入即可．
【解答过程】 解：
.
【方法规律】⑴分式的乘除、加减混合运算是代数式运算的重要内容之一，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；⑵异分母分式相加减关键是通分，依据是分式的基本性质，注意最终要化为最简分式；⑶对于分母为多项式的分母有理化，要把分式的分子分母分别乘以一个与已知多项式可以利用平方差进行运算的多项式．
【技巧点拨】对于一个多项式与一个分式的加减运算，把这个多项式看做一个整体进行通分比较简单.
【关键词】因式分解、通分、约分、同分母分式的加减法、异分母分式的加减法、分式乘除法、分母有理化

18.（2013江苏泰州，18，8分）解方程：
【考点解剖】本题考查了因式分解与分式方程的解法，通过因式分解能正确的找出分母的最简公分母．
【解题思路】先把分母，分解因式，找出最简公分母，再去分母，解方程．
【解答过程】 解：.
去分母得：
解得：
经检验是原分式方程的根.
【方法规律】解分式方程的一般步骤是：⑴把分母分解因式，找所有分母的最简公分母；⑵去分母，把分式方程转化为整式方程；⑶解这个整式方程，求出未知数的值；⑷检验．
【注意事项】 对于分式方程，一定不要忘了检验.
【关键词】分式方程

19.（2013江苏泰州，19，8分）保障房建设时民心工程，某市从2008年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2008年到2012年这5年新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图.
某市2008—2012年新建保障房套数年增长率折线统计图
某市2008—2012年新建保障房套数条形统计图
（第19题图）

⑴小丽看了统计图后说：“该市2011年新建保障房的套数比2010年少了.”你认为小丽的说法正确吗？请说明理由；
⑵请补全条形统计图；
⑶求这5年平均每年新建保障房的套数.
【考点解剖】本题考查了折线统计图和条形统计图的知识，以及利用一元一次方程解决实际问题．
【解题思路】对于⑴，观察折线统计图可知，纵轴代表的是年新建保障房套数年增长率，增长率降低了，实际新建保障房套数增长的慢了，但并非减少；对于⑵，根据2009年新建保障房套数600及2008年至2009年的增长率为20%，可求得2008年新建保障房套数为500；根据2010年新建保障房套数750及2010年至2011年的增长率为20%，可求得2011年新建保障房套数为900；对于⑶，这五年新建保障住房求平均数即可．
【解答过程】 解：⑴不正确. 因为从折线统计图可知：2011年新建保障房的增长率比2010年的增长率降低了，但仍然是增长的，所以不正确
⑵如图所示：
某市2008—2012年新建保障房套数条形统计图
.
⑶(550+600+750+600+1170)÷5=734
答：这5年平均每年新建保障房734套.
【方法规律】对于统计问题，读懂图是关键.读图时，一定要注意观察统计的的横轴和纵轴分别代表的量是什么．
【关键词】折线统计图，条形统计图

20. （2013江苏泰州，20，8分）从甲、乙、丙、丁4名选手中随机抽取两名选手参加乒乓球比赛，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名选手恰好被抽到的概率.
【考点解剖】本题考查了一元一次方程的知识，以及利用一元一次方程解决实际问题，注意题目中的关键语句“先后接力完成”是解决此题的关键．
【解题思路】根据题意，找到等量关系“两队接力完成，共用时20天”，设出未知数，分别表示出甲、乙两队所用的天数，相加得20，列出方程即可．
【解答过程】 解：设甲工程队整治了x米的河道，则乙工程队整治了（360－x）米的河道，根据题意得：
解得：x=120
∴360－x=240
答：甲工程队整治了120米的河道，乙工程队整治了240米的河道.
【方法规律】 应用题的解题关键是读懂题意，根据题目类型找到等量关系．
【关键词】一元一次方程，一元一次方程的应用

21.（2013江苏泰州，21，10分）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.
【考点解剖】本题考查了一元一次方程的知识，以及利用一元一次方程解决实际问题，注意题目中的关键语句“先后接力完成”是解决此题的关键．
【解题思路】根据题意，找到等量关系“两队接力完成，共用时20天”，设出未知数，分别表示出甲、乙两队所用的天数，相加得20，列出方程即可．
【解答过程】 解：设甲工程队整治了x米的河道，则乙工程队整治了（360－x）米的河道，根据题意得：
解得：x=120
∴360－x=240
答：甲工程队整治了120米的河道，乙工程队整治了240米的河道.
【方法规律】 应用题的解题关键是读懂题意，根据题目类型找到等量关系．
【关键词】一元一次方程，一元一次方程的应用

22.（2013江苏泰州，22，10分）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为. 已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的高AE.
(参考数据：)
36°52'
45°
C
D
E
B
（第22题图）

【考点解剖】本题考查了解直角三角形，以及利用解直角三角形的知识解决实际问题．
【解题思路】根据题意，构造Rt△ACF和Rt△ACF，利用解直角三角形的知识得到方程，解得x=6，故铁塔的高为60m．
【解答过程】 解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F，则∠AFC=90°，
在Rt△ABD中，
∴
设AE=x，
∵CD=27，BE=56， BF=CD
∴AF=x+27，CF=BD=AB=x+56
∵在Rt△ACF中，
∴
∵
∴
解得：x=60
经检验x=60是原方程的根.
答：该铁塔的高AE的高为60m.

【方法规律】在几何解答题中，一般已知一些边和角求另外的边长的问题，通常都是通过作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理或解直角三角形的知识来解决问题．
【关键词】解直角三角形，解直角三角形的应用

23.（2013江苏泰州，23，10分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°
⑴求证：DP是⊙O的切线；
⑵若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积.

【考点解剖】本题主要考查了圆的切线、圆周角、圆心角、三角形的面积、扇形的面积、三角函数、等边三角形以及直角三角形等知识．
【解题思路】对于⑴，先连接半径，根据圆周角及等边三角形的知识，得到∠ODP=90°，再根据切线的判定方法即可证出DP是⊙O的切线；对于⑵，阴影部分的面积等于△OBP的面积减去扇形ODB的面积，利用题目所给的条件分别求出它们的面积即可.
【解答过程】解：⑴连接OD、DB，

∵∠ACD=60°
∴∠ABD=60°
又∵OB=OD
∴△OBD为等边三角形
∴∠BOD=60°
又∵∠APD=30°
∴∠ODP=90°
∴OD⊥DP
又∵点D在⊙O上
∴DP是⊙O的切线
⑵由⑴知△ODP为Rt△，∠APD=30°
∴tan30°=
∴DP=
∴
答：阴影部分的面积为cm.
【方法规律】（1）证明一条直线为圆的切线，一般有两种方法：①连接半径，证明直线与经过切点的半径垂直；②已知垂直，证明圆心与直线和圆的交点的连线等于半径；（2）求阴影部分的面积，一般通过几个特殊图形的和或差来求；（3）证明垂直的方法很多，可以证明有一个交角是90°，也可以证明这个角所在的三角形是直角三角形．
【关键词】圆的切线，圆周角定理，直角三角形，等边三角形，扇形的面积

24.（2013江苏泰州，24，10分）如图,在平面直角坐标系中,直线y=x－2与y轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m,2）.
（第24题图）
C
A
O
y
x
B

⑴ 求反比例函数的关系式;
⑵ 将直线y=x－2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18,求平移后的直线的函数关系式.
【考点解剖】本题将一次函数、反比例函数与三角形结合在一起考察，属于综合题，难度较大，而且第二问计算量较大，所以快速的计算速度和准确的能力是解决第二问的关键．
【解题思路】对于（1），根据一次函数的解析式求出点A的坐标，再根据点B在一次函数的图像上求出m的值，然后根据反比例函数的图像过点B，利用待定系数法求出反比例函数的解析式；对于（2），根据面积建立方程，可以求得点C的坐标，根据函数图像平移，得到直线平移前后的k值相同，然后利用待定系数法求出平移后的直线的函数关系式．
【解答过程】解：⑴∵点B（m，2）在直线y=x－2的图象上
∴m－2=2
∴m=4
即：B（4，2）
∵点B在反比例函数的图像上
∴k=4×2=8
∴
⑵如图，过点C作CE⊥y轴,垂足为E，过点B作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G.
∵直线y=x－2与y轴相交于点A
∴A（0，－2）
∵
且，
∴
即：
∴，（不合题意，舍去）
∴C（1，8）
∵平移后的直线与直线y=x－2平行
∴设平移后直线的解析式为：y=x+b
把点C（1，8）代入得：b=7
∴y=x+7
【方法规律】⑴求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件（一般来讲，最直接的条件是点的坐标），最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，正确求解方程（方程组）的能力成为运用待定系数法求解析式的前提和基础．⑵解决三角形的面积问题，一般是根据题目提供的条件列出方程，利用方程的思想解决这类问题．
【关键词】一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，三角形面积公式，梯形的面积公式

25.（2013江苏泰州，25，12分）如图,矩形ABCD中,点P在边CD上,并且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ的中点.
C
M
D
P
B
A
Q
（第25题图）

⑴ 求证：△ADP∽△ABQ;
⑵ 若AD＝10,AB＝20,点P在边CD上运动,设DP＝x,＝y,求y与x的函数关系式,并求线段BM长的最小值;
⑶ 若AD＝10,AB＝a,DP＝8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.
【考点解剖】本题主要考查利用相似三角形的判定和性质解决实际一些综合性问题，构造相似三角形是解题关键.
【解题思路】对于⑴，要证明两个三角形相似，常用的方法是找出两组角对应相等. 利用矩形的性质和垂直的定义可知：∠QAP =∠BAD=90°，只要再找出一组角对应相等即可. 因为∠BAP是∠QAP 与∠BAD的公共部分，可得∠1=∠2，∴△ADP∽△ABQ ；对于⑵，要求y与x的函数关系式，必须找到BM2与DP的关系，所以，过点M作MN⊥QB，构造Rt△BMN，利用三角形相似和中位线的性质，求出线段BN和MN的长分别为和，再在Rt△BMN中，利用勾股定理得：，根据二次函数的顶点坐标，求出的最小值为45，再根据开方求出线段BM 的最小值为；对于⑶，因为随着a的大小的变化,点M的位置也在变化，三角形BQM的大小也在变化，所以当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围，必须先找到点M的特殊位置，即当点M恰好落在矩形的边AB上时，求出此时a的值问题即可迎刃而解. 当点M落在AB边上时，因为M为PQ的中点.所以由题意可知：QB=BC=10再根据⑴中△ABQ ∽△ADP，得到比例式，把DP＝8，AD=10，AB=a代入即可求出. 故当点M落在矩形ABCD外部时，
【解答过程】
解：⑴证明：如图25－1
∵四边形ABCD为矩形
∴∠BAD=90°
∵QA⊥AP
∴∠QAP=90°
∴∠QAP =∠BAD
∴∠1=∠2
∴△ADP∽△ABQ

⑵∵∠1=∠2，∠ABQ =∠ADP=90°
∴△ABQ ∽△ADP
∴
∵AD＝10,AB＝20
∴
又∵DP＝x
∴
∴
∵过点M作MN⊥QB，垂足为点N（如图25－2）
∵M为PQ的中点.
∴MN为△PCQ的中位线
∴
又∵DC=AB=10，DP=x
∴
∴在Rt△BMN中，
即：
∵
∴有最小值
即当时，
∴的最小值为.
⑶如图25－3，当点M落在AB边上时，则由题意可知：QB=BC=10
∵△ABQ ∽△ADP
∴，
又∵DP＝8，AD=10，AB=a
∴ 解得：
∴当点M落在矩形ABCD外部时，

【方法规律】在几何图形中，和线段长有关的问题，往往利用相似三角形的性质来解决问题.当题目中没有相似三角形时，我们可以通过作辅助线构造相似三角形，作辅助线时要考虑如何充分和便利地使用已知条件.解题过程中应注意方程思想的应用.
【方法指导】证明三角形相似，常用的判定方法是“两角对应相等的两三角形相似”，其次是“两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似”，有时候也会用到“三边对应成比例的两三角形相似”.
关键词：相似三角形，直角三角形，三角形的中位线，勾股定理，分式方程，二次函数等

26.（2013江苏泰州，26，14分）已知:关于x的二次函数y＝－x2＋ax(a＞0),点A（n,y1）、B（n＋1,y2）、C（n＋2,y3）都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数．
(1) 若y1＝y2,请说明a为奇数;
(2) 设a＝11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3) 对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.
【考点解剖】本题将二次函数与不等式组、等腰三角形结合在一起考察，考察了数形结合的思想，属于综合性较强的题目，难度较大，要注意第二问要用到题目中“n为正整数”的条件；第三问主要考察了数形结合，能否判断出“点B在抛物线的对称轴上“是解答第三问的关键．
【解题思路】对于（1），根据点A（n,y1）、B（n＋1,y2）在二次函数的图象上，代入列出方程，用含有n的代数式表示出a即可；对于（2），根据a＝11和 y1≤y2≤y3，利用待定系数法列出不等式组，求出n的取值范围，再根据题目提供的条件“n为正整数”，写出适合条件的n值；对于⑶，根据点A、B、C都在抛物线上，以及A、B、C三点的坐标特点和“△ABC是以AC为底边的等腰三角形”的条件，可以判断出点B在抛物线的对称轴上，进而判断出点A、C关于对称轴对称，其纵坐标相同，列出关于n的方程即可求出.
面积建立方程，可以求得PC的长．
【解答过程】解：⑴∵A（n，），B（n+1，）在二次函数y＝－x2＋ax(a＞0)的图像上
∴，
∵
∴
化简得：
∴a为奇数.
⑵∵C（n+2，）在二次函数y＝－x2＋ax(a＞0)的图像上
∴
又∵，，a＝11
∴，，
若y1≤y2≤y3，则有
解得：，即
∵n为正整数
∴n=1,2,3,4
⑶∵A（n,y1）、B（n＋1,y2）、C（n＋2,y3）都在二次函数y＝－x2＋ax(a＞0)的图象上,且n为正整数．
∴若要使得△ABC是以AC为底边的等腰三角形，则点B必在抛物线的对称轴上（如图所示）

∵AB=BC，AD=CD
∴点A与点C关于直线对称
∴
即：
∴
【方法规律】⑴初中阶段，解决与函数有关的问题一般先利用待定系数法列出方程（组）或不等式（组），再根据问题求解．⑵中考压轴题往往是利用二次函数和特殊的几何图形结合，利用几何图形的性质或借用相似三角形的性质来解决，所以，解决此类问题，数形结合思想的运用非常关键. 在本题中，第三问，就是利用等腰三角形的特殊性质判断出点B的特殊位置，进而根据等腰三角的性质，判断出点A与点C关于抛物线对称轴对称，利用其纵坐标相等列出方程，得以解决.
【关键词】二次函数的性质，一元一次方程，一元一次不等式组，等腰三角形的性质，数形结合思想