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实验五　 用三线摆测量刚体的转动惯量
【实验目的】
1. 学会正确测量长度、质量和时间。
2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。
【实验器材】
三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。
【实验原理】
转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。
图1三线摆实验装置示意图
图2 三线摆原理图
图1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。
设下圆盘质量为，当它绕OO＇扭转的最大角位移为时，圆盘的中心位置升高，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：
　　（为重力加速度）
当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为，重力势能被全部转变为动能，有：

式中是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO‘轴的转动惯量。
如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：
　　 （1）
设悬线长度为，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C1，如图2所示，则：

因为　　　　　　　

所以
在扭转角很小，摆长很长时，sin，而BC+BC1»2H，其中
H=
式中H为上下两盘之间的垂直距离,则
　　　　　　　　　 　　　（2）
由于下盘的扭转角度很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是

式中， 是圆盘在时间t时的角位移，是角振幅，是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：

经过平衡位置时t=0 ,的最大角速度为：
（3）
将（2）、（3）式代入（1）式可得
（4）
实验时，测出、及，由（4）式求出圆盘的转动惯量。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有
　　 　　 　　　　（5）
从（5）减去（4）得到被测物体的转动惯量为
　　 　 　　（6）
在理论上，对于质量为，内、外直径分别为、的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为

而对于质量为、直径为的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为

【实验步骤】
测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量
1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。
2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间，重复测量5次求平均值，计算出下盘空载时的振动周期T0。
3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。
图3 下盘悬点示意图
4. 测出圆环质量（）、内外直径（、）及仪器有关参量（等）。
因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/。
5.将实验数据填入下表中。先由（4）式推出的相对不确定度公式，算出的相对不确定度、绝对不确定度，并写出的测量结果。再由（6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。
【数据处理】
1. 实验数据表格
下盘质量 g， 圆环质量 g
待 测 物 体
待 测 量
测 量 次 数
平均值
1
2
3
4
5
上 盘
半 径 /

下 盘
有效半径/

周 期/S

上、下盘
垂直距离/

圆 环
内 径 /

外 径 /

下盘加圆环
周 期/S

2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：
下盘: ,
,
　　　　＝＝( ± )
圆环:　 ,
＝ , ＝
　　 　＝＝ ± （g.C）
【思考题】
1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R0，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?
2． 当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?
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