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近世代数习题解答
第一章 基本概念
1 集合
1.,但不是的真子集,这个情况什么时候才能出现?
解 ׃只有在时, 才能出现题中说述情况.证明 如下
当,但不是的真子集,可知凡是属于而,显然矛盾;
若,但不是的真子集,可知凡属于的元不可能属于,故

2.假定,,A∩B=?
解׃ 此时, A∩B=A,
这是因为A∩B=A及由得AA∩B=A,故,,
及由得,故,

2 映射
1.=,找一个到的映射.
解׃ 此时

易证都是到的映射.

2.在你为习题所找到的映射之下,是不是的每一个元都是到的一个元的的象?
解׃容易说明在之下,有的元不是的任何元的象;容易验证在之下,的每个元都是的象.

3 代数运算
1.={所有不等于零的偶数}.找到一个集合 ,使得普通除法
是到的代数运算;是不是找的到这样的?
解׃取为全体有理数集,易见普通除法是到的代数运算;同时说明这样的不只一个.

2..规定的两个不同的代数运算.
解׃

a b c
a
a b c

a b c
b
b c a
a
a a a
c
c a b
b
d a a

c
a a a

4 结合律
1.={所有不等于零的实数}.是普通除法:.这个代数运算适合不适合结合律?
解׃ 这个代数运算不适合结合律:
, ,从而 .

2.={所有实数}.: 这个代数运算适合不适合结合律?
解׃ 这个代数运算不适合结合律
,
除非.

3.={},由表

a b c
a
a b c
b
b c a
c
c a b

所给的代数运算适合不适合结合律?
解׃ 经过个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.

5 交换律
1.={所有实数}.是普通减法:.这个代数运算适合不适合交换律?
解׃ 一般地 除非.

2.,由表

a b c d
a
a b c d
b
b d a c
c
c a b d
d
d c a b
所给出代数运算适合不适合交换律?
解׃ ,
从而.故所给的代数运算不适合交换律.

6 分配律
假定:是的两个代数运算,并且适合结合律,
适合两个分配律.证明

证׃
=
=
=

7 一 一 映射、变换
1.={所有的实数},{所有实数}.找一个与间的意义映射.
证 : 因为是大于零的实数,所以是实数
即 ,而,而且.因此是到的映射.
又给了一个的任意元,一定有一个的元,满足,因此是到的满射.
若 , 则 .即 因此又是到的单射.总之,
是到的一一映射.

2. ={所有的实数},{所有实数,}. 找一个到的满射.
证 ,容易验证是到的满射.

3.假定是与间的一个一一映射,是的一个元. 若是的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?
解׃ , 未必有意义;当是的一一变换时,

8 同态
1.={所有实数},的代数运算是普通乘法.以下映射是不是到的一个子集的同态满射?

证׃ 显然{所有的实数}.又由于
可知是到的同态满射.
由于 ( 除非)所以不是到的同态满射.
由于,易知是到的同态满射.这里={所有的实数}.
一般来说,,:所以不是到的同态满射
.
2. 假定和对于代数运算和来说同态，和对于代数运算和来说同态，证明 和对于代数运算和来说同态。
证: 用 表示到的同态满射, 表示到的同态满射.
令： ,容易验证是到的满射

所以是和的关于代数运算来说的同态满射。

9 同构、自同构
1.={},代数运算由下表给定

a b c
a
c c c
b
c c c
c
c c c
找出所有的一一变换.对于代数运算来说,这些一一变换是否是
的子同构.
证 : 所有的一一变换有个

容易验证及是的子同构.

2.={所有有理数},找一个的对于普通加法来说的子同构
(映射除外)
证 :,对普通加法来说是的一个子同构,验证这一点是容易的.

3.{所有有理数};的代数运算是普通加法.{所有的有理数}
的代数运算是普通乘法.
证明 对于给的代数运算来说,与间没有同构映射存在(现决定
在一个同构映射之下的象)
证: 设与间有同构映射存在,先看在之下的象
再看在之下某一元的象 , 那么 . 但 . 所以 故必, 即
对来说,在之下设有,
由于是一同构映射,于是
但又知,,故从而,与矛盾.>

10 等价关系与集合的分类
1.={所有实数},的元间的关系以及是不是等价关系?
解׃ >不是等价关系, 因为不大于 不是等价关系, 因为但不大于等于.
2.有人说:假如一个关系适合对称和推移律,那么它也适合
反射律.他的推论方法是:因为适合对称律
因为适合推移律
这个推论方法有什么错误?
证: 这里的是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意.今举一例
说明上述推论方法是错误的:
比如:={,是” 互补”是的元间的一个关系

.容易验证这一关系适合对称律,

推移律,但不适合反射律.

3.仿照例3规定整数间的关系

证明你所规定的一个等价关系,并且找出模的剩余类.
证 : 规定 当而且只当时, 因为
所以
,
因而是等价关系,对模的剩余类:

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