高三数学-第一篇-第五节课时精练-理-北师大版.doc

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一、选择题
1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　)
A．a＞b　　　　　　　　　　B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
【解析】　∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，
而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.
【答案】　A
2．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(　　)
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
【解析】　a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
【答案】　C
3．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．
【答案】　B
4．设a＞0，b＞0，且a＋b≤4，则有(　　)
A.≥ B.≥2
C.＋≥1 D.≤
【解析】　＋＝≥＝≥＝1.
【答案】　C
5．(2009年邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：
(1)a＋b＞1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b＞2；
(4)a2＋b2＞2；(5)ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A．(2)(3) B．(1)(2)(3)
C．(3) D．(3)(4)(5)
【解析】　若a＝，b＝，则a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故(1)推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故(2)推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故(4)推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故(5)推不出；
对于(3)，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
【答案】　C
二、填空题
6．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是不相等的常数)，则＋＋＝________.
【解析】　∵f′(x)＝(x－a)′[(x－b)(x－c)]
＋(x－a)·[(x－b)(x－c)]′，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，
同理可得f′(b)＝(b－a)(b－c)，
f′(c)＝(c－a)(c－b)．
∴＋＋
＝＋＋
＝
＝＝0.
【答案】　0
7．(2009年德州模拟)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
【解析】　∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，
且A、B、C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()，
即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，
所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.
【答案】　
8．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填所有正确条件的代号)
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．
【解析】　①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，
∴x∥平面y或x⊂平面y.
又∵x⊄平面y, 故x∥y成立．
②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．
③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．
④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．
⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．
【答案】　①③④
三、解答题
9．设a，b，c均为奇数，求证：ax2＋bx＋c＝0无整数根．
【证明】　假设方程有整数根x＝x0，
∴ax02＋bx0＋c＝0，∴c＝－(ax02＋bx0)．
若x0是偶数，则ax02，bx0是偶数，
ax02＋bx0是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾．
若x0是奇数，则ax02，bx0是奇数，ax02＋bx0是偶数，
从而c是偶数，与题设矛盾．
综上所述，方程ax2＋bx＋c＝0没有整数根．
10．(2009年黄冈模拟)(1)设x是正实数，
求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
【解析】　(1)x是正实数，由均值不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x＞0时，不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)[ (x－)2＋]≥0，
此时不等式仍然成立．w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网高☆考♂资♀源€w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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