第五章晶格动力学.doc

第五章 晶格动力学
5．1证明：
第n个原子的运动方程为：
因为：
所以第n个原子的运动方程可化为：
在长波近似下：
运动方程又化为：
长波近似，当为有限整数时：
该式说明，在长波近似下，邻近的若干原子以相同的振幅，位相集体运动，因此(1)式可统一写成：
固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体运动所构成，这些原子偏离平衡位置的位移，即是宏观上的质点位移u。从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离可视为连续坐标x，即：

于是对x求二阶偏导有：
将上式代入（2）式可化为：
其中：
是用微观参数表示的弹性波的波速

5．2
解：由教材(5.1.21)式一维双原子链色散关系：
注意：一维双原子链原胞尺寸为，基元中两原子的距离为。
当时，原胞尺寸为的一维双原子链就变为原子间距为的一维单原子链，这样每个波矢对应一个频率的振动模式，只有声学模； 取上式频率较低的一支并将带入有：

所以有：

即为： 原子间距为的一维单原子链色散关系。
5．3：
解： 如图所示的双原子链

按题设条件，运动方程为

设解为
将式代入式中，得

是的线性齐次方程组，存在非零解的条件是

解出
所以
当时
当时
与的关系如图所示

这是模拟一个双原子分子晶体的例子，分子内原子间的力常数要比分子间的力常数大的多。反映分子整体振动的声学波频率决定于分子间比较弱的相互作用，频率较低。而反映分子内原子的相对振动的光学波，决定于分子内原子比较强的相互作用，其振动频率要比声学波高得多。

5．4
（1）解： 按照德拜模型，格波的色散关系为
对于原子间距a为的一维单原子链色散曲线如图示:

由色散曲线的对称性可以看出，区间对应两个同样大小的波矢区间，区间对应N个振动模式，单位波矢区间对应有个振动模式。范围则包含:

个振动模式
是单位频率区间包含的振动模式数目，即模式密度----- 也叫振动频谱。
由式有原子间距a、N个原子组成的一维单原子链的振动频谱为：
＝
又由式有 ⑷
将（4）式代入（3）式可得：

(2)证明： N个原子构成的一维单原子链，晶格振动总的热振动能为

其中叫做模式密度（或称振动频谱）, 由（1）问中的一维单原子链德拜模型的色散关系图易知：
热容量

作变量代换
得
其中
在低温极限下，中的被积函数按二项式定理展开成级数

则积分
由此有
所以，一维晶格的比热在低温极限下与温度T成正比。

5.5:
解： 由德拜定律
而电子比热公式为
当晶格比热和电子比热相等则有

对：
故

5．6：
证明：
对于波矢为，频率为的一维单原子链的格波：

原子链上第n个原子的动量为：
原子链的总动量为：
式中N是原子链上的原子数。
由周期性边界条件：
式化为：
利用公式：
式化为：
当时（即）时，式中的，因而有
的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的，由于每个原子有一定位相差，原子链的总动量为零，这表明声子是不携带物理动量的。

5．7：
（1）证明：
如图所示，

只考虑最近邻原子的作用，第原子受到四个原子的作用力为：
对它的作用力
对它的作用力
对它的作用力
对它的作用力
由于和对它的作用力以及和对它的作作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可写为

（2）证明：
设解的形式为
代入运动方程后，得到色散关系

（3）证明：
从两式可以看出，均为的周期函数，周期为，所以的取值可以限制在
的区域内，也就是说，全部独立的解都落在空间中一个边长为的正方形区域内，这就是平面方格子的第一布里渊区。
对于布里渊区中以及两个特殊方向上的色散关系容易从式求出：

与的关系如图所示

（4）证明：
对于式可以近似写为

所以
这样，在，即振动的波长的极限情况下群速度
是与无关的常数。

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