2022-2023学年湖北省襄阳市枣阳市徐寨中学数学九年级第一学期期末联考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×104亿元 B．8.45×103亿元 C．8.45×104亿元 D．84.5×102亿元
3．一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了次手，这次参加会议到会的人数是人，可列方程为：（ ）
A． B． C． D．
4．中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的多年间，不同朝代有不同形状和材质的“权”作为衡量的量具.下面是一个“”形增砣砝码，其俯视图如下图所示，则其主视图为（ ）

A． B． C． D．
5．起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（ ）

A． B．
C． D．
6．二次函数化为的形式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是( )

A． B． C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，ADBC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为( )

A．2 B． C．2 D．
9．在矩形中，的角平分线与交于点，的角平分线与交于点，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF，延长DA交FG于点H，则GH的长为（　　）

A．8﹣4 B．﹣4 C．3﹣4 D．6﹣3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，将△ABP逆时针旋转，使得AB与AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角∠PCQ：∠QPC：∠PQC=________．

12．已知二次函数（），与的部分对应值如下表所示：

-1
0
1
2
3
4

6
1
-2
-3
-2

下面有四个论断：①抛物线（）的顶点为；②；③关于的方程的解为，；④当时，的值为正，其中正确的有_______.
13．已知反比例函数的图象经过点，若点在此反比例函数的图象上，则________.
14．把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_____．
15．如图，王师傅在一块正方形钢板上截取了宽的矩形钢条，剩下的阴影部分的面 积是，则原来这块正方形钢板的边长是__________cm.

16．二次函数（a，b，c为常数且a≠0）中的与的部分对应值如下表：

0
1
3

3
5
3
现给出如下四个结论：①；② 当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，，其中正确结论的序号为：____．

17．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为_____．

18．如图，边长为4的正六边形内接于，则的内接正三角形的边长为______________.

三、解答题(共66分)
19．（10分）综合与实践—探究正方形旋转中的数学问题
问题情境:已知正方形中，点在边上，且.将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）.同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答.
特例分析:（1）“乐思”小组提出问题:如图1，当点落在正方形的对角线上时，设线段与交于点.求证:四边形是矩形；
（2）“善学”小组提出问题:如图2，当线段经过点时，猜想线段与满足的数量关系，并说明理由；
深入探究:（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择题.
A．在图2中连接和，请直接写出的值.
B．“好问”小组提出问题:如图3，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，设直线交线段于点.连接，并过点作于点.请在图3中补全图形，并直接写出的值.

20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝3，b＝﹣1．
21．（6分）如图，点是正方形边.上一点，连接，作于点，于点，连接.
（1）求证:;
（2）己知，四边形的面积为，求的值.

22．（8分）如图，在中，，点P为内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解．
（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当，求PA+PB+PC的最小值．

23．（8分）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

24．（8分）如图，等边△ABC中，点D在AC上（CD＜AC），连接BD．操作：以A为圆心，AD长为半径画弧，交BD于点E，连接AE．

（1）请补全图形，探究∠BAE、∠CBD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）把BD绕点D顺时针旋转60°，交AE于点F，若EF＝mAF，求的值（用含m的式子表示）．
25．（10分）已知，如图1，在中，对角线，，，如图2，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作交于点；将沿对角线剪开，从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题：

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）设四边形的面积为，试确定与的函数关系式；
（3）当为何值时，有最大值？
（4）连接，试求当平分时，四边形与四边形面积之比．
26．（10分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据相似三角形的性质求得甲的面积和丙的面积，进一步求得乙和丁的面积，比较即可求得．
【详解】解：如图：

∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD＝5+2＝7，
∵AD＝2+1＝3，
∴S△ABD＝S△ACD＝＝
∵EF∥AD，
∴△EBF∽△ABD，
∴＝（）2＝，
∴S甲＝，
∴S乙＝，
同理＝（）2＝，
∴S丙＝，
∴S丁＝﹣＝，
∵，
∴面积最大的是丁，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
2、B
【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．8450一共4位，从而8450=8.45×2．故选B．
考点：科学记数法．
3、B
【分析】设这次会议到会人数为x，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且整场会议一共握了45次手，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设这次会议到会人数为x，
依题意，得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4、A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看中间的矩形的左右两边是虚的直线，
故选：A.
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5、A
【分析】设半径OA绕轴心旋转的角度为n°，根据弧长公式列出方程即可求出结论．
【详解】解：设半径OA绕轴心旋转的角度为n°
根据题意可得
解得n=54
即半径OA绕轴心旋转的角度为54°
故选A．
【点睛】
此题考查的是根据弧长，求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．
6、A
【分析】将选项展开后与原式对比即可；
【详解】A：，故正确；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，故错误；
故选A.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.
7、B
【解析】根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
在△EBO与△FDO中，
，
∴△EBO≌△FDO，
∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABCD．
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
8、C
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质，得到，由三角形外角的性质，可得，再根据平行线的性质和等量关系可得，根据等腰三角形的性质得到ＣＤ＝ＤＧ，最后由勾股定理解题即可．
【详解】

为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，

设

在中，

根据勾股定理得，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9、D
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC＋CG进行计算即可．
【详解】延长EF和BC，交于点G，

∵3DF＝4FC，
∴，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝7，
∴直角三角形ABE中，BE＝，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴，
设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7＋4x＝BC，
∵BG＝BC＋CG，
∴7＋4x＋3x＝7，
解得x＝−1，
∴BC＝7＋4x＝7＋4−4＝3＋4，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
10、A
【分析】作辅助线，构建直角△AHM，先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA＝30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长，由此得AM和HM的长，相减可得结论．
【详解】如图，延长BA交GF于M，
由旋转得：∠GBA＝30°，∠G＝∠BAD＝90°，BG＝AB＝4，
∴∠BMG＝60°，
tan∠30°＝＝，
∴，
∴GM＝，
∴BM＝，
∴AM＝﹣4，
Rt△HAM中，∠AHM＝30°，
∴HM＝2AM＝﹣8，
∴GH＝GM﹣HM＝﹣（﹣8）＝8﹣4，

故选：A．
【点睛】
考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30°的性质，解题关键是直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3：4：2
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ ，可得△AQP是等边三角形，△QCP的三边长分别为PA,PB,PC ，由∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7，可得∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，可得答案.
【详解】解:如图,
将△APB绕A点逆时针旋转60得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ,
AQ=AP,∠QAP=60,
△AQP是等边三角形,
PQ=AP,
QC=PB,△QCP的三边长分别为PA,PB,PC,
∠APB+∠BPC+∠CPA=360,∠APB: ∠BPC: ∠CPA=5:6:7,
∠APB=100, ∠BPC=120, ∠CPA=140，
∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100-60=40，
∠QPC=∠APC-∠APQ=140-60=80,
∠PCQ=180-(40+80)=60,
∠PCQ: ∠QPC: ∠PQC=3:4:2,
故答案为:3:4:2.
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等边三角形的性质，综合性大，注意运算的准确性.
12、①③④
【分析】根据表格，即可判断出抛物线的对称轴，从而得到顶点坐标，即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；根据表格中函数值为-2时，对应的x的值，即可判断③；根据二次函数的增减性即可判断④．
【详解】解：①根据表格可知：抛物线（）的对称轴为x=2，
∴抛物线（）的顶点为，故①正确；
②根据抛物线的对称性可知：当x=4和x=0时，对应的函数值相同，
∴m=1，故②错误；
③由表格可知：对于二次函数，当y=-2时，对应的x的值为1或3
∴关于的方程的解为，，故③正确；
④由表格可知：当x＜2时，y随x的增大而减小
∵，抛物线过（0,1）
∴当时，＞1＞0
∴当时，的值为正，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的对称性、顶点坐标与最值、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数的增减性是解决此题的关键．
13、
【分析】将点（1，3）代入y即可求出k+1的值，再根据k+1=xy解答即可．
【详解】∵反比例函数的图象上有一点（1，3），
∴k+1=1×3=6，
又点（－3，n）在反比例函数的图象上，
∴6=－3×n，
解得：n=－1．
故答案为：－1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
14、y＝1（x﹣3）1﹣1．
【分析】利用二次函数平移规律即可求出结论．
【详解】解：由函数y＝1x1的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达式是y＝1（x﹣3）1﹣1，
故答案为y＝1（x﹣3）1﹣1．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键．
15、
【分析】设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,然后根据题意列出方程求解即可.
【详解】解：设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,根据题意可得：

整理得：
解得：（负值舍去）
故答案为：12.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出阴影部分的面积的方程是本题的解题关键.
16、①②③④
【分析】先利用待定系数法求得的值，＜0可判断①；对称轴为直线，利用二次函数的性质可判断②；方程即，解得，可判断③；时，；当时，，且函数有最大值，则当时，，即可判断④．
【详解】∵时，时，时，
∴，
解得：，
∴，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
方程即，
解得，
∴是方程的一个根，故③正确；
当时，，
当时，，
∵，
∴函数有最大值，
∴当时，，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
17、
【解析】试题解析：连接

∵四边形ABCD是矩形，

∴CE=BC=4，
∴CE=2CD，

由勾股定理得：
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′−S△CDE
故答案为
18、
【分析】解：如图，连接OA、OB，易得△AOB是等边三角形，从而可得OA=AB=4，再过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，然后解直角△AOM求得AM的长，进而可得答案.
【详解】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，
过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，
在直角△AOM中，，
∴AE=2AM=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，作辅助线构造直角三角形、利用解直角三角形的知识求解是解题关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）；（3）A.，B..
【分析】（1）根据旋转性质证得，从而证得绪论；
（2）连接、，过点作，根据旋转性质结合三角形三线合一的性质证得，再证得四边形是矩形，从而求得结论；
（3）A. 设，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应边成比例再结合勾股定理即可求得答案；
B. 作交直线于点，根据旋转性质利用AAS证得，证得OP是线段的中垂线，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比再结合勾股定理即可求得答案；
【详解】（1）由题意得：，，
由旋转性质得：，
∵

四边形是矩形
（2）连接、，过点作于N，

由旋转得：，
∵，
，
∵ON⊥D，∠=∠，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）A.如图，连接，，，

由旋转的性质得：∠BO=∠，BO= O，，
∴，
∴，
，
，
设，则，

B.如图，过点作AG∥交直线于点G，过点O作交直线于点，连接OP，

∵AG∥，
，
四边形是正方形 ，
由旋转可知： ，，，，，
，，，
，
，

，
，
在和中，
，
，
又∵，
，
，，，
，
，
又∵，，
，
， ，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：
，
．
【点睛】
本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、、勾股定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
20、，．
【分析】根据分式混合运算法则化简出最简结果，把a、b的值代入求值即可．
【详解】原式＝·﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝．
当a＝3，b＝﹣1时，原式＝＝＝．
【点睛】
本题考查分式的混合运算——化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
21、（1）见解析；（2）
【分析】（1）首先由正方形的性质得出BA=AD，∠BAD=90°，又由DE⊥AM于点E，BF⊥AM得出∠AFB=90°，∠DEA=90°，∠ABF=∠EAD，然后即可判定△ABF≌△DAE，即可得出BF=AE；
（2）首先设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，然后将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，列出方程，得出BF，然后利用勾股定理得出BE，即可得解.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴•x•x+•x•2=24，
解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
∴EF=x﹣2=4，
在Rt△BEF中，BE==2，
∴=．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质以及三角形全等的判定与性质、勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
22、（1）等边三角形，见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）根据旋转的性质可以得出，即可证明出是等边三角形；
（2）绕点A顺时针旋转得到，根据的旋转的性质得到，，相加即可得；
（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小，由，，可得CN垂直平分AB，再利用直角三角形的边角关系，从而求出PA+PB+PC的最小值．
【详解】（1）等边三角形；
绕A点顺时针旋转得到MA，
，
是等边三角形.
（2）绕点A顺时针旋转得到，
，由（1）可知，
.
（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小．
连接BN，
由旋转的性质可得：AB=AN，∠BAM=60°
∴是等边三角形；
，
，
是AB的垂直平分线，垂足为点Q，
，
，
，
即的最小值为.
【点睛】
本题为旋转综合题，掌握旋转的性质、等边三角形的判定及性质及理解小华的思路是关键．
23、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明△BCD∽△BCA,得到.则有,所以点D是AB边上的黄金分割点;
(2)证明,直线CD是△ABC的黄金分割线;
【详解】解：(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:
AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.
CD是角平分线, ∠ACD=∠BCD=,
∠A=∠ACD,AD=CD.
∠CDB=180-∠B-∠BCD=,
∠CDB=∠B,BC=CD.
BC=AD.
在△BCD与△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,
△BCD∽△BCA,

点D是AB边上的黄金分割点.
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设ABC中,AB边上的高为h,则
,,,

由（1）得点D是AB边上的黄金分割点，
，
直线CD是△ABC的黄金分割线
【点睛】
本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.
24、（1）图形见解析，∠BAE＝2∠CBD，理由见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）根据圆周角和圆心角的关系得：2∠BDH=∠BAE，由等腰三角形的性质得HD∥BC，由平行线的性质可得结论；
（2）如图2，作辅助线，由旋转得：△BDM是等边三角形，证明△AMB≌△CDB（SAS），得AM=CD，∠MAB=∠C=60°，证明△ABD∽△DFE，设AF=a，列比例式可得结论
【详解】（1）如图1，∠BAE＝2∠CBD．
设弧DE与AB交于H，连接DH，

∴2∠BDH＝∠BAE，
又∵AD＝AH，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠AHD＝∠ADH＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠AHD＝∠ABC，
∴HD∥BC，
∴∠DBC＝∠HDB，
∴∠BAE＝2∠DBC；
（2）如图2，连接AM，BM，

由旋转得：BD＝DM，∠BDM＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴BM＝BD，∠MBD＝60°，
∵∠ABM+∠ABD＝∠ABD+∠CBD，
∴∠ABM＝∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴△AMB≌△CDB（SAS），
∴AM＝CD，∠MAB＝∠C＝60°，
∵∠AGM＝∠BGD，∠MAB＝∠BDM＝60°，
∴∠AMD＝∠ABD，
由（1）知：AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴△ABD∽△DFE，
∴∠EFD＝∠ABD＝∠AFM＝∠AMD，
∴AF＝AM＝CD，
设AF＝a，则EF＝ma，AE＝a+ma＝（m+1）a，
∴AB＝AD+CD＝AE+CD＝（m+2）a，
由△ABD∽△DFE，
∴＝＝．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、等边三角形、三角形内角和和外角的性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，学会利用辅助线，构建全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25、（1），（2）四边形AHGD
（3）当 四边形的面积最大，最大面积为
（4）
【分析】（1）由题意得：利用垂直平分线的性质得到：列方程求解即可，
（2）四边形AHGD分别求出各图形的面积，代入计算即可得到答案，
（3）利用（2）中解析式，结合二次函数的性质求最大面积即可，
（4）连接 过作于 从而求解此时时间，分别求解四边形EGFD和四边形AHGE的面积，即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，由题意得：

及平移的性质，

点在线段的垂直平分线上，

当时，点在线段的垂直平分线上．

（2） ，，,

又

点在上，

四边形AHGD
（）
（3） 四边形AHGD 且
抛物线的对称轴是：
时，随的增大而增大，
当 四边形的面积最大，最大面积为：

（4）如图，连接 过作于
平分

此时：
由

四边形EGFD
四边形ABGE

四边形AHGE.
四边形EGFD:四边形AHGE

【点睛】
本题考查的是平行四边形中几何动态问题，考查了线段的垂直平分线的性质，图形面积的计算，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
26、（1）不可能；随机；；（2）
【解析】（1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率；
（2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得.
【详解】（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，
“小悦被抽中”是随机事件，
第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为，
故答案为不可能， 随机， ；
（2）画树状图如下：

由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，
所以“小惠被抽中”的概率是: .
【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．