材料力学扭矩习题.doc

第六章 圆轴的扭转
习题解析
6-1 试述绘制扭矩图的方法和步骤。
答：首先求任意截面的扭矩，一般步骤为：“假截留半，内力代换，内外平衡”。熟练后也可用简捷方法计算而无须画出分离体受力图。
取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图，即为扭矩图。
6-2 为什么空心轴比实心轴能充分发挥材料的作用？
答：空心圆轴比实心轴能充分发挥材料的作用，其原因在于圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，那里的材料就没有充分发挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到了充分利用。而且也减轻了构件的自重。
6-3 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。

图6-1 题6-3图
解：截面上与T对应的切应力分布图如下：

图6-2
6-4 用截面法求图6-3所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。

图6-3 题6-4图
解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-4）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程，可得。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得。

图6-4
b) 采用截面法计算扭矩（见图6-5）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程，可得。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程，可得。

图6-5
6-5 如图6-6所示，作各杆的扭矩图。

图6-6 题6-5图
解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-7）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得。作出扭矩图。

a)
图6-7
b) 由力矩平衡方程可得（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图6-8b）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得。作出扭矩图。
c) 由力矩平衡方程可得。采用截面法计算扭矩（见图6-8c）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得。作出扭矩图。

b) c)
图6-8
6-6 图6-9所示圆轴长l=500mm，直径d=60mm，受到外力偶矩M1=4kN·m和M2＝７kN·m作用，材料的剪切弹性模量G=80GPa
（1）画出轴的扭矩图；
（2）求轴的最大切应力；
（3）求轴的最大单位长度扭转角。

图6-9 题6-6图
解：（1）绘扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为，2-2截面的扭矩为。绘出的扭矩图如图6-9所示。
（2）由扭矩图可见BC段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC段内。由式（6-13）得其最大切应力为

(3) BC段扭矩最大，BC段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。按式（6-20）得

6-7 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图6-10所示。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW，材料的许用应力=40MPa，试通过计算确定
（1） 采用实心轴时，直径d1和的大小；
（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D2的大小。

图6-10 题6-7图
解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩由式（6-1），可得
（1）采用实心轴时，直径d1的大小应满足下式：

解得
（2）采用内外径比值=1/2的空心轴时，外径D2的大小应满足下式：

解得
6-8 图6-11所示的变截面钢轴，已知作用于其上的外力偶矩M1=1.8kN·m，M2=1.2kN·m。材料的剪切弹性模量G=80GPa，试求最大切应力和最大相对扭转角。

图6-11 题6-8图
解：（1）绘扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为，2-2截面的扭矩为。绘出的扭矩图如图6-11所示。
（2）由扭矩图可见AB段扭矩最大，但是由于ABC圆轴是变截面钢轴，故无法判断危险截面是在AB段还是BC段内。分别计算AB段、BC段最大切应力：
由式（6-13）得

由于，故全轴最大切应力发生在BC段，。
（3）求最大相对扭转角，由式（6-19）得

C截面相对A截面发生最大相对扭转角

6-9 图6-1所示为皮带传动轴，轴的直径d=50mm，轴的转速为n=180r/min，轴上装有四个皮带轮。已知A轮的输入功率为PA=20kW，轮B、C、D的输出功率分别为PB=3kW，PC=10kW，PD=7kW，轴材料的许用切应力=40MPa。
（1）画出轴的扭矩图。
（2）校核轴的强度。

图6-12 题6-9图
解：（1）画扭矩图
计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩由式（6-1），可得

用截面法求得1-1截面上的扭矩为；2-2截面的扭矩为；3-3截面的扭矩为。绘出的扭矩图如图6-12所示。
（2）强度校核
由图可见AC段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。
由式（6-13），有，所以轴满足强度条件。

6-10 如图6-13所示，在一直径为75mm的等截面轴上，作用着外力偶矩：M1=1000N·m，M2=600N·m，M3=M4=200N·m，材料的剪切弹性模量G=80GPa。要求：
（1）画出轴的扭矩图；
（2）求出轴的最大切应力；
（3）求出轴的总扭转角。

图6-13 题6-10图
解：（1）画扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为；2-2截面的扭矩为；3-3截面的扭矩为。绘出的扭矩图如图6-13所示。
（2）由图6-13可见AB段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB段内。由式（6-13）得到轴的最大切应力

（3）求轴的总扭转角，由式（6-19）得

D截面相对A截面的相对扭转角即为轴的总扭转角

6-11 一钢轴的转速n=240r/min，传递的功率为P=44kW。已知=40MPa，=1°/m，G=80GPa，试按强度和刚度条件确定轴的直径。
解：钢轴的扭矩

（1）按强度条件确定轴的直径
直径d1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件：

解得
（2）按刚度条件确定轴的直径
直径d2的大小应满足圆轴扭转时的刚度条件：
(°/m)
解得
由于钢轴既要满足强度条件，又要满足刚度条件，所以d取直径d1和直径d2中较大的，确定钢轴直径。