【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习-课后作业(三十四)数列的综合应用-文.doc

课后作业(三十四) 数列的综合应用

一、 选择题
1．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
2．(2012·北京高考)已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是(　　)
A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k项满足750＜ak＜900，则k等于(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
4．在如图5－5－1所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为(　　)
2

4

1

2

x

y

z
图5－5－1
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(2013·茂名质检)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为(　　)
A．①和 B．⑨和 C．⑨和 D.和
二、填空题
6．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．
7．(2012·湖南高考)对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1；当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.
b2＋b4＋b6＋b8＝________．
8．对正整数n，若曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和为________．
三、解答题
9．(2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．
10．已知等比数列是递增数列，且满足a1＋a2＋a3＝39，a2＋6是a1和a3的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝记数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞120成立的最小n值．
11．(2013·清远模拟)一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b件．当对产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为an(n∈N*)件，调查发现：每日播一次则日销售量a1件在b件的基础上增加件，每日播二次则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加件…，每日播n次，该产品的日销售an件在每日播n－1次时的日销售量an－1件的基础上增加件．合同约定：每播一次企业需支付广告费2b元．
(1)试求出an与n的关系式；
(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次．

解析及答案
一、 选择题
1．【解析】　∵数列{an}是等差数列，∴a3＋a11＝2a7，
由2a3－a＋2a11＝0得4a7－a＝0，
又an≠0，∴a7＝4，
∴b6b8＝b＝42＝16.
【答案】　D
2．【解析】　设{an}的公比为q(q≠0)，则a2＝a1q，a3＝a1q2，
∴a＋a＝a(1＋q4)≥a·2q2＝2a.
【答案】　B
3．【解析】　由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)，
得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，
又a2＝3S1＝3，
∴an＝
又750＜ak＜900，验证k＝6.
【答案】　C
4．【解析】　由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.
根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，，故第四列的公比为.
∴y＝5×()3＝，同理z＝6×()4＝.
因此x＋y＋z＝2.
【答案】　B
5．【解析】　设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)

则各个树坑到第i个树坑距离的和是
S＝10(i－1)＋10(i－2)＋…＋10(i－i)＋10[(i＋1)－i]＋…＋10(20－i)
＝10[＋]
＝10(i2－21i＋210)．
∴当i＝10或11时，S有最小值．
【答案】　D
二、填空题
6．【解析】　由题意知a＝a1·a7，
∴(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，
∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝2.
【答案】　2
7．【解析】　依据所给定义：2＝1×21＋0×20，b2＝1；
4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；
6＝1×22＋1×21＋0×20，b6＝0；
8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1.
故b2＋b4＋b6＋b8＝3.
【答案】　3
8．【解析】　由题意，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，
故曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线的斜率为k＝n2n－1－(n＋1)2n，切点为(2，－2n)，
所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)．
令x＝0得an＝(n＋1)2n，即＝2n，
则数列{}的前n项和为2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.
【答案】　2n＋1－2
三、解答题
9．【解】　(1)设数列{an}的公差为d，
由题意知解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2.
从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，
解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
10．【解】　(1)由题知2(a2＋6)＝a1＋a3，
从而a2＋2(a2＋6)＝39，所以a2＝9，
30＝＋9qq＝3或(舍去)，所以an＝3n.
(2)bn＝an－1log3an＝3n－1·n，(n≥2)，
所以Sn＝1＋2·31＋3·32＋…＋n·3n－1，①
3Sn＝31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，②
②－①得：2Sn＝－1－31－32－…－3n－1＋n·3n
＝－＋n·3n.
所以：2Sn＝n·3n－＋＝(n－)·3n＋，
由Sn＞120，则(n－)3n＋＞240，所以n≥4，最小n值为4.
11．【解】　(1)由题意，电视广告日播k次时，该产品的日销售量ak满足ak＝ak－1＋(k∈N*，a0＝b)，
∴an＝b＋＋＋…＋
＝＝b(2－)，(n∈N*)．
即该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为an＝b(2－)，(n∈N*)．
(2)该企业每日播放电视广告n次时获利为
Cn＝100b(2－)－2bn＝100b(2－0.02n－)(n∈N*)．
∵Cn－Cn－1＝100b(－0.02)≥0，
即2n≤50，n∈N*，
∴n≤5(n∈N*)，
∵Cn＋1－Cn＝100b(－0.02)≤02n≥25n≥5，
∴n＝5.
∴要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5次．

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