结构力学虚功原理和结构的位移计算.ppt

,2-1,几何构造分析的几个概念,2-2,平面几何不变体系的组成规律,2-3,平面杆件不变体系的计算自由度,2-6,小结,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 虚功原理和结构的位移计算,1,主要内容,4-1,概述,4-2,变形体系的虚功原理,4-3,结构位移计算的一般公式,4-4,静定结构在荷载作用下的位移计算,4-5,图乘法,4-6,温度变化和支座移动下的位移计算,4-7,互等定理,2,4-1,概述,在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构的,变形。,各杆件的横截面除移动外，还可能发生转动，这些移动和转动称为结构的,位移,。,一、结构位移的概念,3,计算位移的目的：（,1,）刚度验算（,2,）为超静定结构分析打基础,产生位移的原因：（,1,）荷载,（,2,）温度变化、材料胀缩,（,3,）支座沉降、制造误差,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,广义位移,二、结构位移计算概述,4,1.,一个截面的位移（绝对位移）,（,1,）,截面,A,位置的移动（用截面形心的移动来表示）,A,，称为线位移，可分解为：,水平线位移,A,H,（也可记作,u,A,）,竖向线位移,(,挠度,),A,V,(,也可记作,v,A,),。,（,2,）截面,A,位置的转动,（用该点切线方向的变化来表示）,A,，称为角位移或转角。,A,B,C,q,A,1,B,1,A,A,D,A,v,A,u,A,5,2.,两个截面之间的位移（相对位移）,（,1,）相对线位移,（,2,）相对角位移,A,A,1,B,B,1,F,P,F,P,C,D,D,A,D,B,C,D,CD,E,6,3.,一个微杆段的位移,d,s,u,v,微段刚体位移,d,s,g,0,g,0,d,v,d,v=,g,0,d,s,微段相对位移,（剪切变形）,d,s,d,u=,e,d,s,微段相对位移,（轴向变形）,d,s,微段相对位移,（弯曲变形）,d,=,d,s/R=kds,A,A,一个微杆段的位移可分解为,刚体位移和变形体位移,之和,（,1,）刚体位移（不计微段的变形）：,u,、,v,、,（,2,）变形位移（反映微段的变形）：,d,u,、,d,v,、,d,。这是描述微段总变形的三个基本参数。,7,为轴向伸长应变,;,为平均剪切应变,;,k,为轴线曲率（，,R,为轴线变形后的曲率半径）。,d,s,u,v,微段刚体位移,d,s,g,0,g,0,d,v,d,v=,g,0,d,s,微段相对位移（剪切变形）,d,s,d,u=,e,d,s,微段相对位移（轴向变形）,d,s,微段相对位移（弯曲变形）,d,=,d,s/R=kds,8,对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有,式中，,F,N,、,F,Q,、,M,分别为微段上的轴力、剪力、弯矩；,EA,、,GA,、,EI,分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；,为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面,=1.2,，圆形截面,=10/9,，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面,=,A,/,A,1,（,A,1,为腹板面积）。,9,三、结构位移计算的方法,1,、几何法,例如，材料力学中主要用于计算梁的挠度的积分法。,2,、虚功法,计算结构位移的虚功法是以,虚功原理,为基础的，所导出的,单位,荷载法,最为实用。单位荷载法能直接求出结构任一截面、任一,形式的位移，能,适用于各种外因，且能适合于各种结构,；还解,决了积分法推导位移方程较繁琐且不能直接求出任一指定截面,位移的问题。,10,一、功、实功与虚功,1,、功,功包含了力和位移两个因素。,2,、实功,所谓实功,，是指力在,其自身引起的位移,上所做的功。分为常力实功和变力实功。,4-2,变形体系的虚功原理,11,D,11,1,P,1,P,P,1,D,D,11,o,1,静力荷载所做的实功为变力实功。,静力荷载,，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始终保持平衡。,静力荷载,所做的实功,12,F,P1,在,12,上做的功,:,W,12,是力,F,P1,在另外的原因（,M,2,）引起的位移上所做的功，故为虚功。,所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关,。在作虚功时，,力不随位移而变化是常力,，故式中没有系数,1/2,。,3,、常力所做的虚功,所谓虚功,，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。,F,P1,1,2,D,11,D,12,1,2,M,2,F,P1,(,先,),D,11,D,12,q,21,q,22,1,2,M,2,(,后,),1,1,13,对于各种形式,常力所做的虚功,，用力和,相应,位移这两个,彼此独立无关,的因子的乘积来表示，即,:,式中,:,F,P,是做功的与力有关的因素，称为广义力，,可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。,是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角位移等。,二、广义力和广义位移,14,三、刚体体系的虚功原理,刚体体系,处于,平衡的必要和充分条件,是：对于符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所有,外力,所做的虚功总和等于零。,F,i,i,=0,.,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：,F,P,P,B,-,F,P,P,+,F,B,B,=0,1,2,15,四、变形体的虚功原理,1,、关于原理的表述,变形体系,处于,平衡的必要及充分条件,是：,对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和,等于,各微段上内力在其,变形虚位移,上所做虚功总和。,或者简单地说，,外力虚功等于变形虚功,（数量上等于虚变形能）。,2,、关于原理的证明,16,状态,2:,位移状态,(,另外原因引起,),微段位移状态,微段受力状态,状态,1:,力状态,du,d,v,d,是状态,2,中的原因（荷载，温变支移等）引起的微段变形。,F,P,F,R1,F,R2,F,R3,M,q,ds,E,F,F,E,ds,E,F,ds,q,M,F,N,F,Q,M,+d,M,F,N,+d,F,N,F,Q,+d,F,Q,A,B,C,D,ds,g,0,g,0,d,u,d,v,d,ds,ds,B,C,C,1,ds,A,D,A,1,B,1,D,1,C,2,D,2,O,O,17,(1),按外力虚功与内力虚功计算,（从变形的连续条件考虑）,d,W,总,=d,W,外,+d,W,内,将微段,d,s,上的作用力区分为,外力与内力，,微段总的虚功：,F,P,F,R1,F,R2,F,R3,M,q,ds,E,F,F,E,ds,E,F,ds,q,M,F,N,F,Q,M,+d,M,F,N,+d,F,N,F,Q,+d,F,Q,A,B,C,D,B,C,C,1,ds,A,D,A,1,B,1,D,1,C,2,D,2,O,O,ds,g,0,g,0,d,u,d,v,d,ds,ds,整个结构的总虚功为,：,18,或简写为：,W,总,=,W,外,+,W,内,由于任何,两相邻微段的相邻截面上,的,内力,是成对出现的，它们大小相等，方向相反；,q,ds,q,M,F,N,F,Q,M,+d,M,F,N,+d,F,N,F,Q,+d,F,Q,A,某微段受力,ds,q,M,+d,M,F,N,+d,F,N,F,Q,+d,F,Q,右侧相邻微段受力,左侧相邻微段受力,ds,M,F,N,F,Q,C,D,B,D,C,A,B,又由于,虚位移,是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总是紧密贴在一起的，而且有相同的位移，,因此，,每一对相邻截面上的内力,所做的虚功总是相互抵消的。,由此可见，必有：,W,内,=0,；,19,因此：,W,总,=,W,外,（,a,）,(2),按刚体虚功与变形虚功计算,(,从力系的平衡条件考虑,),将微段的虚位移区分为,刚体虚位移,和,变形虚位移两类,20,微段总的虚功,:,d,W,总,=d,W,刚,+d,W,变,F,P,F,R1,F,R2,F,R3,M,q,ds,E,F,F,E,ds,E,F,ds,q,M,F,N,F,Q,M,+d,M,F,N,+d,F,N,F,Q,+d,F,Q,A,B,C,D,B,C,C,1,ds,A,D,A,1,B,1,D,1,C,2,D,2,O,O,ds,g,0,g,0,d,u,d,v,d,ds,ds,由刚体虚功原理，可知：,d,W,刚,=0,21,于是，微段上总的虚功：,d,W,总,=d,W,刚,+d,W,变,=d,W,变,对于全结构，有：,因此有：,W,总,=,W,变,(b),比较（,a,）、（,b,）两式，可得：,W,外,=,W,变,就是我们需要证明的结论。,它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。,(c),22,须注意的是：,这里（,b,）中的,W,变,与（,a,）中的,W,内,是有区别的。,（,a,）中的,W,内,是指所有微段上,内力在截面的总位移,（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如前所述，它恒等于零；,而这里（,b,）中的,W,变,仅指所有微段上,内力在截面的变形位移上,所做虚功的总和。,23,假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作用在截面,AB,上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，,仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功,。对于平面杆系有,d,W,变,=,M,d,+,F,N,d,u,+,F,Q,d,v,(d),W,变,实际上是所有微段上,内力,在变形虚位移上所做虚功的总和，称为,变形虚功,（数量上等于虚变形能）。,由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量,d,M,、,d,F,N,和,d,F,Q,以及分布荷载,q,在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为,（,1,）,变形虚功,W,变,24,对于平面杆系而言，,因为,单个外力虚功,按式,W,=,F,P,计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功的总和为,:,W,外,=,S,F,P,D,将有关,W,外,和,W,的计算式（,e,）和（,d,）代入式（,c,），则,平面杆件结构的虚功方程,可表示为,:,（,e,）,（,4-4,）,平衡力系,位移状态,（,2,）,外力虚功,W,外,25,3,、关于原理的说明,（,1,）在上面的推证过程中，,只考虑了力系的平衡条件和变形的连续条件。,所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也可以用来代替几何方程（即协调方程）。,（,2,）虚功方程,是个“两用方程”,，具体应用时可有两种形式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，,a.,如果力系是给定的，则可虚设位移，式（,4-4,）便称为变形体系的,虚位移方程,，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中的某未知力,；,b.,如果位移是实有的，则可虚设力系，式（,4-4,）便称为变形体系的,虚力方程,，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用,26,（,a,）,实,平衡力系,虚,位移状态,（,b,）,虚,平衡力系,实,位移状态,虚位移方程,虚力方程,27,（,3,）在推证式（,4-4,）时，,没有涉及到材料的性质,。因此，变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于,弹性问题，也适用于非弹性问题,。,（,4,）变形体系的虚功原理,同样适用于刚体体系,。由于刚体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚功,W,变,=0,，于是可得,W,=0,刚体体系的虚功原理,只是变形体系虚功原理的一个特例。,28,6.3,结构位移计算的一般公式,一、利用虚功原理计算结构位移,根据平面杆件结构的虚功方程（,4-4,），其等号,左侧为,F,P1,F,P2,ds,ds,d,q,du,dv,D,c,1,c,2,K,1,K,i,i,q,+t,1,+t,2,F,P,=1,i,i,例,求,K,点位移，则在,K,点,虚加,一单位力,Fp=1,虚平衡力系,实位移状态,29,于是有,即得,（,4-7),此式,适用于任何材料的静定或超静定结构,。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于,结构小变形情况,。,广义单位荷载,F,P=1,为外加单位荷载（,F,P,上面不加横线表示），属单位物理量，是量纲,1,的量（以往称为无量纲量）。,（式中,F,R i,、,M,，,F,N,，,F,Q,为虚设单位力作用下引起的反力和内力）,30,二、虚拟单位荷载的施加方法,应用,单位荷载法每次只能求得一个位移,。这个位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即属广义位移。因此，,需特别强调,，当求任意广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在所求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移,相应的,广义力。,这里，“,相应,”是指力与位移在做功上的对应，如集中力与线位移对应，力偶与角位移对应，等等。,（,1,）图示为求刚架,K,点沿,i,-,i,方向的,线位移时的虚拟力状态。,F,P,=1,i,i,K,31,（,2,）图示为求刚架,K,截面角位移时的虚拟力状态。,（,3,）图示为求刚架,A,、,B,两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态。,（,4,）图示为求刚架,A,、,B,两截面相对角位移时的虚拟力状态。,M,=1,K,F,P,=1,F,P,=1,A,B,M,=1,M,=1,A,B,32,（,5,）求桁架,A,、,B,两点沿其连线方向相对线位移时的虚拟力状态,（,6,）桁架第,i,杆角位移时的虚拟力状态。施加于该杆两端结点的一对力正好构成一个单位力偶,M,=1,，其中每一个力均为,1/,l,i,且与该杆垂直，这里的,l,i,为第,i,杆的长度。,7,）桁架第,i,与第,j,杆两根杆间相对角位移的虚拟力状态。施加于该两杆两端结点的各一对力，正好构成方向相反的一对单位力偶。,F,P,=1,F,P,=1,A,B,l,i,1/,l,i,1/,l,i,l,i,l,j,1/,l,i,1/,l,i,1/,l,j,1/,l,j,33,4.4,静定结构在荷载作用下的位移计算,当仅考虑荷载作用时，无支座位移项,式中，,d,q,、,d,u,和,d,v,是实际状态中由荷载引起的微段,d,s,上的变形位移，该公式中的各内力,M,、,F,N,、,F,Q,，应具体采用由实际状态中的荷载引起的内力,M,P,、,F,NP,、,F,QP,。,(4-8),ds,q,M,F,N,F,Q,M,+d,M,F,N,+d,F,N,F,Q,+d,F,Q,A,微段受力状态,ds,ds,ds,g,0,g,0,d,u,d,v,d,微段变形状态,（,i,）,式,34,（,4-13,）,如果各杆均为直杆，则可用,d,x,代替,d,s,，得,荷载作用下位移计算的一般公式,:,（,4-13,）,M,P,、,F,NP,、,F,QP,实际荷载引起的内力；,、,虚设单位荷载引起的内力。,将（,i,）式代入式,(4-8),得平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,:,35,关于内力的正负号规定如下：,轴力,F,N,以拉力为正；,剪力,F,Q,以使微段顺时针转动者为正；,弯矩,M,P,、,只规定乘积 的正负号。,当 与,M,P,使,杆件同侧纤维受拉,时，其乘积取正值。,36,二、各类结构的位移公式,1,、梁和刚架,在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为,（,4-14,）,37,2,、桁架,在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积,A,、轴力,F,N,和,F,N,沿杆长一般都是常数，因此，位移公式可简化为,:,（,4-15,）,38,3,、组合结构,在组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆只受轴力，因此位移公式可简化为,（,4-16,）,39,4,、拱,计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，但当拱轴线与压力线比较接近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平拱（,f,/,l,1/5,）中的水平位移时，则还需要考虑轴向变形的影响，即有,（,4-17,）,而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构，剪切变形的影响则需一并考虑。,本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式，,不仅适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。,40,三、单位荷载法的计算步骤,（,1,）列出在实际荷载作用下的,M,P,的表达式（或作出荷载弯矩图,M,P,图）；,（,2,）施加相应的单位荷载，列出 的表达式（或作出单位弯矩图 图）；,（,3,）计算位移值：将 和,M,P,代入公式（,4-13,），求出拟求的位移,D,。,注意：须在计算所得的位移值后，加圆括号，注明位移的实际方向,41,例,4-1,试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面,C,的竖向位移,D,C,V,。已知,EI,=,常数。,解：,(1),列出在实际荷载作用下的,M,P,的表达式：,建立,x,坐标，如右图所示：当,0,x,l,时，有：,A,B,C,K,q,l,x,ql,/2,ql,/2,ql,2,/8,A,B,C,K,M,P,图,42,(2),施加单位荷载，并列写在虚加,单位荷载作用下的,M,表达式,根据拟求,D,C,V,，在点,C,加一竖向单位荷载，作为虚拟力状态，如右图所示。,当,0,x,l,/2,时，有：,A,A,B,B,C,C,K,K,x,l,/2,l,/4,1/2,1/2,1,图,43,计算结果为正，说明点,C,竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同，即向下。,(3),计算位移值：梁只考虑弯矩引起的位移，故代入式（,4-4,）得：,44,例,4-2,试求图示简支曲梁点,A,的水平位移,D,A,H,。已知,EI,=,常数。,解：,(1),列写在实际荷载作用下的,M,P,的表达式,当,0,x,a,时，,当,a,x,l,时，,A,A,B,B,f,l,a,l-a,C,D,x,y,F,P,F,P,D,K,1,K,2,x,x,l-x,(0,x,a,),(,a,x,l,),45,(2),列写在虚设单位荷载作用下的的表达式,当,0,x,l,时，,(3),计算位移值,A,B,x,y,1,1,46,例,4-3,试求图示桁架,B,点的竖向位移,B,。,设各杆的刚度,EA,均相同。,P,P,P,4m3=12m,3m,A,E,B,F,5P,8P,P=1,5/3,4/3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,3P,解：作图示的轴力图。,47,解：,(1),计算在实际荷载作用下各杆的轴力,F,NP,(2),在点,A,加水平单位荷载，求各杆的轴力,(3),在点,A,加竖向单位荷载，求各杆的轴力,例,4-4,试求图示桁架结点,A,的水平位移,D,A,H,及垂直位移,D,A,V,。,A,F,P,-F,P,F,P,F,P,a,a,A,1,1,A,1,1,1,-1,48,(4),计算位移值,A,F,P,-F,P,F,P,F,P,a,a,A,1,1,A,1,1,1,-1,49,4.5,图乘法,计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常利用下式计算,一、简化的条件（适用条件）,（,1,）杆件,(,或杆段,),的轴线为直线；,（,2,）杆件,(,或杆段,),的,EI,为常数；,（,3,）杆件,(,或杆段,),的,M,图和,M,P,图中至少有一个为直线图形。,(4-19),50,(a),二、简化方法,式中：,d,A,=,M,P,d,x,为,M,P,图中微段,dx,对应的阴影部分的微分面积；,而 即为整个,M,P,图的面积对,y,轴的静矩；,用,x,0,表示,M,P,的形心至,y,轴的距离，则有,(b),图,x,y,O,x,x,0,y,0,dx,A,A,B,B,C,形心,面积,A,dA=M,P,dx,M,P,图,M,P,y,0,=x,0,tan,a,a,51,将式（,b,）代入式（,a,），则有：,式中，,y,0,=,x,0,tan,a,是,M,P,图的形心,C,处,所对应的,M,图中的竖标,。,可见，上述积分式,等于,一个弯矩图的面积,A,乘以其形心,C,处所对应的另一直线弯矩图上的竖标,y,0,，再除以,EI,。,这种以图形互乘代替积分运算的位移计算方法，称为,图乘法,。,(4-21),图,x,y,O,x,x,0,y,0,dx,A,A,B,B,C,形心,面积,A,M,P,图,y,0,=x,0,tan,a,a,52,如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为,:,(4-21),例题：试求集中荷载,P,作用下跨中点,C,的挠度（,EI,为常数）。,A,B,C,l,/2,P,l,/2,53,A,A,B,B,C,C,K,K,x,l,/2,l,/4,1/2,1/2,1,图,A,A,B,B,C,C,K,K,x,l,/2,Pl,/4,P/2,P/2,P,图,解法一：用积分法。,（,1,）求实际荷载下的,弯矩,M,P,随,x,的关系式,：,（,2,）在所求的位移上加相应单位荷载，,并求,弯矩,M,随,x,的关系式,：,（,3,）代入积分公式（,4-19,）求位移。,M,P,=,M,=,54,解法二：用图乘法。,（,1,）作实际荷载下的弯矩图,M,P,图；,（,2,）根据所求的位移施加相应的单位荷载，,并作单位弯矩图,M,图；,（,3,）用图乘法公式（,4-21,）求位移：,A,A,B,B,C,C,C1,l,/2,l,/4,1/2,1/2,1,图,y,01,y,02,C2,A,A,B,B,C,C,K,C1,l,/2,Pl,/4,P/2,P/2,P,图,A,1,A,2,C2,55,三、应用图乘法的计算步骤,（,1,）作出实际荷载作用下的弯矩图,M,P,图；,（,2,）根据所求的位移施加相应的单位荷载，并作出单位 弯矩图,M,图；,（,3,）检查是否符合图乘法适用条件，当符合条件时用图,乘法公式（,4-21,）求位移。,56,四、应用图乘法的注意事项,（,1,）纵坐标,y,0,只能,取自直线图形，而面积,A,应取自另一图形。,（,2,）当,A,与,y,0,在弯矩图的,基线同侧时，其乘积值取正号；,在不同侧时，应取负号。,（,3,）,需要记住,几种,常见简单图形的面积与形心位置,（下页图）,须注意的是：图中所示抛物线,M,图均为,标准抛物线,，即,M,图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点,:,曲线顶点处,的切线与基线平行，该处剪力为零。,57,l,l,l,l,l,h,h,C,C,C,C,C,C,C,2,l,/3,l,/3,(,l+a,)/3,(,l+b,)/3,a,b,l,/2,l,/2,3,l,/4,l,/4,3,l,/8,5,l,/8,2,l,/5,3,l,/5,4,l,/5,l,/5,顶点,顶点,顶点,二次半抛物线,三次抛物线,A,=,hl,/2,A,=,hl,/2,A,=2,hl,/3,A,1,A,2,A,1,A,2,A,1,=2,hl,/3,A,2,=,hl,/3,A,1,=3,hl,/4,A,2,=,hl,/4,直角三角形,一般三角形,二次全抛物线,58,（,4,）如果,M,P,与,M,均为直线，则,y,0,可取自其中任一图形。,（,5,）如果,M,是折线图形,，而,M,P,为非直线图形，则应分段图乘，,然后各段相加。,A,1,A,2,y,01,y,02,M,P,图,图,59,（,6,）如果杆件为,阶形杆（,EI,分段为常数,），则应按各个,EI,段分,段图乘，然后各段相加，如图所示。,M,P,图,A,1,A,2,y,01,y,02,EI,1,EI,2,图,60,（,7,）如果,M,P,图为复杂的组合图形,（由不同类型荷载按区段叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法的逆运算，将,M,P,图分解（还原）为每一种荷载作用下的几个简单图形，分别进行图形互乘，然后相加。,其中,梯形的分解：,A,1,A,2,y,01,y,02,M,P,图,图,a,b,c,d,l,61,当,M,P,或,M,图的竖标,a,、,b,或,c,、,d,不在基线同侧时,，如下图所示，处理原则仍和上面一样，可将,M,P,分解为位于基线两侧的两个三角形（其中,A,1,在上侧，,A,2,在下侧），按上述方法，分别图乘，然后叠加。,M,P,图,A,1,A,2,y,01,y,02,a,b,c,d,l,图,62,（,8,）抛物线非标准图形的分解,=,+,M,A,M,B,qa,2,/8,M,A,M,B,dx,qa,2,/8,A,B,M,A,M,B,a,q,A,B,M,A,M,B,qa,2,/8,a,M,A,M,B,dx,qa,2,/8,A,B,a,M,A,M,B,A,B,q,=,+,63,例4-4试求图4-15（a）所示悬臂梁中点C的挠度。已知EI=常数。,解：在,c,点加一竖向的单位力,作相应的弯矩图，用图乘法,64,例4-5试求图4-16（a）所示简支梁C点的挠度。已知EI=常数。,解：在,c,点加竖向单位力,65,例4-6图4-17（a）为一简支梁在荷载作用下的图，已知EI=常数，试求截面B的转角。,解：将杆件分为AC和CB两段，分别进行图乘计算。,66,例4-6图4-17（a）为一简支梁在荷载作用下的图，已知EI=常数，试求截面B的转角。,解：或者，利用式（e）计算。,67,例4-7试求图4-18（a）所示刚架D点的竖向位移，并绘制刚架的变形曲线。各杆EI相等。,解：在,d,点加单位水平力,68,解：绘制刚架变形曲线时，可先根据图判断杆件弯曲后的凹凸性。AE段右侧受拉，应向右凸；EB段左侧受拉，应向左凸；同理，BC段向上凸，CD段向右凸。在弯矩为零的E点应有一反弯点。然后，根据支座处的位移边界条件和结点处的位移连续条件，即可确定变形曲线的位置。A处为固定约束，线位移和角位移均为零。B、C为刚结点，在刚结点处各杆端的夹角应始终保持不变，仍为直角。最后，根据求出的D点竖向位移向上，考虑到忽略各杆的轴向变形，便可绘制出刚架变形曲线的形状，见图4-18（d）中虚线。,69,例 试求图示悬臂梁端截面,B,的挠度,D,B,V,。已知,EI,=,常数。,A,B,C,l,/2,l,/2,l,q,ql,70,解法一,(1),作,M,P,图，并按,A,1,、,A,2,、,A,3,、,A,4,四部分划分，如图所示,;,(2),作,M,图,(3),利用公式进行图乘,A,A,A,B,B,B,C,C,C,l,/2,l,/2,l,q,ql,A,1,A,2,A,3,A,4,y,01,y,02,y,03,y,04,l,M,P,图,图,1,71,解法二,（,1,）作,M,P,图，并按,A,1,、,A,2,两,部分划分，如图所示。,（,2,）作,M,图,（,3,）图乘,计算结果与前法完全相同，但因对,M,P,图分块恰当，使计算更简便。,M,P,图,图,A,A,B,B,C,A,1,A,2,y,01,y,02,1,l,ql,2,72,例求图示刚架铰,C,左右两侧截面的相对转角 。,EI,=,常数。,解：,A,B,C,D,E,C,1,C,2,F,P,l,l,l,/2,l,/2,F,P,l,/4,F,P,l,/4,M,P,图,A,1,A,2,A,3,A,4,1,1,1,y,01,y,02,y,03,y,04,图,1,73,5m,5m,5m,5m,5m,2kN/m,7kN,10kN,A,B,G,C,D,E,F,15kN,50kN.m,25,35,10,20,1kN,2kN,10,10,10,20,m,例,.,求,A,点水平位移。,2024/12/1 周日,74,4.6,静定结构由于温度变化引起的位移计算,一、关于温度变化的假定,1.,温度沿杆件长度均匀分布；,2.,温度沿截面高度按直线变化。,二、静定结构温度变形的特征,静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），,温变（替代前面章节中由荷载引起的微元体上的内力）成为引起结构杆件微元体变形的原因；,温度引起的变形作为,实际位移状态,，虚设单位力及其引起的内力作为,虚平衡力系。,虚力原理同样成立，同样可采用单位荷载法。,75,（,4-25,）,由于上述第一点假设：温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段,d,v,=0,）；,同时注意到实际状态的支座位移为零,c=0,（,因此，位移公式可进一步简化为,式中，,d,q,和,d,u,为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。,只要能求出,d,q,和,d,u,的表达式，即可利用（,4-25,）求得结构的位移。,76,三、关于,d,u,的计算表达式,截取一微段,d,s,截面变形之后仍,保持为平面,。其上侧、下侧形心轴处纤维伸长分别为：,d,u,1,=,at,1,d,s,A,B,C,A,B,C,ds,ds,B,1,C,1,D,CV,t,1,t,1,t,2,t,2,t,1,t,2,ds,d,q,du,1,du,h,h,1,h,2,a,t,1,ds,a,t,2,ds,a,t,0,ds,d,q,形心轴,d,u,2,=,at,2,d,s,d,u,=,at,0,d,s,式中，,a,为材料的线膨胀系数。,77,按几何关系可得中性轴温度的变化为,:,故得,:,A,B,C,A,B,C,ds,ds,B,1,C,1,D,CV,t,1,t,1,t,2,t,2,t,1,t,2,ds,d,q,du,1,du,h,h,1,h,2,a,t,1,ds,a,t,2,ds,a,t,0,ds,d,q,形心轴,78,当截面对称于形心轴，即 时，则,于是，温度变化引起的,微段轴向变形,:,（,4-26,）,A,B,C,A,B,C,ds,ds,B,1,C,1,D,CV,t,1,t,1,t,2,t,2,t,1,t,2,ds,d,q,du,1,du,h,h,1,h,2,a,t,1,ds,a,t,2,ds,a,t,0,ds,d,q,形心轴,79,四、关于,d,q,的计算表达式,若将上下边缘温差记为,:,t,1,t,2,ds,du,h,h,1,h,2,a,t,1,ds,a,t,2,ds,a,t,0,ds,d,q,形心轴,则温度引起的微段弯曲变形可表达为,:,（,4-27,）,80,五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式,将式（,4-26,）和式（,4-27,）代入式（,4-25,），即得：,若,t,0,、,D,t,和,h,沿各自杆件全长为常量，则：,即,（,4-29,）,式中,:,，为 图的面积；,，为 图的面积。,对于梁和刚架，在计算温度变化引起的位移时，轴向变形的影响一般不容忽视。,81,六、关于符号的规定,当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正，,即,其乘积为正（,或：温变、单位荷载在杆件同侧纤维上引起的变形一致时，其乘积为正,）,，反之则为负。,据此：,如,D,t,取绝对值，当,M,图位于高温一侧时，第一项乘积为正；,如,t,0,以升高为正，当,F,为拉力时为正，则第二项乘积为正,。,82,83,84,85,86,6.6,静定结构由于支座移动引起的位移计算,静定结构,当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生 微段变形，而只发生,刚体位移,。,这时，平面杆系结构位移计算的一般公式（,4-7,）可简化为：,（,4-31,）,位移计算的一般公式为：,（,4-7),（式中,F,R,、,M,，,F,N,，,F,Q,为虚设单位力作用下引起的反力和内力）,87,式中,:,为虚拟状态中由单位荷载引起的与支座位移相应的支座反力；,c,为实际状态中与,F,R,相应的已知的支座位移；,S,为反力虚功总和，,当,F,R,与,c,方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。,须注意，式（,4-31,）前面的负号，是原来推导公式（,4-7,）移项时所得，不可漏掉。,（,4-31,）,88,例,4-10,图示三铰刚架,A,支座往下位移了,b,，,B,支座往右移动了,a,，求,C,点的竖向位移,和,C,点的相对转角,。,解：（,1,）求,C,点的竖向位移,真实位移状态,a,b,L/2,L/2,L,A,B,C,在,C,点作用一个竖向单位力，,求出 和 。,虚设力状态,A,B,C,1,支座移动引起的位移计算公式：,2024/12/1 周日,89,真实位移状态,a,b,L/2,L/2,L,A,B,C,A,B,C,1,虚设力状态,（,2,）求,C,点的相对转角,在,C,点作用一对单位力偶，,求出 和 。,支座移动引起的位移计算公式：,结果为正则位移与虚设力方向一致；,结果为负则位移与虚设力方向相反。,2024/12/1 周日,90,例,4-11,：图示桁架，已知,n,B,=,C,，试求杆,BC,的角位移,j,BC,。,a,A,C,E,C,l,d,A,C,E,解：把单位力偶换算成组成力偶的两个力,F,=1/,d,，,分别作用在结点,E,、,C,上，并与,CE,垂直。,1/,d,1/,d,F,Ay,=,1,l,F,Cy,=,1,l,所得结果为正数，说明实际位移方向为顺时针。,2024/12/1 周日,91,例 试求图示桁架由于支座,B,发生竖向位移,D,所引起杆件,BC,的转角。,解：,(1),虚设相应单位力,(2),利用公式（,4-31,），计算角位移：,a,a,a,A,A,B,B,C,C,D,D,D,实际状态,虚拟状态,92,4-7,互等定理,本节讨论的四个普遍定理,互等定理，是采用,小变形,和,线弹性,的假定，并根据虚功原理导出的。,1.,虚功互等定理,。,是四个定理中最,基本的,（亦简称功的互等定理）；,2.,位移互等定理,3.,反力互等定理 是应用虚功互等定理的三个特例,4.,反力与位移互等定理。,93,一、虚功互等定理,表述,:,一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功（,W,12,），等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（,W,21,）。即,:,F,P1,F,P2,D,12,D,21,1,1,2,2,第一状态,第二状态,94,证明,:,设有两组外力,F,P1,和,F,P2,分别作用于,同一线弹性结构上,，如图所示，分别称为结构的,第一状态,和结构的,第二状态,。,第一状态的力在第二状态的位移上做虚功，则根据虚功方程,W,外,=W,变,，可得,（,a,）,F,P1,F,P2,D,12,D,21,1,1,2,2,第一状态,(,平衡力系,),第二状态（位移状态）,95,第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得,(b),以上两式的右边完全相同，因此左边也应相等，故有,:,或写为,证毕,F,P1,F,P2,D,12,D,21,1,1,2,2,第一状态,(,平衡力系,),第二状态（位移状态）,96,二、位移互等定理,位移互等定理是虚功互等定理的一个特殊情况。,这就是,位移互等定理,。,它表明：,第二个单位力引起的第一个单位力的作用点沿其方向的位移（,d,12,），,等于,第一个单位力引起的,第二个单位力的作用点,沿其方向的位移（,d,21,）,。,如果图的,F,P1,和,F,P2,都是单位力（量纲为,1,），相应的位移由,D,改为,d,表示，则有,1,1,2,2,F,P1,=1,F,P2,=1,d,21,d,12,97,注意：,1.,这里的单位力及其相应的位移可以是：,广义力,和相应的,广义位移,。,2.,位移互等可以是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可以是,线位移与角位移之间,的互等。,位移互等定理将在,力法,计算超静定结构中得到应用。,在图示的两个状态中，根据位移互等定理应有,q,21,=,d,12,。,即,F,P1,=1,M=1,1,1,2,2,d,12,q,21,l/2,l/2,98,三、反力互等定理,这个定理也是虚功互等定理的一个特殊情况,。,在图示的两个状态中,根据虚功互等定理，有,如果令：,D,1,=,D,2,=1,，则得,D,1,=1,D,1,=1,D,2,=1,1,1,2,2,k,12,k,21,99,反力互等定理：,约束,1,发生单位位移所引起的约束,2,的反力（,k,21,），等于约束,2,发生单位位移所引起的约束,1,的反力（,k,12,）。,须注意,：,1.,这个定理对结构上,任何两个支座都适用,，,2.,反力与位移在,做功的关系上相对应,，即力对应线位移，力偶对应角位移。,图中，,k,