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让数学之美激荡儿童思维
——“回文数”教学案例呈现
我国数学家徐利治先生指出：“数学教学之目的之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们创造发明能力。”的确，通过彰显数学之美，让儿童在自由、自在、自主的遨“想”中发现数学美、感悟数学美、享受数学美，可以潜移默化地培养和提高学生的数学观念和思维品质，激发和外化学生的数学潜能，丰富和充实学生的数学精神天地。
“哪里有数，哪里就有美。”以“回文数”为载体，以“想”为线索，以“美”为追求，笔者设计了一节在五年级教学的课例“回文数”，通过创设激发学生审美意识、促进学生思维的一个个情境，引领、引导、引发学生不断地冥想，叩开学生数学思维的心扉，提高其推理能力、抽象能力、想像力和创造力。
课堂实录：
课前活动：
进行趣味想象力测试。多媒体出示右图，让学生找找有几张脸。
师生交流后，多媒体出示：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步。——爱因斯坦
一、由文到理，引入回文数
师：同学们，今天我们来上一节与众不同的数学课，大家期待吗？
生齐：期待！
多媒体出示：
上海自来水来自海上。
歌唱家在家唱歌。
人过大佛寺，寺佛大过人。
师：这可是三句很有意思的话，仔细看一看，它们有意思在哪儿呢？
生：正着读和反着读都一样。
师：是这样吗？让我们一起读一读。（教师要求学生把三句话分别正着读和反着读）
师：真好，这位同学有一双会发现的眼睛！像这里三个句子一样，从左往右读和从右往左读，结果完全相同，这样的现象，文学上称为回文。
师：文学中的回文实际是一种特殊的文字排布结构，下面同学们可以随便写一句话，然后再按照回文结构续写一下。（列举学生写出来的二例，简约点评。）
师：想想看，在我们的生活里，有没有类似回文结构的东西？
生：在棋盘上，“将”在中间，它的左右两边依次是“士、象、马、車”。
生：有时数数，正着数，再倒着数回去，比如一二三，三二一，也应该是一种回文结构。
生：我想到一座拱桥的样子，从底部往上，到中间后再往下。
师：非常好！同学们由文学中的回文又联想到象棋盘、数数、拱桥形状等等。下面我让同学们看一幅图：（多媒体出示杨辉三角，如上图，教师作简要介绍）

师：这里呈现了一种数字排布的特殊结构，和文学中的那种回文结构一样吗？这种结构你看起来和感受它时，美吗？为什么美呢？
生：我觉得很美。之所以美，是因为它对称。
师：概括的真好！其实对称的结构给我们以和谐之感。在数学中就有许多对称的结构，所以我们说，数学是美的！
二、多思多想，畅聊回文数
师：下面请同学们根据文学中的回文结构，写一些具有这种结构的数字。
生：121；212；343。
师：（板书：121；212；343）从左向右读一读；从右向左读一读。
在自然数中，像这样从左往右读和从右往左读完全一样，那么这样的数就叫做回文数。谁也来说个回文数？
生：979，686。
师：这些都是三位数，再来说些不太一样的。
生：55，9889。
师：回文数说的完吗？（生齐：说不完）回文数的个数是无限的。现在我们来按要求写写回文数，好不好？（生齐：好）
（多媒体出示：1.写3个三位数的回文数。生写数，师巡视）
师：（投影一学生写的数）三位数的回文数有什么特点？
生：第一个和第三个数字一样，中间随便是哪个数字。
（多媒体出示：2.写3个四位数的回文数。生写数，师巡视）
师：（投影一学生写的数）谁来说一说，四位数的回文数，怎样写的又对又快？
（学生回答后让其上台现场演示两种不同写法）
师：看来，掌握了回文数的特点，写回文数就方便了。谁能用一个词概括它的特点？
生：对称。
师：让我们把掌声送给他。
（多媒体出示：3.今年是2010年，比2010小的回文数最大是多少？）
（题目出示没几秒，马上有学生说出答案“2002”。）
师：（板书：2002）的确是2002，能说说理由吗？
生：我先想，比2010小的数最大是2009，不符合要求，然后我就马上想到2002了。
（多媒体出示：比2010大的回文数最小是多少？现场一片寂静，教师要求学生同桌讨论）
生：是2112。
师：（板书：2112）为什么呢？
生：因为如果是四位数的回文数，中间两个数字就必须一样。现在中间的两个数字是0和1，既然是比2010大，所以只能把0变成1，最后一个数字就肯定是2了。
师：你说得很清楚，大家也把掌声送给他。（板书成：2002年 2112年）那么，紧接着2112年后面的回文数的年份是哪一年呢？
生：是2222年。
师：有了经验，这次想得就更快了。（板书2112年）2002年，2112年，2222年，你能发现什么？看看它们的大小？
生：都相差110。
师：你的眼睛真亮。那么，大家想想看，是不是每相邻两个回个数年份都相差110呢？
（要求学生先独立思考，后小组交流）
生：不是的，比如888和999年，它们相差111年。
生：比如707年和808年，它们相差101年。
生：比如22年和33年，它们相差11年。
（教师根据学生回答板书相应算式）
师：同学们讲得很好，用三位数、两位数的回文数的年份，这样一些反例进行了思考。其实，在四位数的年份中，每相邻两个回文数的年份也并不一定相差110年。让我们来思考一个有趣的问题：姚老师今年29年，你知道我从出生到现在遇到的回文数年份有哪两个吗？
（学生沉默了，教师提醒孩子可以先算算老师的出生年份。不到一分钟，正确答案1991年和2002年顺利推算出来，有的是先算出老师的出生年份然后往后推想，有的是从现在的年份2010年往前推算，教师板书：2002－1991＝11，说明2002年和1991年只相差11年）
师：让我们继续来聊聊回文数。（板书36）它是回文数吗？（生齐：不是）动动脑，怎样做变化，使它成为回文数？
生：在36后面添上3。
生：在36后面添上6和3。
生：在36前面添上6，或者添上6和3。
师：大家都是在36前面或者后面添上1个或者几个数字。想想看，还有不同的方法吗？
生：还可以在36的中间添上数字。比如添上3和6。
生：还可以在中间添上许多个3和许多个6，只要个数一样。
师：还有不同的方法吗？
生：还可以用36减去3，等于33。
师：你的方法真特别，既然这样——
生：还可以用36加上60。
师：哈哈，如果这样去想，方法就更多了。同学们，数学家还想出了一个与众不同的方法，想看看吗？（生齐：想）
（多媒体出示：任意取一个自然数，把它与它的倒序数相加；如果和不是回文数，再把得到的和与和的倒序数相加，按照这样的方法操作下去，直到获得回文数为止。）
师：（学生看方法）能完全看懂吗？
生：“倒序数”是什么意思？
师：有谁知道的？
生：我猜就是把数倒过来的意思。比如36，它的倒序数就是63。
师：真好，你猜对了。遇到自己不懂的，“猜”是一种方法。当然，还可以通过询问别人或上网搜索找到问题的结果。（手指大屏幕）按照这个办法我们来试一试好不好？
（教师带领学生一起熟悉方法，板书36和64两个例子。）
3 6
＋ 6 3
9 9
算1次
6 4
＋ 4 6
1 1 0
＋0 1 1
1 2 1
算2次

师：怎么样，变来变去就变成回文数了，想不想自己也来试一试？
（学生尝试，教师巡视并选择3名学生3个不同数21、22、34的计算过程进行实物投影）
师：现在，大家对于这个变化的方法有什么看法？
生：我感到太神奇了，按照这个方法，我们都算到了回文数。
师：老师听出来了，大家是不是都认为，按照这样的方法计算，结果总能得到一个回文数？（多媒体出示的内容变为：任意取一个自然数，把它与它的倒序数相加；如果和不是回文数，再把得到的和与和的倒序数相加，按照这样的方法操作下去，总能得到一个回文数。）这句话对不对呢？
生：我觉得不对，因为自然数有很多个很多个。
生：自然数有无数个，我们不可能一个个算过去。
师：其他同学听懂了吗？（学生们若有所思地点点头，但有个学生举起了手）
生：刚才我们全班选了好多数，算到的明明都是回文数。可是按照他们的观点，再选其他的数又不一定能算到回文数，我现在还没有算，这句话到底是对是错呢？
师：真好，你勇敢地说出了自己的观点。像这种看起来对，但又不能肯定对，数学上称为“猜想”，史料上把它称为“回文数猜想”。（多媒体出示：回文数猜想）
师：让我们再来举些例子算一算，这次要求同桌两人合作，允许使用计算器，这一大组算195这个数，这一大组算197这个数。大家看看，能不能算到回文数，如果能，数数算了多少次？明白了吗？
（学生分组计算，结论：195能算到回文数，算了4次；197能算到回文数，算了7次。板书：195→4次 197→7次）
师：同学们，从195出发，只要四次变化，就能得到回文数；从197出发，要七次变化，能得到回文数。想想看，在它们中间的数196，(板书：196)能算到回文数吗？（生齐：能）大家的意见很一致，那么猜猜看，要算多少次呢？（板书：196→？次)
生：5次。总归要比4次多，比7次少。
生：我觉得还可能是6次。
生：我觉得次数可能不在4和7之间，黑板上的36算了1次，64算了两次。所以我猜可能是七八次。
生：我想永远也算不完，不知道要算多少次。
师：到底是多少次呢？怎么办？
（学生们都认为用“算”的方法，教师要求学生同桌合作，使用计算器进行计算,算了约4分钟后）
师：课堂时间有限，请大家先停停笔。英国数学家牛顿说：“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。”在数学上，有些事情却往往出乎我们的意料。196这个数好象特别顽皮，我们算来算去总得不到一个回文数。（稍顿）你认为这样算下去，能算到回文数吗？
生：不能。我和同桌都算了18次了。数越算越大，太烦了。
生：我认为有可能行。说不定算到哪一次就变成回文数了呢！
师：这个想法也有道理。很多数学爱好者都对196这个数充满了兴趣。有的人借助计算机，对196这个数进行了成千上万次的变化，国外有个人就算了50000步，但还是没得到期待中的回文数。就目前来是说，196这个数能不能算到回文数还是一个谜，这也还只是个猜想。充满猜想的回文数就好象是一座迷宫，等待着人类包括我们去揭示其中的奥秘。
师：同学们，关于回文数，其实还有很多有趣有意思的内容。
多媒体出示：
1.1的“金字塔”
12=1
112=121
1112=12321
11112=1234321
……
等式右边的数都是回文数。
2.乘积回文数
例：3×51=153
6×21=126
4307×62=267034
把每个算式中的乘号“×”和等于号“=”去掉，剩下的是回文数。
3.回文数的加减
将两个位数相同的回文数相加减，其结果有可能仍是一个回文数。
例：454＋313＝767 5775－2222＝3553
（反例：2222-2112=110 并非回文数啊！）
（尝试回答：所以在这句话的后半句中点明是“有可能”。）
（教师对出示的内容进行简要说明）
师：看似简单的回文数，热情的数学家和数学爱好者们却能找到这么多有意思的内容。大胆猜测，展开你丰富的联想和想象，关于回文数，你觉得可能还存在哪些有趣的内容？或者你能提出点什么问题？
生：两个回文数相乘或者相除，会不会得到一个回文数？
生：像乘积回文数一样，除法行不行呢？
生：老师，有没有像196那样，算来算去都算不到回文数的？
师：你提出的这个问题有些数学家也进行了研究。经过计算，在前十万个自然数中就有5996个数像196一样很难得到回文数。关于回文数，在课前，姚老师还整理了一份资料，下课后发给大家，相信大家从中还会有其他的收获。
三、由内而外，延伸回文数
师：同学们，今天我们一起认识了一位新的朋友“回文数”。你们知道吗？回文数它还只是我们数学中很多特殊的数中的一个，如果把数学比作大海，回文数只是其中的一朵小小浪花。数学，它实则是一个非常庞大的世界，说它庞大，不仅仅是内容的丰富，还在于它应用的广泛，更在于它所带给了我们得无穷无尽的思考。有句话说的非常好。
（多媒体出示：音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，而数学能给予以上的一切。——（德国数学家）克莱因）
师：这是德国数学家克莱因赞美数学的一句名言。课后，请同学们完成以下作业：
多媒体出示：
1.找一找。从公元1年到现在，一共经过了哪些回文数的年份？仔细看一看，这些回文数的年份有哪些特征呢？
2.写一写。写出今天上课的感受，体裁不限，字数不限。

同事评点：
姚老师执教的《回文数》，让学生体会到了数学的趣味性，感悟到了数学的文化魅力，发展了学生的数学思考力。——俞晓
《回文数》的课堂教学充满着浓浓的数学味，新颖有趣的结课充分调动了学生的积极性，给人以数学的思考，使课堂余情未了。——黄裕辉
这节课上，我们虽然找不到生活中的数学，但学生从始至终都沉浸在数学本身的理性之中，在思考的同时渐渐感悟着数学本身的魅力，在积极自我肯定和否定的同时感受着数学自身的美。——杨勤燕
“引入回文“激发了学生的学习兴趣，“说回文例子”训练了学生的发散思维，“写回文数”培养了孩子的思考力，“玩回文数猜想”激发了学生探究的欲望，“1的金字塔”“乘积回文数”“回文数的加减”等知识介绍无不展现了数学外在的趣味性和内在的文化性，使学生真真切切地感受到了数学的美。——陆李华
《回文数》一课的教学环节紧紧相扣，问题步步深入，从引入回文时的“它们有意思在哪儿呢”，到“三位数的回文数有什么特点”，再到回文数猜想时的“你有什么想法”“到196能算到回文数吗？猜猜看，要算多少次呢”，让学生经历猜想、推想、验证等活动，丰富了学生的想象能力，更多的促进了学生的思维能力，同时也使学生体会到人类数学史的博大精深。——卞月红
学生感受：
上了《回文数》这节课，我感到数学美丽又动人，它无比神奇，非常有趣，我爱数学。——陆金舰
回文数带给了我们无穷的想象力，无穷的智慧。只有坚持探索，才能把数学玩透，我要把数学记在自己的心海里。——胡思成
我想自己建立一个博客，在博客里，我要和伙伴们一起探索数学的奥秘，享受数学带给我们的快乐。——张馨宇
很高兴，姚老师给我们上了一节“Happy maths”。回文数太神奇了，特别是196这个数，我算了十几次也没有算到回文数。可我总有一种预感，196应该是能够算到回文数的。——魏玲玲
仅仅是一个回文数就让我们快乐无限！当老师说到有一个人把196算了50000次还没有算出来时，我就有一股冲动：我要当一名数学家，来解开这个奥秘，做一个像牛顿、陈景润一样的数学家。——纪雨男
生：数学是一盏路灯，引领我走进数学的花园，走向智慧的殿堂。今天，我们就亲身感受到了数学的力量。
又是一节数学课，与以往不同的是，这是一节开心课，内容是有趣的回文数。什么是回文数呢？就像“歌唱家在家唱歌”这句话一样，倒着念依然与原来顺着念一样，如88、454、7337、43534等都是回文数。课开始不久，姚老师就给了我们一个数“36”，让我们试试把36变成回文数。这有什么难？小菜一碟嘛！同学们纷纷出谋划策，有人说在6后面添个3，有人说在3前面添个6，有人说在36中间添上36，数学科代表更是说了个与众不同的答案——直接用36减去3，大家的答案多种多样。可老师提出的“回文数猜想”的方法却独树一帜，方法是：“任取一个回文数与它的倒序数相加，若其和不是回文数，就与其倒序数相加，一直到获得回文数为止。”这说法一出立刻激发了大家的兴趣，大家立刻算了起来。咦，几乎我们每一次都成功，这可让大家非常疑惑，是不是每个自然数都可以呢？这时，姚老师微笑着将一开始回文数猜想中的最后一句话“一直到获得回文数为止”改成了“总能得到回文数”。这一举动，引起大家的反对，大家普遍认为：“自然数有很多，不可能全部试过去。”可还是有少部分人坚持自己的观点，应该能算到回文数呀，刚才我们试的那么多数不都算到回文数了吗？有趣的还在后头，老师让我们分两大组算195和197两个数，我们发现：按照以上的方法算，195算4次就能算到回文数，195算7次也能算到回文数。“那195和197中间的数196能算到回文数吗？如果能，要算多少次呢？”老师的提问引发了大家的猜想，有人说“总归要比4次多，比7次少”，有人说“可能是6次”，还有人说“可能要超过10次”。答案却令我们大感意外，196这个数好象特别顽皮，我们算了5分多钟也没算到回文数。接下来，老师给我们介绍了回文数的其它有趣的内容。原来，很多数学爱好者都对196这个数充满了兴趣。有人借助计算机，对196这个数进行了成千上万次的变化，国外有个人就算了50000步，但还是没得到期待中的回文数。看来，充满猜想的回文数就好象是一座迷宫，等待着我们人类包括我们去揭示其中的奥秘啊！
这节课让我觉得数学真奇妙，一个看似如此简单的内容，实际上却是那样的丰富、有趣。——张嘉倚

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