《数学分析》第十六章 多元函数的极限与连续.doc

第十六章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )
§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )
一. 平面点集: 平面点集的表示: 满足的条件}.
1. 常见平面点集:
⑴ 全平面和半平面: , , ,
等.
⑵ 矩形域: , }.
⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是
和.
⑷ 角域: .
⑸ 简单域:型域和型域.
2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.
空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集
的区别.
二. 点集的基本概念:
1. 内点、外点和界点：集合的全体内点集表示为, 边界表示为.集合的内点, 外点, 界点不定.
2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .
例1 确定集的内点、外点集、边界和聚点.
3. 开集和闭集:
时称为开集,的聚点集时称为闭集.存在非开非闭集.和空集为既开又闭集.
4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .
5. 有界集与无界集:
6. 点集的直径：两点的距离.
7. 三角不等式：
（或）.
三. 点列的极限:设, .
定义 的定义 ( 用邻域语言 ) .
例2 , , .
例3 设为点集的一个聚点. 则存在中的点列, 使.
四. 中的完备性定理:
1. Cauchy收敛准则:
先证{}为Cauchy列和均为Cauchy列.
2. 闭集套定理: [1]P89.
3. 聚点原理: Weierstrass聚点原理，列紧性.
4. 有限复盖定理:
五. 二元函数:
1. 二元函数的定义、记法、图象：
2. 定义域：
例4 求定义域：
ⅰ> ; ⅱ> .
3. 有界函数:
4. 元函数:

Ex [1]P92—93 1—8 .

§2 二元函数的极限 ( 3 时 )
一. 二元函数的极限:
1. 二重极限的定义: 也可记为或
例1 用“”定义验证极限 . [1]P94 E1.
例2 用“”定义验证极限 .
例3 设
证明.(用极坐标变换 ) [1]P94 E2.
Th 1 对D的每一个子集E ,只要点是E的聚点,就有.
推论1 设,是的聚点.若极限不存在, 则极限也不存在.
推论2 设,是和的聚点.若存在极限,, 但,则极限不存在.
推论3 极限存在对D内任一点列,但,数列收敛 .
2 方向极限:
方向极限的定义.
通常为证明极限不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等 二重极限存在 ( 以下例5 ).
例4 设 证明极限不存在.
(考虑沿直线的方向极限). [1]P95 E3.
例5 设 证明极限不存在. [1]P95 E4.
二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.
例6 求下列极限:
ⅰ> ; ⅱ> ;
ⅲ> ; ⅳ> .
3． 极限的定义:
其他类型的非正常极限，无穷远点的情况.
例7 验证.
Ex [1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.

二. 累次极限:
1. 累次极限的定义: 定义.
例8 设, 求在点的两个累次极限 . [1]P97 E6.
例9 设, 求在点的两个累次极限 .
例10 设, 求在点的两个累次极限与二重极限.
2. 二重极限与累次极限的关系:
⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )
⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数在点的情况 .
⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)
⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) 二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).
综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系. Th 2 若全面极限和累次极限(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P98.
推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.
注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.
推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.
注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在. 参阅⑵的例.

Ex [1]P99 2

§3 二元函数的连续性 (2 时 )
一． 二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.
1. 连续的定义:
定义 用邻域语言定义连续.
注: 函数有定义的孤立点必为连续点 .
例1 设
证明函数在点沿方向连续 .
例1 设 ( [1]P101)
证明函数在点不全面连续但在点对和分别连续.
2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.
3. 函数在区域上的连续性.
4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.
(仅证复合函数连续性[1]P102).
二. 一致连续性: 定义.
三. 有界闭区域上连续函数的性质:
1. 有界性与最值性. ( 证 )
2. 一致连续性. ( 证 )
3. 介值性与零点定理. ( 证 )

Ex [1]P104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.
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