自旋 我们生活在一个怎样的世界里.doc

电子的自旋

对于电子，我们已经有些了解，知道它带一个单位的负电荷，与带电体发生Coulomb相互作用。除了带电这一属性，电子的另外一个内在属性就是自旋。

自旋是一个非常重要的概念，是本书的基础。作为一个纯量子力学概念，自旋和生活中的直观经验并不符合。为了理解自旋，我们把它与一些熟悉的事物作类比。

a)自旋与地球自转

自旋，顾名思义，“绕着自己旋转”。电子也在绕着自己转动，就好象地球自转一样。但是这有本质的不同。地球自转，是绕着固定的地轴旋转，而电子自旋，作为一种内秉的对称性，其轴是不确定的。当我们想知道这个旋转轴的方向，从某个角度看过去的时候，自旋的“旋转轴”，就总是垂直于我们观测的方向[注]。
我们可以把旋转轴看作一个向量，它有大小，表示旋转的强弱，也有方向，是绕轴旋转的方向。对于一个来说，当我们从不同方向去看它的时候，我们看到的是它在视角上方向上的投影，见下图1-3。

图1-3 观察地轴投影。我们看到的是向量在这个方向上的投影，长度为Lcos(theta)，其中L为向量的长度，theta为向量方向与观察方向的夹角。显然，当我们平行与地轴的方向看过去时，投影为零，但当我们垂直看过去时，投影最大。

如果我们把自旋的轴也当作向量，对电子做同样的“观测”，则会发现，无论我们从何种角度看过去，电子自旋的轴（以下简称自旋）在各个方向上，投影大小都相同——它们都一样长！(见图1-4) 此外，自旋向量的方向，在每个视角看去，都有两个选择，彼此反平行。但是一次观测中，只能看到一种选择，或是朝“上”，或是朝“下”。具体哪个指向被观察到，对于一束非极化的电子（没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向），是完全随机的。

因为向量的投影大小随着视角的方向变化，而自旋的投影却保持不变，所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。实际上，它是向量算子，代表着一类和向量有相同变换规律的运算。即便如此，在很多情形下，我们就用通常意义上的向量（经典向量），来近似的描述电子自旋的性质。

图1-4 与观测地轴投影不同，自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。在任一视角上，其投影方向有两种选择，或“上”或“下”。

地球的自转轴的长度，随着自转快慢而变长变短，而电子的自旋的“长度”，是一个固定的值，与外界任何条件都无关，就像它的电荷数是定值一样。从这一点我们也可以看出，自旋是电子的内在属性。

b) 自旋与翻硬币

搞清楚自旋与地球自转的区别之后，自旋的故事似乎结束了。然而，真正的有趣尚未开始。

在上面的例子里，我们看到，每次对于自旋的观测，都能得到或“上”或下的结果。而且，对于一束没有特别安排自旋方向的电子，其结果是随机的。这很像翻硬币过程——同样都是输出两个结果，而且输出哪个是随机的。

但这和翻硬币有本质的不同。为了说明这个不同，先推广空间的概念：

对于一个物理过程，所有可能物理状态的**就叫做空间。比如三维实空间，一个“状态”就意味着粒子处在一个三维坐标上。

对于翻硬币过程，所有可能结果即正面和反面，非正即反[忽略零测度的],根据以上空间的定义，{正，反}这两个状态，构成了这个空间有且仅有的两个元素。我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”，那么结果的**{正，反}就定义了一个态空间。

这有何神奇的呢？只要再外加一个看似不起眼原理，就能完完全全的改变它的性质，得它们成为量子力学的空间。这个原理叫做叠加原理，就是说，如果“正面”和“反面”是空间里的态，那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。薛定谔的猫，亦死亦活，就是这个意思。如果“死”是空间里的一个态，“活”是空间里的另一个态，那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。也许这看似不可思议，但这正是量子力学的神奇之处；在非量子的经典空间1，如翻硬币的空间或者猫的死活的空间，没有亦正亦反的态，但是如果是量子力学的硬币，或量子力学里的猫，那么允许这种又死又活的猫，或者又正又反的硬币的叠加态的存在。

图1-5 叠加态的概念。

这样，如果把电子自旋朝“↑”看作硬币正面，自旋朝“↓”看作硬币反面，“↓”和“↑”，即观察自旋后，看到的态，如同硬币翻之后得到正反面一样。在物理上，我们把态写在尖括号里，即|↑>和|↓>。对于经典的硬币，其态空间里仅有{正，反}两个元素，对于电子自旋（量子硬币），虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”，但是根据叠加原理，其态空间却允许任意的a|↑>+b|↓>存在，其中a与b是复系数。

c) 自旋与二维笛卡尔坐标系(x, y)

电子自旋空间里，一个态可以分解为以|↓>与|↑>基向量的线性组合。这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量：一个向量，可以分解为x分量与y分量的组合：

|Ψ>=a|↑>+b|↓> = <↑|Ψ>|↑>+<↓|Ψ>|↓>

式中， 与分别为x, y方向上的单位向量。

这样，我们就建立了态与向量之间的类比。它们都存在基向量，都可以被分量分解。更进一步，我们就管态，叫做态矢量，尽管在与地球自转的类比中，它和向量有本质区别。我们也可以定义内积，就是如同<↓|Ψ>的形式。在向量空间里，内积表示两个向量“靠近”的程度：平行时完全重合，内积最大，垂直时内积为零，又叫做“正交”。这里，|↓>与|↑>两个态，如同x与y一样，互相正交，<↓|↑>=0.这在物理上是可以理解的，两个态互相独立，没有外界机制时，不会互相转换。

d) 自旋的数学表述
电子自旋的态空间，|↓>与|↑>两个态矢量，作为基向量构成；在某个方向上，做一次测量，就相当于对其做基向量方向的一次投影，得到|↓>或|↑>。这里，我们并没有仔细考虑三维空间里的“某方向”。怎么样可以既考虑到电子在态空间里的|↓>与|↑>自旋态，又考虑自旋本身在三维空间里的方向呢？

既然自旋类比于矢量，先把它写成类似矢量的形式：

这里用“S”，是因为自旋的英语是Spin,取其第一个字母。

由于图1-4里，电子自旋在任何方向的投影都相同，我们有对任意方向的单位矢量n，S ·n=常数。显然，如果S的各个分量Sx, Sy, Sz只是通常意义的数，则不可能满足这个条件：不同方向上的投影一定不同。

但是如果S各个分量为矩阵，则还是可以满足这个条件的。

巨磁电阻效应——自旋电子的一个应用

早期的电脑，存储能力十分有限，一个移动的存储介质，如3.5英寸软盘，只能储存1.44Mb大小的文件。而今天，体积更小的U盘，可以轻易的储存32G的数据量，比十多年前大了两万倍。这是怎么做到的呢？

这是利用了巨磁电阻效应。该效应在1988年，由德国尤利西研究中心的彼得·格林贝格和巴黎第十一大学的艾尔伯·费尔分别独立发现的，他们因此共同获得2007年诺贝尔物理学奖。

所谓“磁电阻”，即有外加磁场时，材料的电阻随之改变。“巨磁电阻”，即外加磁场时，材料电阻发生巨大改变的现象，如下图。铁(Fe) 薄层——铬（Cr）薄层——铁(Fe)薄层的交替结构。导线中的自旋电子，穿过交替结构，产生电阻。

当没有外加磁场或弱磁场(下图a) 时，结构中的两个Fe薄层里的电子自旋，反向排列。这里顺带提一下，电子自旋的有序排列，正是磁铁形成的微观机制。在图a)里，左边的Fe层，自旋朝↑，从而磁铁N极朝上，S极朝下，右边的Fe层恰相反。这时，对于导线中的自旋为↑的电子，它感受到的总电阻为(R↑↑+R↑↓)，其中，R↑↑为自旋向上的电子遇到自旋也向上(即N极向上)的铁磁层产生的电阻；R↑↓为自旋向上的电阻，遇到自旋向下的铁磁层产生的电阻。

同理，对于导线里自旋向下的电子，其感受到的薄层的总电阻为(R↓↑+R↓↓)。其等效过程，见下图b)。把两路电子产生的电阻看作并联电阻，并且根据对称性，认为R↑↑= R↓↓=R大，R↓↑= R↑↓= R小。这样，该薄层结构的总电阻为
  （2）

图1-6 在外加弱磁场时，产生巨磁电阻效应的薄层结构a)以及等效的电阻示意图b)。

外加强磁场时，两个Fe薄层都被磁化，自旋都朝↑排列。如图1-7。对于导线中自旋为↑的电子，其产生的电阻为R↑↑+ R↑↑，而导线里自旋为↓的电子，产生的电阻为R↓↓+ R↓↓。并联后，总电阻为

  （3）

图1-7 在强磁场时，两个Fe薄层的自旋方向平行，即均为N极朝上，S极朝下。该薄层结构产生的总电阻，相当于导线中自旋为↑上的电子产生的电阻，与自旋为↓的电子产生的电阻的并联。

由于在数学上，调和平均值一定小于等于算术平均，我们有 
（4）

这样，我们证明了一个重要结论：由于电子的自旋，在铁磁薄层结构里，电阻随着外加磁场的增加而减小，见图1-8。

图1-8 巨磁电阻效应示意图。外加强磁场时，电阻很小，而且趋于恒定值；不加磁场时，电阻最大。

这和磁存储有何关系呢？由于计算机存储的是二进制”01110011”序列，巨磁电阻效应，使得磁场改变很小时，电阻发生很大的改变。从而可以发生很灵敏的电阻转换，在很小的空间范围内，高低电阻即对于数据“0”和“1”这存储的基本单元。由于巨磁电阻效应的空间灵敏度很高，同样大小的空间内可以有更多的存储单元存在，磁盘的容量也就变大了。

小结

三维空间只是描述坐标位置的空间，其他空间的存在却很难被意识到。也许平日里，上学回家，只时刻关注着自己的空间位置。我们从不关心自己带有多少动量。对于描述一个物理系统，三维实空间是远远不够的。动量空间就是一个例子。密闭容器里的气体，在实空间看来平淡无奇，密度均匀而已；但从动量空间看去，气体动量的分布呈一个简单的函数，从中可以知道气体很多其他性质，比如零速度的粒子是不存在的，比如在什么速率下粒子最多，还能知道温度性质。

动量空间也只是实空间以外的一个例子。物理的状态，就活在那些基础状态组成的态空间里。电子除了电荷以外的另一个性质，自旋就是如此。它是旋转，却和地球自转不像；它有两个输出结果，却和翻硬币不像；它分解为基础态的叠加，却和向量分解为分量也不像。自旋看似如此神秘，但是神奇的数学却可以描述它的全部性质。