高中数学选修1-1-33-导数在研究函数中的应用导学案及练习题3. 3. 2 利用导数研究函数的极值(一).doc

【学习要求】1.了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.
1.极值点与极值[来源:Z,xx,k.Com]
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 .
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 .

引言　“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？

探究点一　函数的极值与导数的关系
问题1　如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？

问题2　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
问题3　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明.
思考　 x k b 1 . c o m
函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有 个极小值点.

例1　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.

跟踪训练1　求函数f(x)＝＋3ln x的极值.

探究点二　利用函数极值确定参数的值
问题　已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？
例2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.

跟踪训练2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

探究点三　函数极值的综合应用
例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.

跟踪训练3　若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围.新课 标第 一 网

【达标检测】
1.“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列函数存在极值的是 (　　)
A.y＝ B.y＝x－ex C.y＝x3＋x2＋2x－3 D.y＝x3
3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为 (　　)
A.－1<a<2 B.－3<a<6 C.a<－1或a>2 D.a<－3或a>6
4.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________.
5.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________.

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