自重荷载.pdf

第25卷,第3期 中国铁道科学Vol125No132 0 0 4年6月 CHINA RAILWAY SCIENCEJune,2004文章编号:100124632(2004)0320067204自重荷载作用下悬索静力解析解张志国1,靳明君2,邹振祝2(11 哈尔滨工业大学 航天工程与力学系,黑龙江 哈尔滨 150001;2.石家庄铁道学院 土木分院,河北 石家庄 050043)摘 要:从悬索微元体平衡出发,分别推导以悬索张力分量、索长等为参变量,考虑和不考虑悬索自重集度变化的两种悬索解析式。通过比较发现,去掉悬索伸长影响项,就可直接由考虑悬索自重集度变化的解析式缩减到不考虑其变化的解析式。在用索长表达的解析式中,考虑悬索自重集度变化时对应无应力索长,不考虑悬索自重集度变化时对应有应力索长。算例假定斜拉索梁端张力的竖向分量为已知,按以上两种情况,分别建立以悬索张力的水平分量和塔端张力的竖向分量为未知数的非线性方程组,用拟牛顿法求解,得到悬索未知参数的精确解析解。关键词:悬索桥;悬索;悬链线;解析解;静力分析 中图分类号:TU351 文献标识码:A 收稿日期:2003205207 作者简介:张志国(1971),男,河北抚宁人,博士研究生,副研究员。基金项目:河北省自然科学基金资助项目(503626)1 引 言 随着大跨索桥的兴建以及计算手段的发展,悬索解析解一度成为工程研究与应用的热点。文献1采用笛卡尔坐标系下的悬链曲线解,通过索段递推循环法求解悬索桥主索的静力状态。文献2,3以斜拉桥为背景,推导了斜拉索有弹性和无弹性条件下的解析解,文献3还给出了以不同初始条件为未知量的求解方法,文献4给出了计算示例。在索桥静力设计中,应用悬链线理论或考虑索弹性影响已不存在着什么困难。但是笔者在对悬索静力解进行推导的过程中,发现存在以下问题:(1)一般都将悬链线理论称作精确解,实际上这是与传统抛物线理论相比而得出的结果,因为悬链线理论未考虑悬索自重集度的变化,所以它并不是真正意义上的悬索精确解;(2)尽管文献2,3推导了无弹性和有弹性斜拉索的静力解,但是由于公式的表达参数不同,并且比较复杂,所以很难从公式本身考察其差别,也就没能对其关系进行详细阐述,只是给出了应用求解思路。鉴于此,本文从悬索微元体平衡出发,分别以参数u(shu=dy/dx)、悬索张力分量、索长为参变量,推导了考虑和不考虑悬索自重集度变化的悬索解析式,并对两种情况解析解间的关系进行阐述,进一步澄清这些概念,以便工程设计人员理解和应用。2 自重荷载集度恒定的悬索静力解 高差为h的悬索AB受力简图及其坐标系如图1和图2所示。图2中的H为悬索水平张力。图1 悬索及坐标系图2 悬索微段受力示意图 假设:(1)悬索绝对柔性,即任一截面只能承受拉力,不能承受弯矩;(2)悬索材料服从虎克定律,即悬索材料的应力应变关系是线弹性的;(3)悬索仅受沿弧长均匀分布的自重荷载q,且假设荷载集度不随索长变化而改变,即q=常数。考虑悬索微元体的力学平衡,得:X=0,H+dH-H=0(1)Y=0,Hdydx+dHdydx-Hdydx+qds=0(2)由(1)得,H=常量,说明仅受竖向力作用时,悬索拉力的水平分量处处相等。由(2)得:d2ydx2=-1Hqdsdx(3)这便是此悬索的力学微分方程。利用弧微分公式:ds=1+(y)2dx,微分方程(3)可写为:d2ydx2=-qH1+(y)2 假设c=-H/q,y=shu,代回上式化简后得:dx=cdu(4)积分上式,得x=c(u+D1)(5)由假设得dy=shudx=cshudu(6)积分上式,得y=c(chu+D2)(7)将y=shu和(4)式代入弧微分公式,得:ds=chucdu(8)积分上式,得索长s=c(shu+D3)(9)悬索张力:T=H1+(y)2=Hchu(10)垂度:f=c(chu+D2)-xh/l(11)令df/dx=0,得u=arsh(h/l),最大垂度:fmax=c1+(h/l)2+D2-carsh(h/l)+D1 h/l(12)其中,D1,D2,D3为积分常数,u为引入的参变量。下面引入边界条件,将以上公式显化。假设悬索在端点A处的张力为TA,竖直分量为VA,在端点B处的张力为TB,竖直分量为VB,在中间任意一点的张力为T,竖直分量为V。则:dy/dx=shu=V/H。边界条件:当x=0时,y=0,s=0,shu0=VA/H,分别代入式(5)、式(7)、式(9),得:D1=-arsh(VA/H),D2=-1+(VA/H)2,D3=-VA/H。代回得以悬索张力分量为参量的表达式:x=HqarshVAH-arshVH(13)y=Hq1+VAH2-1+VH2(14)s=(VA-V)/q(15)由式(15)得V=VA-qs,代入式(13)、(14)得:x=HqarshVAH-arshVA-qsH(16)y=Hq1+VAH2-1+VA-qsH2(17)式(16)、(17)是以索端张力水平分量H、竖直分量VA和索长s为参量的表达式,由推导过程可知:自重荷载集度q应为悬索伸长后的,索长s应为有应力的。本节公式是悬链线理论的参数表达形式,可以被转换到直角坐标系下。当悬索支点位置确定后,索的状态只要一个独立变量就可以确定下来。该独立变量可以选择索端张力(或竖直分量或水平分量)、索端切线斜率、索长、索上任意一点坐标。比如在斜拉索设计中经常已知索B端张力的竖直分量VB,则可由边界条件x=l,y=h,V=VB,根据公式(13)、(14)建立以H和VA为未知数的非线性方程组求解,然后可由相关公式确定悬索所有特征量,如垂度、索长、斜率等。例11 某斜拉索4,5水平距离l=2101925 m,高差h=1101485 m,单位长度重量q=79175 kgm-1,梁端张力竖向分量VB=2283146 kN。由式(13)、(14),以H和VA为未知数,采用拟牛顿法求解非线性方程组,计算中采用双精度。计算结果:塔端张力TA=5 1651093 2 kN,索长s=2381120 11 m,塔端切线斜率tgA=01544 381,梁端切线斜率tgB=01503 358。检验塔端不平衡力,发现其精度在10-15kN以上。因此,可认为得到的是精确解,同时证明了本文求解方法的优越性。本文结果与文献4的计算结果很接近,可以相互印证,同时发现文献5的误差较大,塔端张力误差达21816 kN,说明求解方法不同,可能导致较大的误差,这一点在设计中应引起注意。86中 国 铁 道 科 学 第25卷3 考虑自重荷载集度变化的悬索静力解 上述推导中,假设悬索自重荷载集度恒定,但实际中悬索在无应力状态下由于自重荷载的作用,悬索伸长,截面面积缩小,自重荷载集度由q0减小到q。下面推导考虑这一变化的悬索静力解。假设悬索在不受力状态下的截面面积为A0,沿弧长的自重荷载集度为q0;悬索在承受自重荷载伸长后,截面面积为A,沿弧长的自重荷载集度为q。如图1取有应力状态下索微段长为ds,对应的无应力索微段为ds0,设E为索材弹性模量,则由虎克定律有:ds=1+T/(EA0)ds0(18)根据质量守恒定律,受力前后悬索微段质量保持不变,则有:q0ds0=qds(19)由式(18)和式(19),得:q=q0/1+T/(EA0)(20)取悬索微元体分析,建立的平衡方程与(1)、(2)两式相同,所以同样得出张力的水平分量处处相等,不同之处是悬索自重荷载集度q,并非为常数,而应由式(20)给出,其中q0为常数。将式(20)代入式(3),得:d2yd2x=-q0H1+T/(EA0)dsdx(21)代入张力T和弧微分ds,令c=-H/q0,=H/EA0,dy/dx=shu,得:dx=c(1+chu)du(22)积分上式,得:x=c(u+chu+D1)(23)又 dy=shudx=c(1+chu)shudu(24)积分(24)得:y=cchu+(chu2)/u+D2(25)弧微分:ds=chudx=c(1+chu)chudu(26)积分(26)式,得悬索有应力长:s=cshu+(u+chushu)/2+D3(27)悬索张力:T=H1+(dy/dx)2=Hchu(28)由式(18)和式(26),得索微段无应力长:ds0=ds1+T/(EA0)=cchudu(29)积分式(29),得悬索无应力长:s0=c(shu+D4)(30)垂度:f=cchu+(ch2u)/2+D2-hx/l(31)令df/dx=0,得u=arsh(h/l),最大垂度:fmax=c1+(h/l)2+1+(h/l)2/2+D2-carsh(h/l)+h/l+D1 h/l(32)考虑边界条件:当x=0时,y=0,s=0,s0=0,shu0=VA/H,求解过程同上节,得D1,D2,D3和D4这四个积分常数,代回式(23)、式(25)、式(27)和式(30)整理后,得:x=Hq0VA-VEA0+arshVAH-arshVH(33)y=V2A-V22q0EA0+Hq01+VAH2-1+VH2(34)s=VA-Vq0-H22q0EA0arshVH-arshVAH+VH1+VH2-VAH1+VAH2(35)s0=(VA-V)/q0(36)由式(36),得V=VA-q0s0,代回式(33)、式(34)和式(35)可以得到由VA,H和s0为参量表达的坐标和索长。本节公式是悬索精确解析解,不能被转换到直角坐标系下,只能用参数形式表达。同前,已知一个独立变量,即可确定悬索各特征量,比如给定支点B(l,h)以及该点处悬索张力的竖向分量VB,可联立式(33)和式(34),以H和VA为未知数求解。例21 仍考虑前例中的斜拉索,索的截面积为A0=01011 m2,弹性模量E=200 GPa,联立式(33)和式(34),采用与前例相同的方法求解,得到塔端张力TA=5 1641527 1 kN,由式(36)得索无应力长s0=2371567 07 m,由式(35)得索有应力长s=2381120 06 m,塔端切线斜率tgA=01544 335,梁端切线斜率tgB=01503 403。计算中仍采用双精度,检验塔端不平衡力,发现其精度同前例。因此可认为得到的解为精确解。与前节方法相比,发现塔端张力减少了01566 1 kN;用该法计算的有应力索长比前节方法减少了0105 mm,可以认为相同,说明前节方法中索长应为有应力长,与推导结论相符。文献4对斜拉索考虑弹性的96第3期 自重荷载作用下悬索静力解析解无应力索长与不考虑弹性的有应力索长进行比较后,认为不考虑弹性时的误差较大,而本文计算表明,两种模式得到的无应力索长相同。同时也说明只要计算方法适合,一般情况对斜拉索不计索弹性对其自重的影响能够满足工程精度要求。4 结 论1)在参数u(shu=dy/dx)、主缆张力分量表达的悬索坐标方程中,分别去掉含、EA0各项,即可直接由考虑悬索自重集度变化的计算公式缩减到不考虑其变化的计算公式。在索长表达式中,考虑其变化时为无应力索长,不考虑其变化时为有应力索长,这一结论与算例结果相吻合。2)在悬索状态求解中,可以选支点张力、支点处切线斜率或其它参量为未知数,也可以选取不同的计算方法及迭代形式,但要注意计算方式不同可能影响到结果的计算精度。一般情况采用悬链线理论计算精度已能满足工程要求。3)本文以张力分量为未知数,采用拟牛顿法求解非线性方程组,通用性强,求解精度高,收敛速度快,很适合程序计算。4)本文公式可以用于悬索桥、斜拉桥以及其它索结构的计算分析,同时,应用本文的参数求解过程,还可以解决悬索桥成桥状态主缆线形及索长的计算。参考文献1 沈锐利.悬索桥主缆系统设计及架设计算方法研究J.土木工程学报,1996,29(2):39.2 李强兴.斜拉索静力解J.桥梁建设,1996,(3):2125.3 魏建东,车惠民.斜拉索静力解及其应用J.西南交通大学学报,1998,33(5):539543.4 魏建东,赵人达,车惠民.斜拉桥中拉索的静力设计J.桥梁建设,1999(2):2123.5 程 纬,易伟建,刘光栋.斜拉桥柔性索形线形分析及快速迭代计算方法J.公路,1998(6):811.Static Solution of Suspension Cables under Tare LoadZHANG Zhi2guo1,J IN Ming2jun2,ZOU Zhen2zhu2(1.Department of Astronautics Engineering and Mechanics,Harbin University of Technology,Harbin Heilongjiang150001,China;2.School of Civil Engineering,Shijiazhuang Railway Institute,Shijiazhuang Hebei050043,China)Abstract:From the static equilibrium condition of the cable element,the analytical solutions of suspension ca2bles are derived,both when the influence of its elongation on its weight per unit length is consider and not con2sidered.By comparison,it is found that if the cable elongation is not considered,the formula of considering theinfluence can be reduced to that of not considering the influence.In the solution expressed with cable length,thecase that considers the influence corresponds to the unstressed cable length;the case that does not consider theinfluence corresponds to the stressed cable length.Provided that the vertical component of cable tension at theattachment of deck is given,according to the above two cases,with the unknown quantities of the horizontalcomponent of the cable tension and the vertical component at the tower attachment,two groups of nonlinear e2quations are established respectively.The quasi2Newton method is used to solve the solution.Key words:Cable bridge;Suspension cable;Suspension link line;Analytical solution,Analysis of static force(责任编辑 吴 彬)07中 国 铁 道 科 学 第25卷