竖直平面内圆周运动的临界问题及应用.doc

高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析
五、竖直平面内的圆周运动
版权所有 河南省睢县高级中学 李仲旭 电话：[phone] 邮箱：lizhx.888@
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竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型.
一、两种模型
模型1：“轻绳类”

图1 图2
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，
(2)小球能通过最高点的条件：，当时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.
(3)小球不能过最高点的条件：，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.
模型2：“轻杆类”

图3 图4
有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)：
(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度
(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
①当时，轻杆对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即；
②当时，因,则.
轻杆对小球的支持力竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是．

图5
③当时，；
④当时，则，即，
杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.
小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度≠(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的换成，若在其他天体上则把换成.
二、两种模型的应用
【例1】如图5所示，质量为的小球从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点而做圆周运动，问点的高度至少应为多少?

图6
【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是，根据机械能守恒定律得
把代入上式得：．
【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电、质量为且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点而做圆周运动，问点的高度至少应为多少?
【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点受到三个力作用:电场力，方向竖直向上；重力；弹力，方向竖直向下．由向心力公式，有
要使小球恰能通过圆形轨道的最高点而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率为临界速度，临界条件是．由此可列出小球的临界状态方程为 ①
根据动能定理，有 ②
解之得：
说明 把②式中的换成，较容易求出
【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电、质量为且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点而做圆周运动，问点的高度至少应为多少?
【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率为临界速度，临界条件是．由此可列出小球的临界状态方程为： ①
根据动能定理，有 ②
由上述二式解得：
小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度减小，例3中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度增大．
例2中，；
例3中，．
把代入各自对应的式子，结果、分别都约去了，故．
【例4】如图7所示，一个带正电、质量为的电荷，
图7
从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点的高度至少应为多少?
【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，说明小球此时处于临界状态，其速率为临界速率，临界条件是，由此可列出小球的临界状态方程为
①
， ②
由①式可得:
因只能取正值，即
则
【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电、质量为的电荷，从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨道的最高点(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点的高度至少应为多少?

图 8
【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，说明小球此时处于临界状态，其速率为临界速率，临界条件是，由此可列出小球的临界状态方程为 ①
②
由①式可得:
因只能取正值，即

则
小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是．

图 9
【例6】如图9所示，为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中段是水平的，段为半径的半圆，两段轨道相切于点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小.一不带电的绝缘小球甲，以速度沿水平轨道向右运动，与静止在点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为，乙所带电荷量，取.(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点，求乙在轨道上的首次落点到点的距离；
（2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度；
（3）若甲仍以速度向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到点的距离范围.
【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为，乙离开点到达水平轨道的时间为，乙的落点到点的距离为，则
① ②
③
联立①②③得
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为、，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
④
⑤
联立④⑤得 ⑥
由动能定理，得 ⑦
联立①⑥⑦得 ⑧
（3）设甲的质量为，碰撞后甲、乙的速度分别为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
⑨
⑩
联立⑨⑩得
由和，可得
设乙球过点时速度为，由动能定理得

联立⑧得
设乙在水平轨道上的落点距点的距离，有

图 10
联立②得：
【例7】如图10所示，杆长为，一端固定一质量为的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动．求：
(1)小球在最高点的速度为多少时，才能使杆和小球的作用力为零?
(2)小球在最高点时，杆对小球的作用力为拉力和推力时的临界速度分别是多少?
(3)若，，，则在最高点和最低点，杆对小球的作用力多大?
【解析】此题属于“轻杆类”．若杆和小球之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供，根据牛顿第二定律，有：
解得
(2)若小球在最高点时，受拉力，受力如图11所示，由牛顿第二定律，有:

图11 图12
解得
若小球在最高点时，受推力，受力如图12所示，由牛顿第二定律，有:
解得：
可见是杆对小球的作用力在推力和拉力之间突变的临界速度．
(3)杆长时，临界速度，
，杆对小球有推力，有，则．由至只有重力做功，机械能守恒．设点所处水平面为参考平面,则,
解得．
在最低点，小球受拉力，由
解得．
【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道部分平直，部分是处于竖直平面内半径为的半圆，圆管截面半径，有质量为、半径比略小的光滑小球以水平初速度度射入圆管.
(1)若要小球能从端出来，初速多大?
(2)在小球从端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度各应满足什么条件?

图13
【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”．
(1)小球恰好能到达最高点的条件是，由机械能守恒，初速度应满足：，即．
要使小球能从端出来，需，所以入射速度．
(2)在小球从端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况：
①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即
.
由机械能守恒定律，知
联立解得:
②对下管壁有压力，应有，相应的入射速度应满足．
③对上管壁有压力，此时应有，相应的入射速度应满足
小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度.

图 14
【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径(比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球，质量分别为，沿环形管顺时针运动，当球运动到最低点时，速度为，球恰到最高点，若要此时圆管的合力为零，的速度为多大？
【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”．在最低点对球进行受力分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有
图15 图16

由牛顿第三定律，球对管有向下的压力，根据题意,即球对对管有向上的压力，球受力情况，如图16所示，由牛顿第三定律，管对球有向下的压力,，对球应用牛顿第二定律，有：,由于
联立可得
三、小球在凸、凹半球上运动
如图17所示，小球在凸半球上最高点运动时：
(1)当，小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点．
(2)当，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动．

图17 图18

图19
(3)当，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动．
如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要即可．
由以上分析可知，通过凸(或凹)半球最高点(或最低点)的临界条件是小球速度(或)．
【例10】如图19所示，汽车质量为，以不变速率通过凸形路面，路面半径为，若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少?若汽车达到临界速度时将做何种运动?水平运动位移为多少?
【解析】(1)此题属于“轻绳类”，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力，则汽车不脱离最高点的临界速度为，则有：，可得；
(2)当时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度，故做平抛运动，则
，,可得:．

图 20
【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离后落地，如图20所示．已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为，重力加速度为．忽略手的运动半径和空气阻力．
（1）求绳断时球的速度大小和球落地时的速度大小．
（2）问绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
【解析】（1）设绳断后球飞行时间为，由平抛运动规律，有：竖直方向
水平方向 ，得：
由机械能守恒定律，有：，得：
（2）设绳能承受的最大拉力为，这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径为
由向心力公式，有，解得
（3）设绳长为，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大拉力不变，
有，得
绳断后球做平抛运动，竖直位移为，水平位移为，时间为，有：，
得：，
当时，有极大值
总结 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类，“轻绳”只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点对物体拉力为零是临界条件，即；在最高点，“轻杆”对物体既可以产生拉力，也可以产生支持力，还可以对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是临界条件，即．
在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定要区分“几何最高点”与“力学最高点”不一定是对应的，上面总结的“轻绳类"和“轻杆类”规律必须是“力学最高点”．