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电子摆线波的发现及与量子化的关系
张宏

[摘要] 假设电子存在着一种与波相关的圆运动，并且圆运动的半径为R，圆运动所展现的波长为λ。发现λ与R的这种对应关系可以符合摆线波，这是一个很有趣也很有意义的新发现。一个摆线波是一个拱，拱长为2πR，与之所对应的是一个正弦波的一半，正弦波的半波长为2πR 。摆线波比表示电子出现几率的正弦波的平方之波（驻波）更能真实体现电子的运动形式。
以电子摆线波为出发点，发现可以很好的解释量子力学的一维无限深势阱，并可以很容易的得出电子的一些有趣的轨迹。进一步还能利用电子摆线波初步解释线性谐振子、轨道量子化、核外电子排布规律以及电子自旋。把电子的摆线运动当成是一种机械运动，进行动量与能量的分析，从而非常有趣的以经典力学的方法推导出了一系列量子化的结果，并与目前量子力学的结论基本符合。
[关键词] 摆线波，摇旋。
The electron cycloid wave discovery reaches the relationship against the quantization
Zhang hong
[Abstract] In case the electron is one kind of circular movement being mutually related against the wave ，Moreover the circular movement radius is R ，The wavelength that the circular movement opens out is λ。Discovery λThis kind of homologous relationship against R may accord with the cycloid wave ，This is the very fascinating fresh discovery also highly significant 。Cycloid wave is a Gong ，The Gong develops in the interest of 2 πR，Against the correspondence is a sine wave in part ，The half-wave length of sine wave is 2 πR 。The electron of cycloid wave than expresss has ariseed probability sine wave square the wave （Standing wave ）The electron movement shape still more be able to truly display 。
Takes the electron cycloid wave as the point of departure ，The discovery may be very good interpretation quantum mechanics limitless deep well potential of dimension ，Moreover may be very easy yield electron some fascinating locuss 。More still be able to utilize the electron cycloid wave to expound linear resonance child initially 、Trajectory quantization 、Fibaric regular pattern along with electron spin are putd in order to the electron outside nucleus 。Takeing as the electron cycloid movement is one kind of mechanical movement ，Carry on the analysis against the energy of momentum ，Thereby the a series of quantizations results was come out in the very much fascinating means derivation with classical mechanics ，Moreover against quantum mechanics
[Key word] Cycloid wave，Waving circles
一、 利用正弦波的平方与内摆线拱形波来描述原子中的电子。
1924年，法国青年物理学家德布罗意提出不仅辐射具有波、粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。他把辐射的频率、波长与光子的能量、动量的关系E=hr，P=hr/c=h/λ，引伸到实物粒子，认为质量为m，速度为v的粒子，就有相应的波长λ和频率r，关系式为：
E=mc2=hr ------------------（1）
P=mv=h/λ -----------------（2）
（1）式和（2）式也等价于下面的式子：
P=E/c=mc=mv=hr/c=h/λ ------（3）
从（3）式可知，c=v，这是一个自相矛盾的结果。其实在（1）式和（2）式中，隐含着更深一层的实物粒子运动的几何与物理意义，仅仅靠波粒二象性与量子力学是无法揭示其隐含意义的。
做摇旋运动的电子沿着一个圆圈做圆运动，电子的运动速度就是圆运动的线速度v，因此电子的动量为mv。设电子圆运动（摇旋运动）的半径为R，则电子圆运动（摇旋运动）的角动量为mvR，电子摇旋运动的角动量是一个恒量，即mvR=ћ。这样的摇旋运动所对应的波长λ与半径R的关系是怎样的呢？从（2）式以及mvR=ћ可以导出：
mv=h/λ=2πћ/λ=2πmvR/λ
消去mv，得：
λ=2πR -------------------（4）
式（1）与式（2）所隐含的意义在式（4）中得到体现。式（4）意味着，电子存在着一种与波相关的圆运动，并且圆运动的半径为R，圆运动所展现的波长为λ。在量子力学中，把电子几率波用正弦波的平方（这是一个驻波）来表示，但却没有明确说明表示电子出现几率的正弦波的平方之波的振幅与波长的关系。假如我们认定表示电子出现几率的正弦波的平方之波的振幅就是电子圆运动的半径R，而波长是λ，则这种电子摇旋运动与波的对应关系就非常明了直观了。式（4）还意味着λ与R的这种对应关系正是摆线波的对应关系，这是一个很有趣也很有意义的新发现。一个摆线波是一个拱，拱长为2πR，与之所对应的是一个正弦波的一半，正弦波的半波长为2πR 。摆线波比表示电子出现几率的正弦波的平方之波（驻波）更能真实体现电子的运动形式。正弦波的平方之波存在平滑的渐进线，而摆线波是转折分明的，不存在平滑的渐进线。之所以量子力学能够利用表示电子出现几率的正弦波的平方之波（驻波）的波函数得出正确的解，就是因为它与真实体现电子运动形式的摆线波非常近似。
二、 一维无限深势阱与原子中电子环路分布的轨迹。
一维无限深势阱在量子力学中表示的是在一维空间中粒子的波函数分布与几率分布，其中几率分布以正弦波平方之波来表示。它的直观意义就是指在一条直线段上如何分布若干个完整的正弦波形或正弦波平方之波的波形。正弦波平方之波与摆线波是非常近似的，因此两者之间是可以互相代替的。一维无限深势阱的从-a到+a的这条直线段，就对应于在原子电势场作用下,原子的某一圈电子轨道,这是一个由一条闭合等势线所构成的环形路径。从-a到+a的这条直线段就变成周长为2a的环形路径。因此讨论摆线波在环形路径上的环路分布可以帮助我们深入直观的分析电子在圆轨道上的运动轨迹。圆轨道上的电子所留下的轨迹是一个内摆线拱形波，电子就处于圆圈形的摇旋之轮上的某一个固定点。如图1所示：轨迹一，当电子的原子轨道周长等于电子的摇旋周长时，电子的运动轨迹与原子轨道和摇旋之圆是重合的。轨迹二，当电子的原子轨道周长等于电子的摇旋周长的二倍时，根据几何学中关于内摆线参数方程的知识，电子的运动轨迹就是一根长度为原子轨道直径的直线段，电子在这条直线段上往复运动。轨迹三，当电子的原子轨道周长等于电子的摇旋周长的三倍时，根据几何学中关于内摆线参数方程的知识，电子的运动轨迹就是三尖点星形线，其形状很接近一个正三角形。轨迹四，当电子的原子轨道周长等于电子的摇旋周长的四倍时，根据几何学中关于内摆线参数方程的知识，电子的运动轨迹就是四尖点星形线。轨迹五，当电子的原子轨道周长等于电子的摇旋周长的五倍时，根据几何学中关于内摆线参数方程的知识，电子的运动轨迹就是五尖点星形线。

注：r1为摇旋半径；r2为轨道半径；
r3为平动半径。
Notes ：The r1 circles the radius in 注：r1为摇旋半径；r20为轨道基态半径；
the interest of waving ； r21为第二层的轨道半径；
The r2 act as the trajectory radius ； r22为第三层的轨道半径；
r3 is in the interest of suppresss r23为第四层的轨道半径；
the radius 。 r24为第五层的轨道半径。
Notes ：The r1 circles the radius in the interest of waving ；The r20 act as the trajectory ground state radius ；r21 act as second tier the trajectory radius ；r22 act as third tier the trajectory radius ；r23 act as 4th tier the trajectory radius ；r24 act as 5th tier the trajectory radius 。
图1 图2
三、线性谐振子与原子中电子的径向分布。
前面所讨论的一维无限深势阱中的电子的势能是零或者说是不变的，即在环形等势线上势能相等的电子如何进行排布。而线性谐振子所讨论的电子的势能是变化的，即电子在距原子核不同距离的各点处的势能与动能随着径向长度或者说半径的变化而变化。在量子力学中，一维线性谐振子的势能表达式为E2=1/2mω2x2 ，其中ω在弹簧振子中表示弹性系数，x表示位移量。对应于原子系统，则是把电子作为一个线性谐振子，ω2表示电子轨道运动的角速度，r2表示电子轨道运动的半径，表达式如下：
E2=1/2mω22r22------------------------- （1）
前面讨论过，电子的轨道运动轨迹是内摆线拱形波，是电子摇旋之轮在圆形轨道的内侧滚动时所留下的轨迹。由于这时所讨论的电子不是轨道运动的圆线上的一个质点，而是摇旋之轮边缘的圆线上的一个质点，而摇旋之轮又在轨道大圆的内侧滚动，因此就存在与轨道运动有关的两个半径，如图1所示。
已知从原子核到轨道圆运动的轨道大圆的距离为r2，从原子核到摇旋之轮的中心点的距离为r3。在计算摇旋之轮与轨道大圆的切点处的动能时，要用到r2 ，这个动能不是电子相对于原子核的轨道动能，而应该当作轨道大圆的线性谐振子势能。这里必须明确一个易混淆的地方，即轨道大圆上的线性谐振子势能等于电子在该点处的动能，
E2=（1/2）mω22r22=（1/2）mv22 -------------------（2）
而轨道大圆上的质点的离心力势能EC等于电子在该点处的动能的二倍，
EC=（mv22/r）r=mv22=2（1/2mv22）----------（3）
在计算整个摇旋之轮的质心相对于原子核的圆周运动的动能即线性谐振子动能时，则要用到平动半径r3 ，设平动动能为E3 ，
r3=r2-r1---------------------------------（4）
E3=（1/2）mω22r32=（1/2）mω22（r2-r1）2---------（5）
由于摇旋之轮在轨道大圆的内侧滚动，因此摇旋之轮在轨道大圆上的前进方向与摇旋之轮的转动方向相反。因此整个内摆线运动系统的总能量是线性谐振子的势能与动能之差，
E=E2-E3=（1/2）mω22r22-（1/2）mω22（r2-r1）2---（6）
按照前面从轨迹一到轨迹五的讨论，轨道大圆的周长不是连续变化的，而必须是摇旋之轮的周长的整数倍。即2πr2=n2πr1 ，因此有，
r2=nr1 （n=1，2，---，n）------------（7）
或 r2=（n+1）r1 （n=0，1，2，---，n）---------（8）
这种轨道周长的量子化变化及相应的轨道半径的量子化变化最终导致了轨道能量的量子化变化，这就是电子轨道能量量子化的根本原因。把（8）式代入（6）式，则，
E=（n+1/2）mω22r12 （n=0，1，2，---，n）---（9）
把（7）式代入（6）式，则，
E=（n-1/2）mω22r12 （n=1，2，---，n）-----（10）
在所有的量子力学的教科书的关于线性谐振子的章节中，在讨论线性谐振子的能量时，都把表达式E2=1/2mω2x2 中的ω当作一个象弹性系数一样的不变量，对应于式（9）中的ω2为定值。根据式（7）或（8），我们还可以假设r1为定值。这样由ω2和r1为定值这两个条件，我们就得到了内摆线系统的模式一，如图2所示。在内摆线系统的模式一中，摇旋之轮的大小不变。假设在基态n=0时的角动量为ћ，这时的轨道大圆与摇旋之轮是重合的，ω2=ω10 ，r20=r1 ，因此，
ћ=mv20r20=mv10r1=mω2r12----------------（11）
把式（11）代入式（9）得，
E=（n+1/2）ћω2 -----------------------------（12）
式（12）与教科书中的线性谐振子能级表达式（13）是完全一致的。
En=（n+1/2）ћω，n=0，1，2，---.--------------（13）
至此，我们应该充分相信，仅仅借助简单的几何与经典物理的方法就完全可以得出线性谐振子的能级的量子化结果。量子力学借助于复杂的数学方程来逼近真实的量子化结果，在不明其义的情况下就取得了巨大的成功，这是非常令人惊叹的，但所使用的数学手段的复杂程度却让所有对物理学有兴趣的普通人望而生畏。不过从现在开始，电子摆线波的发现将推动量子力学回归到经典力学当中去。
把线性谐振子的薛定谔方程的函数ψ消去，就得到式（14），
（ћ2/2m）▽2+E-（1/2）mω2x2=0----------（14）
式（14）等价于式（15），
（ћ2/2m）▽2+E-（1/2）mω22r22=0-----（15）
把式（8）、（11）与（12）代入式（15），就得到了算符▽的表达式（16），
▽=n/r1-----------------------------（16）
式（16）明确表明了算符▽的几何与经典物理意义。
对于内摆线系统的总能量，我们也可以用经典力学中平面运动刚体的动能表达式来直接计算。电子相当于摇旋之轮边缘上的一个质点，因此电子是绕摇旋之轮的中心旋转的，其动能为，
E1=（1/2）mv12----------------------（17）
也可以认为电子的质量是均匀分布在摇旋之轮的边缘上的，这样摇旋之轮就是一个细圆环。设均质细圆环的转动惯量是J，细圆环半径即摇旋半径，为r1 ，则按照力学理论，
J=mr12--------------------------------（18）
细圆环的转动动能即摇旋动能，为E1 ,细圆环的转动角速度为ω1 ，则按照力学理论，
E1=（1/2）Jω12=（1/2）mr12ω12=（1/2）mv12---（19）
显然，式（17）与（19）说明，两种理解与计算方式是可以相互替换的。
按照力学理论，平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。除了摇旋之轮绕自身的质心转动外，另一方面整个摇旋之轮还随同自身的质心绕轨道大圆运动，这相当于整个摇旋之轮随同自身的质心的平动，设平动速度为v3 ，平动动能为E3 ，则，
E3=（1/2）mv32----------------------（20）
由于摇旋之轮的自转方向与在轨道大圆内侧的滚动方向是相反的，即摇旋线速度与轨道线速度的绝对值相等而方向相反，则，
v2=-v1------------------------------（21）
设E1和E3都仅代表绝对值的大小，则，
E=E1-E3--------------------------（22）
=（1/2）mv12-（1/2）mv32
=（1/2）mv12-（1/2）mv32
=（1/2）mω22r22-（1/2）mω22（r2-r1）2
=（n+1/2）ћω2
式（22）的计算结果与教科书中的线性谐振子能级表达式（13）是完全一致的。
注意到式（22）中没有涉及到势能项，其实E1就相当于E2 。
从下面两式的对应项可以明显理解线性谐振子的薛定谔方程的几何与经典物理意义。
（ћ2/2m）▽2+E -（1/2）mω2x2=0-------------（14）
E3 +E – E1 =0-------------（22）
在模式一中，是假设ω2与r1为定值，共有两个定值。下面我们建立符合原子内电子运动真实情况的模式二。在模式二中，假设摇旋角动量L1是定值ћ，并且只有这一个定值。另外与模式一相同的假设是式（7）与（21）。把这三个假设联立如下：
r2=nr1 （n=1，2，---，n）------------（7）
v2=-v1-------------------------------------（21）
L1=|mv1r1|=|mv2r1|=ћ------------------------（23）
由式（7）与（21），得，
ω2=v2/r2=v1/r2=v1/nr1=（1/n）ω1--------（24）
把式（7）、（23）与（24）代入式（22），得，
E=E1-E3
=（1/2）mω22r22-（1/2）mω22（r2-r1）2
=（1/2）mω12r12-（1/2）m（1/n2）ω12（nr1-r1）2
=（1/2）ћω1-（1/2）ћω1（n-1）2/n2--------（25）
对于基态氢原子，轨道大圆半径就是基态摇旋半径r10，电子所受库仑引力为，
mv102/r10=e2/（4πε0r102）-------------------（26）
对于基态氢原子，式（23）变为，
mv10r10=ћ-----------------------------------（27）
把式（27）代入式（26），消去v10就能得出r10 ，
r10=ε0h2/（πme2）-------------------------------（28）
电子摇旋之轮在轨道大圆内侧的内摆线运动还存在一个下一级的完全相同且同步的分形模式，即电子桨旋之轮在摇旋之轮边缘的内侧滚动。当在氢原子基态时，桨旋之轮的半径r0与摇旋之轮的半径r10还有轨道大圆的半径r20都是相同的，即，
r20 =r10=r0 ------------------------------------（29）
式（29）说明，在氢原子基态的电子运动是三圆合一的。当电子向下一个紧挨着的能级跃迁时，摇旋之轮将从原来的只能刚好容纳一个桨旋电子向只能刚好容纳两个桨旋电子变化，即摇旋周长与半径都增大为原来的二倍。而轨道大圆也同时从原来的只能刚好容纳一个摇旋之轮向只能刚好容纳两个摇旋之轮变化，即轨道大圆周长与半径都增大为原来的二倍。因此有，
r2 =nr1=n2r0=n2r10-------------------------------（30）
式（30）告诉我们，量子化现象存在同步分形结构。
展开式（23），得到ω1 ，
ћ=mv1r1=mω1r12
ω1=ћ/（mr12）-----------------------------------（31）
把式（28）和（30）代入式（31），得，
ω1=ћ/（n2mr102）=πme4/（2n2ε02h3）--------------（32）
把式（32）代入式（25），得，
E=（1/2）ћω1-（1/2）ћω1（n-1）/n2
=（1/n2）me4/（8ε02h2）-[（1/n2）me4/（8ε02h2）]（n-1）2/n2--（33）
（33）式的第一项是摇旋动能或轨道大圆动能，也可以称为线性谐振子势能。（33）式的第二项是摇旋的平动动能。
原子发射和吸收光子的频率只与（33）式的第一项有关，称第一项为光谱项，能量为En，则，
En=E1=E2=（1/n2）me4/（8ε02h2）--------------（34）
式（34）与玻尔氢原子理论的结果是完全一致的。

四 、波函数解与原子中电子的经纬分布。
进入纬度圈的电子将与磁弦一起绕球壳的旋转轴心做进动，如图3所示。

图3 图4
在第n个壳层的赤道圈上，最多只能容纳n个电子。在赤道圈的相临两边的纬度圈上，各能最多容纳（n-1）个电子。依次类推。在两极的地方各只能容纳一个电子。因此一个球壳所能容纳的最多电子数为，1+2+3+---+n+（n-1）+（n-2）+---+3+2+1=n2 。而所有原子内部总共存在两个涡旋方向相反的壳球，因此第n个壳层所能容纳的最多电子数为2n2个，这与现代物理学的结果完全相同。由于原子核的精细结构类似基因长链，并且原子核的正电荷是分布在原子核链的两个端点上，因此当原子核带一个以上正电荷时，线性原子核的正电荷就分布在一根直线段的两端。基于核电荷的这种分布方式以及原子总自旋应尽量保持为零的考虑，可以认定在原子内部总共存在两个涡旋方向相反的球壳，如图4所示。
当原子不与周围任何原子产生化学键时，其自身电子的组合形式为动态组合，即壳球的纬向分布组合。如果一定硬要按照原来的spdf组合进行分类的话，则可以这样分配。如图5所示。

图5
五、自旋磁量子数。
磁场由很多根磁力线组成并因磁力线而产生磁力，而一根磁力线由至少两根磁弦扭结而成。由于电子本身并不发出任何磁弦，因此电子的摇旋本身不可能产生任何磁矩。原子核会向两端发射出磁弦，但是仅仅如此，原子也不会产生任何磁矩。因为形成磁矩的条件是，磁弦必须发生扭结并形成闭合回路，发生扭结并因此形成闭合回路的磁弦就叫磁力线。只有当电子从自身内部向外激发出涡旋以太流时，才会搅动磁弦扭结并形成闭合回路。但是处于摇旋运动和轨道运动的电子是处于以太流过渡层保护膜之内的，其涡旋能量并不向外发散。只有当电子的摇旋轴心的方向发生改变时，电子才会向外激发出少部分涡旋以太能量。被原子核发出的磁弦吸附的电子因磁弦扭应力的释放而产生的扭旋是可以使电子向外激发出少部分涡旋以太能量的，这时的磁矩值应与电子向外激发的涡旋角动量成正比，比例系数为e/m 。根据物理学中对转动惯量的计算方法，电子摇旋之轮以平行于摇旋平面的一个轴进行扭旋时的转动惯量为（1/2）mr12。在刚刚出现扭应力释放的瞬间，电子将按惯性以原来的速度在轨道大圆上运动，这时是扭旋之轮在轨道大圆的上侧面或下侧面滚动，而不是原来的摇旋之轮在轨道大圆的内侧面滚动。由于扭旋在轨道大圆上的滚动速度未变，相应其扭旋角速度也与原来的摇旋角速度相等，因此其扭旋角动量为（1/2）mr12ω1=（1/2）ћ，对应于量子力学中的电子自旋角动量S=（±1/2）ћ ，如图6所示。

图6
必须明确的是，当出现涡旋能量激发这种激变情况时，电子的整体涡旋角动量还是尽量要维持在1 ћ左右 ，设扭旋角动量为LW ，则，L=L1+LW=1 ћ 。但是在多数情况下，LW=0，这时电子表现为仅具有摇旋角动量，其值为1 ћ 。当扭旋出现的开始时刻，扭旋角动量与摇旋角动量平分了电子整体涡旋角动量，因此这时L1=LW=（1/2） ћ ，其中扭旋角动量LW就代表了电子向外激发出的那部分涡旋角动量。由于电子具有保持其内禀能量不向外发散的自我保护性质，因此这种涡旋能量发散的状况只维持瞬间便出现转化，这时的电子将会吸收周围的涡旋能量来补充刚才的能量损失，并且通过能级跃迁在磁弦上发射或吸收光子来做进一步的能量调整以恢复到稳定状态。由于电子的磁矩由扭旋角动量产生，因此其磁矩值为（1/2）ћe/m 。这就是电子自旋磁量子数为±1/2的几何与物理原因。

作者单位：132002 吉林市 工商银行吉林市分行哈达支行综合办公室