带电粒子在磁场中的运动归纳总结之“散点”运动.doc

带电粒子在磁场中的运动归纳总结之“散点”运动
（以下是个人的总结，个别名词属于原创，在分析中会有所提示。专门针对全国卷进行分析，如有不足之处还请指出）
大纲版全国卷中，带点粒子在电磁场中的运动，从07—11年来看，基本来说都是作为理科综合物理卷的“压轴题”，难度也是比较高的，那么，就此本人对该类问题进行一定的归纳总结。
2010年大纲版全国I卷理科综合第26题，是一道关于带点粒子在磁场中的运动的问题，原题如下：
（10年全国理综卷I，26）如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
⑴ 粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m;
⑵ 此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
⑶ 从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
分析：本题的特点是，在一个平面直角坐标系内，从原点发射大量与x轴（或y轴）成0~180°的夹角（看坐标轴原点那个地方不是很像一盘散沙吗？然后它又是一大堆粒子，故美其名曰散点……），运动轨迹多得无法确定，这也是这类题目的难点所在，即：不确定的运动方向和运动轨迹（此题更是可恶，连磁场的方向都不给……），由此，解此类题时只能根据题目的意思，找到“临界条件”，然后再逐个击破。
（1），既然题目已知，沿y轴方向的粒子最终达到P点，则根据匀速圆周运动的规律可知，轨迹是逐渐偏离y轴而形成一条弧，由此，可根据数学几何关系，画出轨迹和半径，解出R，再由T=2πm/qB即可解得第一问；
（2），既然沿y轴正方向的粒子已经离开，相应的，在第四象限一定有与其运动轨迹相同的粒子，可根据几何关系画出，最后由角度关系，找出临界条件，即可知道，角度范围在60°~120°之间；
（3）要让全部粒子离开，只要找到运动时间最长的那个粒子即可，根据几何关系、数学计算即可解得。
参考答案如下：⑴
⑵速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°
⑶从粒子发射到全部离开所用 时间 为
【解析】 ⑴粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有
解得
，则粒子做圆周运动的的圆心角为120°，周期为
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
，，化简得
⑵仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。
角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与⑴中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°。
角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。
所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°
⑶在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三角形中两个相等的腰为，而它的高是
R
R
R
，半径与y轴的的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°。所用 时间 为。
所以从粒子发射到全部离开所用 时间 为。

经过上述分析，我们了解到，要解开此类题目，首先要抓住的就是临界条件，找到了这个特殊的位置，接下来要注意的就是计算不出错，图像要画好。这样就万无一失了！
类似于这样的散点问题还有很多，接下来我们来看几道题目：（出自2011届的高考模拟）
如图所示，在xoy坐标的第I象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在x>0轴上有一平面荧光屏，在y轴上距坐标原点O为L的S处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为m，电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0~180°范围内．观察发现：荧光屏OP之间发光，P点右侧任何位置均无发光，在P、Q之间的任一位置会先后二次发光；O、Q之间的任一位置只有一次发光，测出O、P间距为L，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受重力，求：
（1）粒子发射时的速度大小；
（2）Q点先后发光的时间间隔。

解析：本题与上述全国卷有所不同的地方是：
1.粒子发射的位置不在原点上，而是在距离远点有一定距离的y轴上；
2.其运动轨迹的讨论与上题不同，该题需要考虑优弧、劣弧的轨迹加以分析；
3.在分析临界条件时，需要特别注意该题中的一句话：荧光屏OP之间发光，P点右侧任何位置均无发光，在P、Q之间的任一位置会先后二次发光；O、Q之间的任一位置只有一次发光，这句话提示了我们，Q、P点是一个临界，并且两个临界的性质有所不同，重点需要分析的是：为什么会产生一次发光和二次发光？
上述三个问题解决后，我们把思路理清：
（1）、依题意，粒子能达到的最远的地方，一定是P点，则S与P点的连线一定为圆的最长的一条弦，即圆的直径。故通过几何关系、数学计算及公式即可解出。
（2）在求（1）问时，我们发现，SP是一条直径，则以SP为直径所发射的粒子的速度方向（即下图中的aS）即为轨迹的一个临界（如果实在不明白，可以在aS的附近作几条速度，根据速度画圆，就能看到一些奇妙的事情~~）。然而，Q点之后全部能产生二次发光现象，说明以∠aSy以内发射的粒子以优弧形式运动至QP之间，在∠aSP到90°以内发射的粒子以劣弧的形式运动至QP之间，故两次发光的原因，是因为aS为一条临界线，在其上方的运动轨迹较长，下方运动轨迹较短，甚至是运动到了OQ之间（有兴趣的可以算出∠aSy的大小）。所以，根据几何关系及数学计算，可以将Q点的位置给算出来，再结合即可求解。
综上，这题随与全国卷类似，但难度却稍大，需要认真分析，让我们一起看看，答案如下：
（1）根据 得：
所以每个粒子在匀强磁场中做圆周运动半径相同。而轴的任一亮点与的连线为圆的弦长，由于P点是粒子到达轴上的最远点，所以SP的连线为圆的最大弦长，即圆的直径
即………………（3分）
根据几何关系： 得：……（2分）
∵ ∴………………（2分）
（2）连线与连线垂直，在∠范围内发射的粒子运动一段劣弧可以到达OP间任何一位置，在∠范围内发射的粒子运动一段优弧只能到达QP之间任何一位置，设粒子发射方向与轴成θ角度时，运动圆轨迹恰好与轴上的点相切
根据几何知识：…………（2分）
………………（2分）
∴θ= 00………………（1分）
………………（1分）
∵ ∴粒子沿优弧运动到达Q点的时间………………（2分）
粒子沿劣弧运动到达点的时间………………（2分）
∴△………………（1分）
通过上述分析，我们可以体会到，临界条件的寻找、题意的理解、突破是非常重要的问题，由此，对于该类问题，寻找临界条件可谓是重中之重！
接下来我们来看一道稍微简单的题目：

如图在第一象限内的Y轴和直线x=1.0m之间有一匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向外，磁感应强度B=2T，在直线右侧有沿Y轴负向的匀强电场，电场强度为E=2.5×105N/C。放置在原点的离子源在纸面内沿不同方向向第一象限不断放射比荷为1.0×106C/kg，速度均为V0=1.0×106m/s的粒子，粒子通过磁场区域后都平行X轴射入电场。求：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）在x轴上有粒子穿过的区域的范围；
（3）磁场区域的最小面积。
1.0
O
X/m
Y

分析：那么这道题与前边两题相比起来，难度和突破方面都相对容易，主要体现如下：
1． 临界的寻找较为容易；
2． 在计算上，数字都是相对友好的；
3． 第三题随涉及到接下来要讨论的面积问题，不过通过题目提示，找到最大临界和最小临界后，即可轻松解决。
具体解析，答案应该很明了，那么我们来看一下该题如何解的吧：

【命题理由】带电粒子在电、磁场中的运动，是高考试题中重要的命题点，特别是带电粒子在组合场中的运动更是命题人的首选，此类试题变化多样，自2005年以来连续六年以大题形式出现，如要保持试题稳定，此方面应与足够的重视。本题考查难度循序渐进，并引入新的变化——动态轨迹问题。
【答案】（1）R；（2）在1m<x<3m范围有粒子通过X轴；（3）Smin=0.14m2
【解析】（1）由 R
（2）粒子在电场中做类平抛运动，射入电场时距离X轴最远的粒子恰好在磁场中运动了1/4圆周，这个粒子打在X轴上的点距离原点最远
由qE=ma R= Δx=V0t 解得：Δx=2m
因此在1m<x<3m范围有粒子通过X轴。
（3）沿Y轴正方向射出的粒子，其轨迹为以（0.5,0）为圆心的1/4圆周，即为磁场的左上边界。
任取一粒子P设该粒子出磁场时的位置坐标为（x，y）
有几何知识可得
由数学知识可知，P点轨迹为以（0,0.5）为圆心的1/4圆周
因此，磁场的最小区域如图(阴影部分)
磁场区域最小面积Smin=
Smin=0.14m2
最后一道题，我们再看一道稍难的题目：

此题一看就又比前两题提高了一个档次，主要是因为：
1.此题连速度大小都是不确定的，换句话说，运动轨迹、半径都是比较难确定的；
2.前两题的临界还相对好找，但第3题，除了考虑临界以外，还得考虑一下半径的问题，从而找出真正的范围；
3.与前3题相比，更加注重了运动轨迹、角度大小的求解。
也因此，本题相对于前边几题，难度又有所加大，我们来看看答案：
25解（1）离子进入磁场中做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得：
y
O
x
A
　　…(2分)
解得最大半径…(2分)
离子在磁场中运动的周期为T，则
…　 (2分)
因为，所以t时刻这些离子刚好转过90°角，设 某一离子在此时刻的坐标为（，），则有…(2分)
　……(2分)
（2）离子以最大速度υm向x轴正方向发射时，将到达屏的最右端。
……(2分)
离子与屏刚好相切时，将到达屏的最左端。
……(2分)
O
x
y
A
C
　离子打在屏上的范围为≤x≤ ……(2分)
（3）将第（1）问中图中的OA段从沿-x轴方向顺时针方向旋转135°，在y轴上找一点C，以Rm为半径作圆弧，相交于O，则两圆弧及x轴所围成的面积即为所求的解。（或画出示意图）　　　　　　　　　……(2分)
由几何关系可求得此面积为

………(2分)
则：………(2分)
综上，我们来做个总结：
类似于该类散点运动的问题，临界的寻找是必不可少的，临界可以包括：1、圆周运动中的最长弦（即半径）；2、圆周运动所能达到的最远的地方；3、圆周运动时如受边界限制，则与边界相切的那一条圆周轨迹；4、在运动中的最的语言以及思考、转化（就类似于数学中的化归思想）。
由此，如果做到以上几点，加上在计算方面、轨迹分析方面、作图方面不出错，那么该类题目即可轻松解出。
本次总结到此，望对广大同学有所帮助。

Made By YZYZ268-fvans志不立，如无舵之舟，无衔之马，飘荡奔逸，终亦何所底乎？
Made By YZYZ268-fvans带电粒子在磁场中的运动归纳总结一之散点运动的问题- 7 -