近世代数计算题.doc

计算题
1、在整数环Z中，令I = {5k|k∈Z }
（1）确定商环Z/I中的元素。
（2）Z/I是不是一个整环？求Z/I的特征。
2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。
3、求模6的剩余类环Z6的所有理想。
4、在10次对称群S10中，σ =.
（1）将σ表成一些不相交轮换之积。
（2）求| σ|。
5、设G = {2m7n|m，n∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f：2m7n |→7n是G到G的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。
6、设（Z16，＋，·）是模16的剩余类环，求Z16的所有理想，求Z16的所有非零理想的交。
7、在7次对称群S7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。
8、在高斯整数环Z[i]={a + bi|a, bÎZ,i2=-1}中,(1)求主理想(1+i)，(2)求。
9、给出整数加群Z的所有自同构。
10、设R=Z4是模4的剩余类环,确定Z4的所有理想。
11、设R=Z[i]={a + bi|a, bÎZ,i2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。
12、设G={ 2m3n | m, nÎQ}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m3n 2m
(1)验证f是G到G的同态映射， (2)确定Kerf 。
13、找出三次对称群的所有子群；找出关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。
14、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。
15、求出模6的剩余类加群Z的所有自同构。
16、（10分）求模12的剩余类加群（Z12，＋）的所有自同构映射
17、设Z＝是高斯整数环，求Z的商域。
18、求数环Z[]={a+b,bZ}的全部自同构映射。
19、求高斯整数环Z[i]={a+bi,bZ,i=－1}的主理想(1-i) 以及剩余类环
20、设Z是模8的剩余类环,在Z中求x的根.
21、在3次对称群S中,令H={(1),(12)},试确定H在S中的左陪集分解式。
22、确定高斯整数环Z[i]的全部自同构映射.
23、试写出模12的剩余类加群G＝（Z，＋）的所有子群及G的所有
生成元。
24、设Z是整数环，求（4，6）＝？
25、找出模8的剩余类环的一切非零理想，并求它们的交。
26、 设G={25,n}是关于普通的数的乘法作成的群, f:255是G 到G的一个同态映射,求f的核kerf 。
27、设(Z12,+,)是模12的剩余类环,求Z12的一切理想,以及一切非零理想的交。
28、试写出三次对称群的所有不变子群。
29、已知I＝{6k|kZ}是偶数环R的理想，求商环的所有元素。
30、求数环的所有单位。
31、确定模10的剩余类加群的所有子群。
32、设G是一个阶为15的交换群。
（1） 证明G是循环群。
（2） 求出G的所有子群。
33、若S3是3次对称群，
（1） 求C（S3）。
（2） 当n≥ 3时，C（Sn）呢 ?
34、在3次对称群S3中，H=｛（1），（23）｝。
（1）试给出H在S3中的左陪集分解式
（2）H是不是S3的正规子群？
35、设G是一个21阶交换群，H=｛x|x｝
(1) 证明：。
（2）确定出H。
36、设Z是整数加群，求Z的自同构群Aut(Z)。
37、设Z是模6的剩余类加群，求Aut(Z6)。
38、 在整数加群Z中，S=｛2004,23,32｝，求<S>。
39、设G=<a>是一个20阶循环群，试求G的所有生成元。
40、确定3次对称群S3的所有正规子群。
41、设NG，||=12,中求<gN>。
42、在5次对称群S5中，设置换=（12345）
（1） 求置换，使。
（2）求置换，使。
43、在S9中，=（1965）（1487）（1923），将表成一些不相交轮换之积，且求。
44、在S8中，H=<>, =（1487）（1865）（134），试求[G：H]。
45、求Z到Zm的所有同态映射。
46、求Zm到Z的所有同态映射。
47、求Z4到Z6的所有同态映射。
48、设HG，NG，。
（1）证明：f是群到的一个同态映射。
（2）计算Kerf。
49、设G=｛3m5n|m,n｝，G对通常数的乘法构成群。令。
50、设G与H是两个群，|G|=100，|H|=21，f是G到H 的同态映射，求 f。
51、求模12的剩余类环Z12的全部子环。
52、求模8的剩余类环Z8的全部理想。
53、若
（1） 求Z[i]的所有单位。
（2）是不是域？
54、求模24的剩余类环Z24的所有单位。
55、设。
（1） 证明R是有理数域Q的子环。
（2）求R的所有单位。
56、求环M2（Z2）中的所有可逆元。
57、求环M2（Z4）中的所有可逆元。
58、试求模18的剩余类环Z18的可逆元与零因子。
59、设Z[i]为高斯整数环，I=（1+2i）,试写出I的元素的明显表达式，并求商环。
60、试确定Z12的所有商环。
61、设，R对通常矩阵的加法与乘法构成环。令
（1） 证明I是R的一个理想。
（2） 求I的所有理想。
62、求出整数环Z的一切自同态，并求出它们的每一个同态核。
63、设是环，I=（9）
（1）求 ， （2）是不是一个域？
64、在整环中，
（1）求 ()
（2）（）是不是Z[]的一个极大理想？
65、设是高斯整数环，试确定商环的元素。
66、在3次对称群S3中，g=(23),是由g诱导的S3的内自同构，求。
67、设R是整环，I是R的理想，举例说明不一定是整环，给出是整环的充要条件。
68、举例说明含2个元素的环不一定是域，给出一个2元素环为域的一个充要条件。
69、求模3的剩余类加群Z3的自同构群。
70. 设 . 当 满足什么条件时, 关于剩余类的乘法构成群?
71. 求剩余类加群 中每个元素的阶。
72.找出 的所有子群.
73. 找出 的所有生成元.
74. 找出群 的全部自同构映射, 即求出全部的 : , 使得

75. 设

计算乘积 , , , .
76. 设

     (1) 试确定 和 的奇偶性;
     (2) 分别将 和 与表示为不相交轮换之积;
     (3) 计算 , 并将之表为不相交轮换之积.
77. 设 (1 3 5 2)(1 4 7 6), (2 5 6 4)(3 7).
       (1) 分别确定 和 的奇偶性;
       (2) 将 和 改写为一般置换的形式.
78.写出 与 的所有置换.
79. 在 中找出所有不与(1 2 3)可交换的元素.
80. 在 中, 找出所有与 (1 2 3 4)可交换的元素.
81. 设按顺序排列的13张红心纸牌
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
经2次同样方式的洗牌后牌的顺序变为
6 10 A Q 9 K J 7 4 8 3 2 5
试求出第一次洗牌后牌的顺序.
83. 设 , , 求 .
84. 设 , , 求 (这里 和 分别表示全体非零复数及全体非零实数的集合).
85. 设 是一切非零实数关于数的乘法所构成的乘法群. 对下列映射 , 哪些是 到 的同态映射? 对于同态映射 , 找出 以及 .
    (1) ;    (2) ;    (3) ;    (4) .
86. 试决定三次对称群 的所有同态象. (同构的同态象看作同一个同态象.)
87. 设 . 是由六个置换
(1), (1 2 3)(4 5 6), (1 3 2 )(4 6 5)
(7 8), (1 2 3)(4 5 6)(7 8), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8)
所组成的群.
    （1） 写出 的各元素的稳定子和轨道；
    （2） 写出 的各元素的不动元素.
88. 计算一个正八面体的旋转对称群的元素的个数.
89. 用红、黄两种颜色的同样大小的正方形塑料板各8块可铺成多少种不同的大正方形塑料板？ 假定小正方形塑料板两面颜色相同.
90.试求 中的所有零因子与可逆元, 并求每个可逆元的逆元素.
91. 求线性方程, 在环 上的解.
92. 求线性方程, 在环上的解.
93. 求线性方程, 在环 上的解.
94. 求线性方程, 在环上的解.
95. 分别求线性方程组

在 , , , 中的解.
96. 求二次方程在环上的解.
97. 求二次方程在环上的解.
98. 求二次方程在环上的解.
99. 求二次方程在环上的解. 
100. 计算多项式, ,在环上的乘积.
101. 计算多项式, , 在环上的乘积.
102. 计算多项式, , 在环上的乘积.
103. 计算多项式, , 在环上的乘积.
104. 在四元数体中, 设
    (1) , .
    (2) , .
求 , , , , .
105.设集合

(1) 求 的所有理想.
(2) 求 的极大理想与素理想.
106. 试求 的所有理想与极大理想.
107. 设 , 都是整数环的理想, 试求
    (1) .
    (2) .
    (3) .
108. 理想 (15,24) 是怎样的主理想?
109. 在 中, , 求 的元素个数.
110. 3. 下列映射哪些是环同态
    (1) : , ;
    (2) : , ;
    (3) : , ;
    (4) , : , .
111. 对 , 求 , 使得 .
    (1) , .
    (2) , .
112. 对多项式 , , 求 , 使得

    (1) , , .
    (2) , , .
    (3) , , .
113. 对 , 求 , 并求 , 使得 .
    (1) , .
    (2) , .
114. 判别集合

在 上是否线性相关?
115. 构造模2的高斯整数环 的乘法表. 这个环是域吗?
116. 设 是4阶有限域, . 确定下列系数在 上的多项式在域 中是否可约.
    (1)          (2)
117. 设 是九个元素的域. 求 中的矩阵

的逆矩阵 .
118. 构造含４个元素的有限域，并写出它的加法和乘法运算表。
119. 给出下列四个四元置换

组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。
120. 设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。
121.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的并∪是否构成群？为什么？
122.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.
123.设关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？
124. 假定是模8的剩余类环，在里计算并求出它们的次数，其中。
125．对，，求，和。
126. 设，是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。
1．；
2．；
3．
127. 设有置换，。
1．求和；
2．确定置换和的奇偶性。
128. 求剩余类加群Z12中每个元素的阶。
129. 设A，B，C是G的子群,下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。

130. 写出元素形式，并找出所有子域。
131. 设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.
132. 求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？
133. 设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？
134.设 为整数加群, ,求
135. 找出的所有子群。
136. 求 的所有子群。
137. 将 表为对换的乘积.
138. 设按顺序排列的13张红心纸牌
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
经一次洗牌后牌的顺序变为
3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9
问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?
139. 在 中, 计算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .
140. 试求高斯整环 的单位。
141. 试求中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素.
142. 找出模6的剩余类环的所有理想。
143. 在 中, 解下列线性方程组:

144. 求 的所有子环.
145. 试求 的所有理想.
146. 数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。
147. 在 中, 求 的全部根.
148. 试举例说明，环中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个m+n次多项式.
149. 求出域上的所有2次不可约多项式.
150. 指出下列哪些元素是给定的环的零因子.
(1) 在中.设.
(2) 在中,它的全部零因子是哪些.
(3) 中有零因子吗?
151. 求二阶方阵环的中心.
152. 举例说明，非零因子的象可能会是零因子.
153. 设R为偶数环.证明：

问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？
154. 举例说明，素理想不一定是极大理想。
155. 设,求关于的所有左陪集以及右陪集.
156. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么
157. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

158. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）