课时跟踪检测(四十九) 椭 圆.doc

课时跟踪检测(四十九)　椭　圆
(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．4
2．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．5
3．(2013·石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
5．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
6. (2013·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率．

8. (2014·黄山模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．

第Ⅱ卷：提能增分卷
1. (2014·长春调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到直线x＋y＋＝0的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M(0，－1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足＝－，求直线l的方程．

2．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且 ＝2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．

3．(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为＋x2＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．
(1)求m的取值范围；
(2)求△MPQ面积的最大值．

答 案
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．选D　由题意可得，＝，所以m＝4，选D.
2．选A　由题意知|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，
∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
3．选D　依题意，2c＝4，c＝2，又e＝＝，则a＝2，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
4．选D　∵·＝0，∴⊥，
∴|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，
∴e＝＝.
5．解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1＞a＋3＞0，解得－3＜a＜－2.
答案： (－3，－2)
6．解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
答案：
7．解：(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.
于是e2＝＝1－＝，
所以椭圆的离心率e＝.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得
消去y0并整理得x＝.①
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，
(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，故x0＝.
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝±.
8．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，
所以＝2c.
整理得2()2＋－1＝0.
即2e2＋e－1＝0，所以e＝或－1(舍)．
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解

不妨设A，B(0，－c)，
所以|AB|＝ ＝c.于是|MN|＝|AB|＝2c.
圆心(－1，)到直线PF2的距离
d＝＝.
因为d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c＞0)，则＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(舍去)．
又离心率＝，＝，故a＝2，b＝＝，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)，因为＝－，
所以(x1－x0，y1)＝－(x2－x0，y2)，y1＝－y2.①
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，
于是设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，
联立方程，得
消去x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，②
因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，
于是y1＋y2＝－，③
y1y2＝， ④
由①③得，y2＝，y1＝－，
代入④整理得8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，
所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.
2．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
得
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0.
由根与系数的关系知
又由＝2，
即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－22，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不符合题意，所以k2＝＞0，解得＜m2＜4，此时Δ＞0，解不等式＜m2＜4得＜m＜2或－2＜m＜－，
所以m的取值范围为∪.
3．解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋1，
由
可得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为，
由题意有kMN·k＝－1，可得·k＝－1，可得m＝，又k≠0，所以0<m<.
(2)设椭圆的焦点为F，
则S△MPQ＝·|FM|·|x1－x2|＝
，
所以△MPQ的面积为
.
设f(m)＝m(1－m)3，
则f′(m)＝(1－m)2(1－4m)．
可知f(m)在区间上递增，在区间上递减．
所以，当m＝时，
f(m)有最大值f＝.
即当m＝时，△MPQ的面积有最大值.