自主招生讲义——复数.doc

江苏省扬中高级中学2014自主招生辅导
第1讲 复数
【考试要求】
高考：概念、四则运算、几何意义
自主招生：复数的三角形式、模与共轭复数的性质、模的最值问题、方程与多项式
【知识要点】
一．复数的表示形式
1.代数形式： ，实部记作，虚部记作
2.几何形式：点、向量
3.三角形式：，称为的幅角.
当时，称为的幅角主值，记作.
4.指数形式：
二．复数的运算法则
1.四则运算
2.乘方：
3.开方：的次方根是
三．模与共轭复数的性质
1.模的性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.共轭复数的性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7），为纯虚数
四．基本方法——复数问题实数化
1.待定系数法；
2.取模
3.利用共轭复数性质
【例题选讲】
1 设虚数满足.
（1）求；
（2）若为实数，求实数的值.
2 若复数，，求的值.
3 设是一对共轭复数，若，且是实数，则__________.

4 若，求的值.

5 设，求的最大值.

6 已知，求.

7 设，且存在满足，则这样的有多少个？

8 设，，求.

9 已知方程的个根分别为，
求
10 设为坐标原点， 在复平面内分别对应不同的点，且满足，
，求△面积的最大值.

11 是否存在，满足？

12 求证：.

13 已知复数满足如下条件：，求.

14 已知复变量满足，求证：.

15（1） 已知，则的最大值为___________，最小值为__________.
（2）设，的最大值为___________，最小值为__________.
（3）设，则的最大值为_____________.
（4）若，则的取值范围为_______________.

16 （1）能否在上分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由；（2）在复数集上分解因式.

17 设，在复数集中解方程.

18 已知，且，关于的方程的两根满足.求的最大值和最小值.

19 已知是纯虚数，设，求在复平面内对应点的轨迹.

20 已知，为实数，且.
（1）求在复平面内对应点的轨迹；
（2）设，求的取值范围.

21 对任意非零复数，定义集合.
（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合；
（2）设复数，求证：.

（2013北约）模长为1的复数，满足，求的模长