与圆有缘其乐无穷.doc

与 圆 有 缘 其 乐 无 穷
江苏省兴化市大营中学（225767）周守扣
数学上有些问题看起来与圆无关，但一旦与圆有缘，放到圆中去考虑，往往能化烦为简，化难为易。现举例说明如下：
例1如图，AB=AC=AD，且∠DAC=2∠BAC，试说明∠DBC=2∠BDC.
分析1：此题可以利用等腰三角形的顶角和底角之间的关系来解决.
在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=(180°-∠BAC).
在△ADC中,∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)
=(180°-2∠BAC).
又∠BAD=∠BAC+∠DAC=3∠BAC.
在△ADB中,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB =(180°-∠BAD) =(180°-3∠BAC).
因此∠DBC=∠ABC-∠ABD=(180°-∠BAC) -(180°-3∠BAC)= ∠BAC.
∠BDC=∠ADC-∠ADB=(180°-2∠BAC) -(180°-3∠BAC)= ∠BAC.
所以∠DBC=2∠BDC.
分析2：此题的条件AB=AC=AD与圆有缘，若以A为圆心,以AB为半径画圆,则B、C、D三点都在⊙A上，如图，
则∠DAC和∠BAC就成了同圆的圆心角，∠DBC和∠BDC就成了同圆的圆周角.根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半.”
可得∠BDC=∠BAC；∠DBC=∠DAC.
而 ∠DAC=2∠BAC
所以∠DBC=2∠BDC.

例2.设a、b、c、d都是正数，满足=，且a最大，试说明：a + d﹥b + c.
分析:由题设=,得ad=bc,联想到相似三角形,又联想到“圆幂定理”而与圆有缘，如图，取线段AC=a，在AC上取一点B，使AB=d，以BC为直径画⊙G，不妨假设b≥c，作割线AD=b，交⊙G于E，作GF⊥AD于F，由“圆幂定理”得 AC×AB=AE×AD，即 ad=b×AE，所以AE= c.又因为AG=AB+BC=d+（a-d）=（a+d）；同理AF=（b+c）. 在直角三角形△AGF中,AG﹥AF, 即a + d﹥b + c.
例3．在△ABC中，若AB=2AC，试探讨∠B的取值范围.
分析：因为题设中有AB=2AC，都有A点公共点，所以易联想到C点围绕A点运动,与圆有缘.如图，以A为圆心,以AC为半径,构造⊙A,因为AB=2AC，则B是⊙A外一点,则△ABC的顶点只能在⊙A上运动 ( AB与⊙A的交点除外) ,由圆的切线的知识知:当BC与⊙A相切时, ∠B 取最大值.而当BC与⊙A相切时, ∠C=90,由条件 AB=2AC，得∠B=30°.所以∠B的取值范围是0°＜∠B≤30°.
例4．在△ABC中，若∠A、∠B、∠C都小于120°试在△ABC内作一点D，使DA+DB+DC最小.
分析:这是一道我们都很熟悉的问题,即“费马点”问题，并且知道结论，当∠ADB=∠ADC=∠BDC=120°时，DA+DB+DC最小.(此处不作证明)可问题是我们如何用作图工具去作呢？如果你联想圆，与圆有缘,问题就简单了,如下图.
分别以AB、AC为边向△ABC外作等边三角形△ABE，△ACF，再分别作这两个等边三角形△ABE，△ACF的外接圆⊙G、⊙H，设两圆的交点为D，则D就是所要求作的点.现在我们来说明为什么有∠ADB=∠ADC=∠BDC=120°.在⊙G中, 因为△ABE是等边三角形, 所以∠E=60°,而四边形AEBD内接于⊙G,所以有∠E+∠ADB=180°, 所以∠ADB=120°；同理∠ADC=120°,而∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°,所以∠BDC=120°.
例5. 如图，在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC，且AD=AE，若∠BAD=40°，试求∠EDC的度数.

分析:构造两个圆，设G、F为小圆与AB、BC的交点，连结AF，EF，EG，
易得弧GF等于弧DE，所以∠EFD=∠GEF，
因为∠EDC=∠FED+∠EFD=∠FED+∠GEF=∠GED=∠GAD=∠BAD=20°
从上面几例你是否感觉到，这些问题因为与圆有缘, 不仅解法简单了,而且解法有趣了，解完后有一种快乐感觉。这样的问题其实很多，只要留心注意，你一定可以发现很多。当然文中若有不妥之处，还敬请不吝赐教。