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以核心知识为着力点,把握数学教学的长效性
最近,刚好在上第10册的分数除法,有一类应用题学生老是拎不清,错误率较高。相信不少老师也曾讲过类似的数学问题：
“宁宁1\3时步行了6\5千米，照这样的速度,宁宁平均每行l千米需要多少时间?平均每小时能步行多少千米? ”
“100千克花生可以榨油46千克，平均榨I千克油需要多少千克花生?平均每千克花生可以榨油多少千克?”
    对此，老师们反映即使花费很多时间去讲解题意，再三强调两者之间的区别，且有针对性地组织强化练习。但学生总是因为问题和算式的对应关系模糊不清而出现了张冠李戴式的错误，效果大多不太理想。
    [归因]：这是一种没有把握住数学核心知识，就题做题的短效教学行为
一、何谓数学核心知识
 美国数学家哈尔莫斯曾说过：数学究竟是由什么组成的？是概念？公理？定理？定义？公式？证明？诚然，没有这些组成部分，数学就不存在了，这些都是数学的组成部分。但是，它们中的任何一个都不是数学的核心所在。数学的核心应该是越过这些表面知识的内在问题，思想，方法。它们适用范围广，自我生长和迁移能力强，它们在数学课程和教材中处于重要的、不可或缺的基础地位，具有内在逻辑的连贯性和一致性。
二、对长效性与短效性的认识
第斯多惠说：“我们认为教学的艺术不是传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”苏霍姆林斯基说：“学生来到学校，不仅是为了取得一份知识的行囊，更主要的是为了变得更聪明。”夸美纽斯说：“寻找一种教学方法使得老师因此可以少教，但是学生可以多学；使得学校因此可以减少喧嚣、厌烦和无益的劳动，多具闲暇、快乐和坚实的进步。”……教育大家的这些思想揭示了长效教学的目标和真谛。
长效性教学关注学生发展的需求与学习的兴趣，以先进的育人观念作指导，树立学生发展是全人的发展的教育理念，关注学生学习活动中生命的体验，通过改变教学方式 ，让学生“愿意学”；通过指导学习方法，让学生“会学习”；通过富有思考性、探索性、挑战性的活动，为学生提供成长和发展的时空。而密集型、训练性、速率性的学习或教学一般是短效的。学数学不能只是理解知识的结论和结论的运用，更重要的是要通过对数学知识的探索，掌握获得知识和运用知识的方法，并且理解这个过程中的数学思想。因为如果只是掌握知识与结论，没有掌握探索和运用的方法，那么知识就不可能被再次调用；没有方法，也就没有自主探索，学习就只能变成一种记忆与复制，知识也就只能是一种沉重的负担和僵死的学问。只有通过方法的调制，思想的引领，咱们的数学才能脱去僵硬笨拙的外衣而变得有生命活力，才有长效性。
透视上述的教学现象，学生出现类似上述的顽固性错误，原因虽然复杂，但与咱们教师是有很大关系。教师如果缺乏必要的心理学和数学根基，他们对数学课程和教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，尤其是对数学核心知识的体系结构缺乏必要的了解或存在理解上的偏差和错误，就会导致日常教学中照本宣科，就题做题，重复操练；就会导致学生的学习缺少思想方法的统帅，知识的获得更多的依赖记忆而不是理解，问题的解决更多的套用模仿而不是应用策略，对知识本质的认识模糊、稳定性差、区分度低、遗忘速度快、生长和迁移能力弱。所以，出现“教师教得很辛苦，学生学得很痛苦，却没有得到应有的发展”这种现象也就在所难免。
    [案例呈现]
    小学五年级有“能被3整除的数的特征”一直是教师们研究的重点，我曾经多次上过这一课，设计名有不同，现回忆整理如下。
设计一：
师：上节课我们学了能被2、5整除的数的特征，主要看这个数的个位数来加以判断，这节课我们来研究能能被3整除的数的特征。首先我们来做个游戏，同学们任意报一个数，老师能很快猜出它是否能被3整除。
（学生报数，老师把能被3整除与不能被3整除的数分类写在黑板上。学生积极性很高）
师：这两边的数，一边能被3整除，一边不能被3整除，这其中有什么规律呢？请同学们把这些数各位上的数字加起来。
（学生进行运算）
师：现在你们有什么发现？
（学生通过讨论，交流，在老师启发下，很快得出了这个特征。）
设计二：
师：能被2、5整除的数的特征只要看个位，能被3整除的数是不是与判断能被2、5整除的数一样，只看这个数的个位呢？
生1：看个位也可以，例如63、36、99它们的个位分别是3、6、9，这些数都能被3整除。
生2：不能只看个位，例如13、16、19它们的个位虽然也是3、9，但这些数都不能被3整除。
生3：有的数，例如21、45它们的个位不是3、6、9，可是这些数都能被3整除。
师：看来，判断一个两位数是否能被3整除，不能只看个位，还要看什么呢？
师：下面请同学们来看一组个位上是4的两位数——14、24、34、44、54、64、74、84、94，请同学们判断哪些数能被3整除。
生：通过计算分成两类。（得到能被3整除的一组数24、54、84）
师：通过计算我们得到24、584这三个数能被3整除，现在请你们把这三个数的个位与十位交换一个位置看看能不否被3整除。
（学生交换位置，进行计算，发现42、45、48也能被3整除）
师：这说明一个数能被3整除，跟这个数的每一个数字所以的位置有没有关系？
生：没有关系。
……
师：既然是跟每一个数字的大龙潭虎穴都江堰市有关系，那我们就来做一个实验，把这两组数（指能被3整除的和不能被3整除的）每一位上的数分别加起来，观察它们的和有没有什么特点？
 [评析与反思]
1、设计一的着眼点在“能被3整除的数”的特征理解上，开始通过学习教师猜数调动和激发起学生的好奇心，并得到能被3整除和不能被3整除两组数。接下来就直接让学生把这些数各位上的数字加起来，再来观察从而发现其中的规律。这样的设计只是关注了知识层面，没有深入到方法的层面，学生通过学这个内容，理解和掌握的也只是知道能被3整除的数的特征，这个特征只是数学的组成部分，但不是核心，只是边缘、外围或表面。如果我们的教学只是达到这个境界，学生没有受到数学思想方法的训练和熏陶，也就不可能产生探索数学的行力，这样的教学只是一种复制式的或记忆式的活动。从短期看，知识掌握的效率比较高，但从长效看，学生学不会自我扩展，反而降低了学习的效率。
2、设计二开始注重了知识规律的探索，试图在传授知识的同时，引导学生经历知识探究的过程，学习一种方法、感受一种思想。从最初的类比：能被2、5整除的数只是看个位上的数即可，那么能被3整除的数看个位行吗？学生通过对一些具体的例子的分析和研究，发现只看个位是不行的；接着又通过一组判断、分类、变化活动，认识到能被3整除的数的特征与一个数中每个数字所在的位置没有关系，只是跟它们的大小有关；最后再通过指令性的把每一位上的数字加起来进行比较和分析，由此得出规律。但综观这个过程，学生的探究还是被牵引着，看似在启发学生的思维，经历数学规律的生成过程，实质上还是教师在灌溉，引导问答的过程只是看教师灌溉的信息和要求收到了没有，还没有一种主动自主的探索过程，数学思想方法不可能得以有效的生成和发展。
3、这里，再简单分析一下文初所列举的问题。一些学生之所以对“宁宁平均每行l千米需要多少时间?平均每小时能步行多少千米? ” 两个问题的解答产生混淆，最根本的原因是他们对“平均分”这一核心概念认识不深，理解不透。平均分概念是小学生理解除法概念的重要的经验基础。在小学二年级初步学习除法知识时，教师应该向学生提供丰富的关于平均分的教学情境，有目的地组织学生开展有关平均分的各种操作活动，帮助他们弄清究竟要分什么事物以及其按照什么来平均分，真正理解平均分情境三个变量之间的关系，即全部数量的大小、平均分为几个部分和每部分的大小，初步建构“平均分”的意义。这样．不仅让学生掌握了运算技能，而且发展了他们的数学思考能力。为了促使学生深入理解和应用“平均分”概念，在此后相关年级的教学中，我们还要想方设法为学生创设运用这一概念的各种情境，激活他们多样化的经验，同时引导学生解决不同表达形式的除法问题，让学生在情境与运算之间建立起正确的联系，尤其是在分什么事物、按什么平均分与除法算式中的被除数、除数之间立起正确的对应关系。可以这么说，当学生真正弄清问题究竟要分什么以及按照什么方法来平均分，即弄清“宁宁平均每行l千米需要多少时间?”就是将时间按照行使路程的千米数来平均分，“平均每小时能步行多少千米?”就是把路程的千米数按时间来平均分，就可以有效预防或减少前文所说的列式错误。
“求木之长者,必固其根本;欲流之远者,必浚其泉源。”实践证明，要使学生能长效性发展，获得真正的数学素养与思维能力，就得立足于核心知识的教学，就应该找准数学教学的着力点，削枝强干，从纷繁复杂的内容中走出来，从面面俱到的讲解中走出来，把数学教学提升到思想方法教学的层次，使学生既掌握具体事实和细节，又在亲身经历自主探索、主动建构知识的过程中，掌握核心知识的纵横联系和层次结构，理解数学思想方法的本质，学会举一反三，触类旁通，逐步提高独立获取知识和解决问题的能力。这样，我们的教学就更加意味深长。