概率分布学案.doc

随机变量及其概率分布
知识要点
1.离散型随机变量X的概率分布
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，
i＝1,2，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以将①用下表形式来表示：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为随机变量X的概率分布表，
它和①都叫做随机变量X的__________.显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)具有性质：①pi______0；②p1＋p2＋…＋pn＝______.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
____________.
2.如果随机变量X的概率分布表为
X
1
0
P
p
q
其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的0—1分布或两点分布.
3.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则随机变量X的分
布列：P(X＝k)＝______________(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，
M≤N，n、M、N∈N*，则称X服从超几何分布，记为______________，并将P(X＝
k)＝，记为________________.
4.相互独立事件
(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称________________.
(2)若A与B相互独立，则P(A|B)＝________，
P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝________________.
(3)若A与B相互独立，则________，________，________也都相互独立.
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则____________.
5.二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为_ _______________________________(p为事件A发生的概率)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为P(X＝k)＝Cknpkqn－k，其中0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的____________，记为____________.
6.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝____________________________(其中，pi≥0，i＝1，2，…，n)，p1＋p2＋…＋pn＝1为随机变量X的均值或__________，它反映了离散型随机变量取值的__________.
(2)方差
称V(X)＝σ2＝______________________________________(其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 ________________，其____________为随机变量X的标准差.
7.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝____________.
(2)V(aX＋b)＝____________.(a，b为常数)
8.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝____，V(X)＝________.
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____，V(X)＝______.
典型例题
题型一　求离散型随机变量的概率分布
1、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数.
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量X的概率分布表；
(3)求甲取到白球的概率.
1、解　(1)设袋中白球共有x个，根据已知条件＝，
即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去).
即袋中原有白球的个数为3.
(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2,3,4,5.
因此，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
则随机变量X的概率分布表为：
X
1
2
3
4
5
P

(3)甲取到白球的概率为
P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)
＝＋＋＝.
题型二　超几何分布问题
2、在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布表.
2、解　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝＝＝.

(2)依题意可知X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，
P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
所以X的概率分布表为：
X
0
10
20
50
60
P

题型三　相互独立事件的概率
3、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8、0.9，求：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)两人中恰有1人击中目标的概率；
(3)在一次射击中，目标被击中的概率；
(4)两人中，至多有1人击中目标的概率.
3、解　(1)记事件A：甲射中目标；
事件B：乙射中目标．
两人都射中的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)方法一　两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为P(AB)＋P(B)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()
＝0.72＋0.26＝0.98.
方法二　因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件．
所以“两人至少有一人射中”的概率为：
1－P( )＝1－P()P()＝1－0.2×0.1＝0.98.
(4)方法一　至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为
P( )＋P(A)＋P(B)
＝P()P()＋P(A)P()＋P()P(B)
＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
方法二　“至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”，
故所求概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
＝1－0.72＝0.28.
题型四　独立重复试验与二项分布
4、甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为，乙投进的概率为，求：
(1)甲投进2球且乙投进1球的概率；
(2)在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率.
　(1)　(2)

题型五　离散型随机变量的均值与方差
5、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率.
(2)求在2次游戏中获奖次数X的概率分布表及数学期望E(X).
5　解　(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球 ” 为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2＋A3，
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)2＝，
P(X＝1)＝C··(1－)＝，
P(X＝2)＝()2＝.
所以X的概率分布表是

X
0
1
2
P

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
题型六　均值与方差的实际应用
6、现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.
(1)求X1，X2的概率分布表和均值E(X1)，E(X2)；
(2)当E(X1)<E(X2)时，求p的取值范围.
解　(1)X1的概率分布表为
X1
1.2
1.18
1.17
P

E(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
由题设得X～B(2，p)，即X的概率分布表为
X
0
1
2
P
(1－p)2
2p(1－p)
p2
故X2的概率分布表为
X2
1.3
1.25
0.2
P
(1－p)2
2p(1－p)
p2
所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2
＝－p2－0.1p＋1.3.
(2)由E(X1)<E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，
整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.
因为0<p<1，所以当E(X1)<E(X2)时，
p的取值范围是0<p<0.3.