立体几何平行垂直结论.docx

立体几何专题解读
基础知识回顾
一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行（线线）
2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明
二、 判定线面平行的方法
1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
3、 两平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义：没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行
3 垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面

六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
1、 二面角的平面角为
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是：
2、直线与平面所成的角的取值范围是：
3、斜线与平面所成的角的取值范围是：
4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：
方法总结
1．位置关系：
（1）两条异面直线相互垂直
证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。
（2）直线和平面相互平行
证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）直线和平面垂直
证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
（4）平面和平面相互垂直
证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。
2．求距离：
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离
求法：①利用公式法。②“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
（2）点到平面的距离
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。
3．求角
（1）两条异面直线所成的角
求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
（2）直线和平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。
（3）平面与平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。
例题分析
1、（将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（Ⅱ）求证：平面；

2、如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（1）证明//平面；（转化为线线平行）
（2）设，证明平面．
（先转化为线线垂直，用线面垂直证线线垂直）

3、（将线面平行转变为面面平行）如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，
（Ⅰ）求证：；

4、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.（Ⅲ）设点M在棱上，且为何值时，平面。
(向量法)

5、（将面面垂直转变为线面垂直）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面； （）
（可用空间向量做）

6、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明⊥；
（运用三垂线定理或逆定理）

7、（利用空间向量解决线面平行垂直问题）如图，平面平面，
是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，
，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；