一题多解归一问题.doc

一题多解  归一应用题
例1 一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？
（吉林省）
　　【分析1】先求1分钟能打多少个字，再求1小时能打多少个字。
　　【解法1】1分钟能打多少个字？
　　1800÷15=120（个）
　　1小时能打多少个字？
　　120×60=7 200 （个）
　　综合算式：1800÷15×60=120×60=7 200（个）。
　　【分析2】先求出1小时是15分钟的几倍，再用1800乘以所得的倍数，所得的积就是1小时能打字的个数。
　　【解法2】1小时是15分钟的几倍？
　　60÷15=4（倍）
　　1小时能打字多少个？
　　1800×4=7 200（个）
　　综合算式： 1800×（60÷15）
　　=1800×4=7200（个）。
　　【分析3】先求出15分钟是1小时的几分之几，根据分数除法的意义，用1800除以所得的几分之几，即得1小时能打字多少个。
【解法3】15分钟是1小时的几分之几？
15÷60=
　　1小时能打字多少个？
　　1800÷=7200（个）
　　综合算式：1800÷=1800÷=7200（个）。
　　【分析4】先求出打一个字需要多少分钟，再看1小时里包含多少个“这些分钟”，就是1小时能打字多少个。
　　【解法4】打一个字需要多少分钟？
　　15÷1800=（分钟）
　　1小时能打多少个字？
　　60÷=60×120=7 200（个）
　　综合算式： 60÷（15÷1800）
　　=60÷=7 200（个）。
【分析5】因为“工作总量÷工作时间=工作效率”，而工作效率一定，所以工作总量与工作时间成正比例。
　　【解法5】设1小时能打字x个。
　　x∶60=1 800∶15
　　x=
　　x=7200
　　答：1小时能打字7 200个。
　　【评注】本题是正归一应用题。解法1是正归一应用题的一般解法，即先求出“单一量”，再用单一量乘以“总份数”就等于“总数量”。解法2和解法3思路简明，易于理解，计算简便，是本题的最佳解法。解法4将题中的“总数量”、“单一量”、“总份数”进行了转换，运用反归一应用题的解法解题。可见正、反归一应用题的解法可相互转换。
　　例2 一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？
（四川省成都市）
　　【分析1】先求每小时航行多少千米，再求航行270千米需要几小时，最后求出共需多少小时。
　　【解法1】每小时航行多少千米？
　　108÷4=27（千米）
　　270千米需航行多少小时？
　　270÷27=10（小时）
共需多少小时？
　　10+4=14（小时）
　　综合算式： 270÷（108÷4）+4
　　=270÷27+4=10+4=14（小时）。
　　【分析2】先求出共航行了多少千米，再求每小时航行多少千米，最后求出共需多少小时。
　　【解法2】这艘轮船共航行了多少千米？
　　270+108=378（千米）
　　每小时航行多少千米？
　　108÷4=27（千米）
　　共需多少小时？
　　378÷27=14（小时）
　　综合算式： （270+108）÷（108÷4）
　　=378÷27=14（小时）。
　　【分析3】先求出继续航行的路程和原来航行的路程的比，再运用归一应用题的解法求出共需多少小时。
　　【解法3】继续航行和原来航行的路程比？
270∶108=5∶2
　　共需多少小时？
　　4÷2×（5+2）
　　=4÷2×7=14（小时）。
　　【分析4】先求出原来航行的路程是共航行路程的几分之几，再运用分数除法应用题的解答方法求出共需多少小时。
　　【解法4】原来航行的路程是共航行的几分之几？
　　108÷（108+270）=
　　共需多少小时？
　　4÷=14（小时）
　　综合算式：4÷=4÷=14（小时）。
　　或： 4×[（108+270）÷108]
　=4×[378÷108]=4×3.5=14（小时）。
　　【分析5】因为“路程÷时间=速度”，速度一定，所以路程和时间成正比例。
　　【解法5】设共需x小时。
　　（270+108）∶x=108∶4
　　x=
　　x=14
　　或设航行270千米需x小时，则共需（x+4）小时。
　　270∶x=108∶4
　　x=
　　x=10
　　10+4=14（小时）。
答：共需14小时。
　　【评注】解法1和解法2是归一应用题的基本解法，解法4是本题的最佳解法。其他解法，读者可根据实际情况灵活选用。
　　例3 某粮食加工厂，3台磨面机4小时可磨面粉16.8吨，按这样的速度，9台磨面机要磨面粉50.4吨，需要多少小时？
（上海市黄浦区）
　　【分析1】先求每台每小时磨面粉多少吨，再求9台每小时磨面粉多少吨，最后求出要磨50.4吨面粉需要多少小时。
　　【解法1】每台每小时磨面粉多少吨？
　　16.8÷3÷4=1.4（吨）
　　9台每小时磨面粉多少吨？
　　1.4×9=12.6（吨）
　　要磨面粉50.4吨需几小时？
　　50.4÷12.6=4（小时）
　　综合算式： 50.4÷（16.8÷3÷4×9）
=50.4÷（1.4×9）=50.4÷12.6
　　=4（小时）。
　　【分析2】题中要用9台磨面机磨面粉50.4吨，可先求平均每台要磨面粉多少吨，再除以原来每台每小时磨粉吨数，即得共需小时数。
　　【解法 2】平均每台要磨面粉多少吨？
　　50.4÷9=5.6（吨）
　　原来每台每小时磨面粉多少吨？
　　16.8÷3÷4=1.4（吨）
　　共需多少小时？
　　5.6÷1.4=4（小时）
　　综合算式： 50.4÷9÷（16.8÷3÷4）
　　=50.4÷9÷1.4=4（小时）。
【分析3】根据“每台每小时磨面粉吨数一定”列方程解。
　　【解法3】设需要x小时。
　　50.4÷9÷x=16.8÷3÷4
　　5.6÷x=1.4
　　x=5.6÷1.4
　　x=4
　　【分析4】因为每台磨面粉吨数÷磨粉时间=每台每小时磨面粉吨数，每台每小时磨面粉吨数一定，所以每台磨面粉吨数和磨粉时间成正比例。
　　【解法 4】设需要x小时。
　　5.6∶x=5.6∶4
　　x=4

　　【分析5】因为现在磨粉吨数50.4吨是原来磨粉吨数16.8吨的3倍，所以：如果现在的台数和原来相同，那么现在的磨粉时间必是原来的3倍；如果现在的磨粉时间和原来相同，那么现在的台数必是原来的3倍（本题恰是这种情况，可以直接判断需要4小时）；如果现在的台数和磨粉时间都与原来不同，那么现在的磨粉时间与台数的积（假设一台工作的总时间），一定等于原来的磨粉时间与台数积的3倍。
　　【解法5】设需要x小时。
　　（x×9）÷（4×3）=50.4÷16.8
　　9x÷12=3
　　9x=36
　　x=4
　　答：需要4小时。
　　【评注】解法1和解法2是基本解法，易于理解和掌握。解法3和解法4是方程解法，其中解法3较好。解法5是直觉思维解法。在分析5中谈到了三种情况，解法5是根据第三种情况列方程的，这种情况最一般。
　　 例4 胜利机床广计划生产120台机床，实际4天就生产了32台，照这样计算，剩下的还要生产多少天才能完成？（天津市河西区）
　　【分析 1】先求还剩下多少台，再求每天生产多少台，最后求出剩下的还要生产几天。
　　【解法 1】还剩下多少台？
　　120-32=88（台）
　　每天生产多少台？
　　32÷4=8（台）
　　剩下的还要多少天完成？
　　88÷8=11（天）
　　综合算式： （120-32）÷（32÷4）
　=88÷8=11（天）。
　　【分析 2】先求每天生产多少台，再求生产120台机床共要多少天，然后减去原来的4天就等于剩下的还要多少天。
　　【解法 2】每天生产多少台？
　　32÷4=8（台）
　　生产120台机床共要多少天？
　　120÷8=15（天）
　　剩下的还要多少天？15-4=11（天）
　　综合算式： 120÷（32÷4）-4
　　=120÷8-4=15-4=11（天）。
【分析 3】因为“工作量÷工作时间=工作效率”，工作效率一定，所以工作量和工作时间成正比例。
　　【解法3】设剩下的还要生产x天。
　　（120-32）∶x=32∶4
　　88∶x=32∶4
　　x=
　　x=11
　　或设共要x天，则剩下的天数为x-4。
120∶x=32∶4
　　x=
　　x=15
　　15-4=11
　　答：剩下的还要生产11天才能完成。
　　【评注】以上三种解法，均属一般解法，易于理解，计算也较简便，是本题较好的解法。本题还可运用有关分数或比的知识解答。
　　例5 一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？
（天津市和平区）
　　【分析 1】先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）。
　　【解法 1】火车每小时行多少千米？
　　150÷2.5=60（千米）
　　火车共行了多少小时？
　　2.5+3=5.5（小时）
　　甲乙两地相距多少千米？
　　60×5.5=330（千米）
　　综合算式： 150÷2.5×（2.5+3）
=150÷2.5×5.5=60×5.5=330（千米）。
　　【分析 2】先求每小时行多少千米，再求3小时行了多少千米，最后加上先行的150千米即得甲乙两地相距多少千米。
　　【解法2】火车每小时行多少千米？
　　150÷2.5=60（千米）
　　3小时行了多少千米？
　　60×3=180（千米）
　　甲、乙两地相距多少千米？
　　180+150=330（千米）
　　综合算式： 150÷2.5×3+150
　　=60×3+150=180+150=330（千米）。
　　【分析3】因为“距离÷时间=速度”，速度一定，所以距离和时间成正比例。
　　【解法3】设甲乙两地相距x千米。
　　x∶（2.5+3）=150∶2.5
　　x=
　　x=330
　　本题也可设3小时行x千米，再求两地距离。
【分析 4】分数应用题解法。先求出2.5小时占共行时间（2.5+3）的几分之几，再用150千米除以这个分数，即得甲乙两地相距多少千米。
　　【解法4】2.5小时占总时间的几分之几？
　　2.5÷（2.5+3）=
　　甲乙两地相距多少千米？
　　150÷=330（千米）
　　综合算式：150÷=150÷=330（千米）。
　　答：甲乙两地相距330千米。
　　【评注】以上四种解法中，解法2易于理解，也容易想到，计算也较简便；解法4是分数应用题的解法，思路简捷、巧妙，这两种解法是本题的较好解法。归一应用题的解法是比较多的，解题思路广而宽，综合运用知识的机会也较多，读者可结合题目的实际情况，灵活选择解题方法。本题还可运用比的知识及倍比法来解答