直角三角形总复习练习.doc

20、 欲拆除一电线杆AB，已知电线杆AB距水平距离14m的D处有有大坝，背水坡CD的坡度，坝高C F为2m，在坝顶C处测地杆顶的仰角为，D、E之间是宽度位2m的人行道。试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全是否需要将此人行道封闭？请说明你的理由（在地面上以B为圆心，以AB为半径的图形区域为危险区域，）。

解直角三角形及其应用：典型例题解析
　　例1　（黄石市）A城气象观测得台风中心在A城正西方向300千米处以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域．

图5－2－1
　　（1）问A城是否会受到这次台风的影响，为什么？
　　（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
　　分析：（1）A城是否会受到这次台风的影响，决定于A城与BF的最近距离是否小于台风区域的半径200千米，因此作AE⊥B于E，计算出AE长则可得出结论．
　　（2）要确定A城遭受这次台风的影响的时间，则要求出台风在BF上最初到A城的位置G与最后影响A城的位置H的距离．
　　解：（1）过点A作AE⊥BF，E为垂足，
　　在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝300．
　　∴　sin30°＝，即AE＝150（千米）．
　　∵　台风区域的半径为200千米，
　　∵　150＜200，
　　∴　A城必受这次台风的影响．
　　（2）以A为圆心，200千米为半径的圆与射线BF交于G、H两点，连结AG、AH．
　　则AG＝AH＝200，台风中心在线段GH上移动时，A城都会遭受强风的影响，
　　在Rt△AEG中，GE＝＝＝50．
　　　　GH＝2GE＝100（千米）
　　∵　台风的速度是每小时10千米．
　　∴　台风中心从点G移动到点H所用的时间为
　　　　t＝100÷10＝10（小时）．
　　∴　A城遭受这次台风的影响的时间共10小时．
　　剖析：本题不仅考查灵活运用解直角三角形，锐角三角函数的有关知识，还考查了考生阅读理解能力，A城初遇台风时在台风圆形区域的边界，然后在台风的圆形区域内，当A城再处在边界时，台风将不再影响A城．因此解决（2）问的切入点是找到台风影响A城的最初位置和最后位置．因此考查的热点不仅是数学知识，更重要的是把实际问题转化为数学问题的能力．
　　例2　（江西省）如图，沿水库拦水坝和北背水坡将坝加宽2米，坡度由原来的1︰2改成1︰2.5，已知坝高6米，坝长50米．

图5－2－2
　　（1）求加宽部分横断面AFEB的面积；
　　（2）完成这一工程需要多少方土？
　　分析：（1）求加宽部分横断面AFEB的面积，关键是求下底BE的长，作FH⊥BC于H，AG⊥BC于G．BE＝EH－BH，EH在Rt△EFH中求得．BH＝BG－2，BG在Rt△ABG中可以求出．（2）加宽部分横断面的面积乘以坝长，则是这一工程需要的土方量．
　　解（1）作AG⊥BC，FH⊥BC，垂足分别是G、H．
　　于是FH＝AG＝6（m），HG＝AF＝2（m）．
　　在Rt△AGB中，
　　∵　tan∠AB＝＝，
　　∴　BG＝2AG＝12（m）．
　　在Rt△EFH中，
　　∵　tan∠E＝＝，
　　∴　EH＝2.5FH＝15（ｍ）
　　∴　EB＝EH－BH＝15－（12－2）＝5（m）.
　　S梯形AFEB＝（AF＋EB）·FH＝（2＋5）×6＝21（m2）．
　　（2）完成这一项工程需要的土方为
　　　　V＝S梯形AFEB·50＝1050（m3）．
　　答：加宽部分横断面AFEB的面积为21m2，完成这一项工程需要的土方为1050m3．
　　剖析：解决实际问题不仅涉及数学知识，还要准确把握坡度、坡角、水平距离、仰角、俯角等有关概念，并且能建立实际问题的数学模型，找出要解的直角三角形．
　　例3　（河北省）如图所示，一艘轮船以20海里／时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里／时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB＝100海里．

图5－2－3
　　（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
　　（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，
为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少（提高的船速度取整数，）？
　　分析：（1）若途中会遇到台风，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，此时点C在台风区域的边界上，即点C在以E为圆心，为半径的圆上．由勾股定理得．若设初遇台风的时间为t，则列出了关于t的方程．再看方程有无解，便可解决第一个问题．
　　（2）要求轮船提高的速度，只要求出轮船到达D港的时间，要求轮船在台风到达前到达D港．只要求出台风到达D港的时间即可．
　　解：（1）设途中会遇到台风．且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有
　　　　AC＝20t，AE＝AB－BE＝100－40t，EC＝20，
　　在Rt△AEC中，AC2＋AE2＝EC2，
　　∴　（20t）2＋（100－40t）2＝（20）2．
　　整理，得
　　　　t2－4t＋3＝0．　　　　　　　　　①
　　∵　Δ＝（－4）2－4×1×3＝4＞0，
　　∴　途中遇到台风，
　　解①得，t1＝1，t2＝3．
　　所以，最初遇到台风的时间为1小时．
　　（2）设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点．过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM，
　　在Rt△ADF中，AD＝60，∠FAD＝60°，
　　∵　DF＝30，FA＝30．
　　又　FM＝FA＋AB－BM＝130－40t，MD＝20，
　　∴　（20）2＋（130－40t）2＝（20）2．
　　整理，得
　　　　4t2－26t＋39＝0．
　　解之，得
　　　　t1＝，t2＝．
　　所以台风抵达D港时间为小时．
　　因为，轮船从A处用小时到达D港的速度为60÷≈25.5．
　　因此，为使台风抵达D港之前轮船到达D港，轮船至少应提速6海里／时．
　　剖析：解决这类问题首先要弄懂题意．轮船初遇台风时在台风圆形区域边界，然后轮船进入台风圆形区域，再处在边界时，就将要离开台风区了，因此设t小时在台风圆形区域边界，作为解决问题的切入口．若方程无解，表明轮船不可能遇到台风；若方程有一解，说明轮船与台风擦身而过；若有两解说明轮船不仅遭遇台风，而且还在台风区航行︱t1－t2︱小时．注意解出的两个t值，较小的t值是初过台风的时间，而较大的t值，则是轮船即将离开台风区域的时间．
　　例4　（辽宁省）如图，某县为加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度是1︰1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1︰1.5，已知坝顶宽不变．

图5－2－4
　　（1）求大坝横断截面积增加多少平方米？
　　（2）要在规定时间内完成此项工程，如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成．现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成，求原来规定多少天完成和每天完成的土方数．
　　分析：（1）大坝截面面积增加的面积等于增加后梯形的面积减去原梯形的面积．
　　（2）这是一道典型的工程问题的应用题设原来规定x天完成则甲单独做需（x＋10）天，乙单独做需（x＋6）天，由题中给的相等，列出方程
　　　　＝1．
　　解：（1）由已知，得
　　S梯形DCBH＝（CD＋BH）·5＝（4＋14）·5＝45．
　　S梯形EFAH＝（EF＋AH）·（5＋1）
　　　　　　　　＝（4＋6×1.5＋4＋6）×6＝69．
　　所以，大坝横截面面积增加69－45＝24平方米．
　　（2）设原来规定x天完成，那么甲单独做需（x＋10）天，乙单独做需（x＋6）天，
　　根据题意，得
　　　　＝1，
　　去分母，得x2－10x－144＝0．
　　解，得
　　　　x1＝18，x2＝－8．
　　经检验x1＝18，x2＝－8都是原方程的根．因为，天数不能为负，所以只取x＝18天，（24×90）÷18＝120（m3）．
　　答：原来规定18天完成，原计划每天完成120立方米土方．
　　剖析：解决这类问题的关键是要理解坡度的概念，坡度是坡角a的正切值，即坡度面的铅直高度h和水平宽度l的比，有关坡度问题的平面图形最常见的是梯形．通过添加辅助线，可把它转化为解直角三角形的问题．