专科-高数练习册(公共基础).doc

第一章 一元函数的极限与连续

复习重点：
1.理解函数的定义、函数连续定义。
2.了解函数极限的定义。
3.掌握极限的四则运算法则。
4.熟练掌握两个重要极限；掌握无穷小的性质。
5.会求函数的间断点，并进行分类。
6.了解闭区间上连续函数的性质。

综 合 练 习

一、选择题
1．已知，则（ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
2．下列各对函数中，是相同函数的是（ ）。
A. , ；
B. ,；
C. ,； D. ,。
3．若存在，则在点处 （ ）。
A.有定义，且=A ； B. 没有定义；
C.有定义，且可为任意值； D.可以有定义，也可以没有定义。
4．若存在，不存在，则（ ）。
A.不存在 ； B.可能存在也可能不存在； C.存在； D.存在且极限为零。
5．下列极限中，计算正确的是 （ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
6．下列等式中，（ ）成立。
A.；B.；
C.； D.。
7．当时，与皆为无穷小，则是的（ ）无穷小。
A.高阶； B.低阶； C.同阶； D.等价。
8．当0时，（ ）不是无穷小量。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
9．下面说法正确的是 （ ）。
A.若在（a，b）内有定义，则在[a，b]内连续；
B.若在点有定义，且存在，则在连续；
C.若存在，则在连续；
D.若在（a，b）内每一点连续，则 在（a，b）内连续。
10．函数的连续区间为（ ）。
A. ； B. ； C. ； D. 。
二、填空题
1．设，
则 。
2．函数的定义域是 。
3．函数的图形关于________对称。
4．________。
5．=________。
6．若是连续的奇函数，且，则=________。
7．函数的间断点是________，分别属于________间断点。
8．设当时，与为等价无穷小，则________。
9．若在x=0处连续，则=________。
10．当时，与是等价无穷小，与是等价无穷小，则________。
三、计算题：
1．计算下列极限：
（1）；

（2）；

（3）； （4）；

（5）；

（6）；

（7）； （8）；

（9） ； （10）。

2．已知存在，试确定的值，并求出极限值。

3．求函数的连续区间，若有间断点，指出间断点的类型。

4．设在处连续，且，求。

5．设，若在内连续，求。

6．设函数在上连续，且，证明：在内，曲线与至少有一个交点。

第二章 一元函数微分

复习重点：
1.理解函数在点的导数定义、导数的几何意义、可导与连续的关系。
2.熟记求导基本公式和求导法则。
3.熟练掌握复合函数的求导。
4.掌握由方程确定隐函数的导数和由参数方程确定函数的导数。
5.会求曲线的切线方程。
6.理解函数的微分定义和微分的几何意义；掌握一阶微分形式不变性；会求一元函数的微分。

综 合 练 习

一、单项选择题：
1．设，且下述极限存在，则 （ ）。
A.； B.；
C.； D.以上都不对。
2．关于函数在处的性质关系，下列命题正确的是 （ ）。
A.连续则可导； B.可导则可微； C.有切线则可导； D.有极限则可导。
3．由方程所确定的曲线在点(0,0)处的切线斜率为 （ ）。
A. 1 ； B. 2 ； C. ；D. 。
4．设 ，则等于（ ）。
A.； B.； C.； D. 。
5．设，其中在x=a处连续，则= （ ）。
A. ； B. 0； C. ； D. 。
6．设，则 （ ）。
A. ； B. ；
C. ； D.以上都不对。
7．由方程确定的隐函数的导数 （ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
8．设，则= （ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
9．设函数，其中是可微函数，则 （ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
10．设，则 （ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
二、填空题：
1.设函数在处可导，则= ______________。
２.过曲线上的点（0，1）处的切线方程为 ______________。
3.设是可导的偶函数，已知，则= ______________。
4．设，当a=________时，在处可导。
５．，则______________。
６．设，则_________。
７．__________。
８．设，则______________。
９．设，则________。
10．设, 则______________。
三、计算题：
1.已知，求。
2.已知，求。

3.设，求。

4.设，求。

5.设函数由方程确定，求。

5.设函数由方程确定，求。

6.已知，求。

7.设，求。

8．设，求。

9.已知，求。

10.设函数 在处可导，求常数、。

第三章 导数的应用

复习重点：
1.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。
2.熟练掌握利用洛必达（L’Hospital）法则求未定式的极限。
3.掌握函数单调性和曲线凹凸性的判断方法；。
4.会求函数的极值点、曲线的拐点；会求简单的最大值、最小值应用问题。

综 合 练 习

一、填空题：
1．函数在区间上满足罗尔定理公式中的　　　　。
2．设函数上连续，在内可导，则　　　　存在一点，使
　　　　成立。
3．函数在区间　　　　内单调增加，在区间　　　　内单调减少，在点　　　　处有极值。
4．函数在上的极小值为　　　　。
5．函数在上的最大值点为　　　　，最大值为　　　　。
6．函数在闭区间上的最大值是　　　　。
7．如果曲线弧位于其上任一点切线的上方，则曲线弧是　　　　。
8．连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点是曲线的　　　　。
9．曲线的凸区间为　　　　，凹区间为　　　　，拐点为　　　　。
10．若函数在点处取得极小值，则　　　　，　　　　。
二、单选题
1．在区间上，下列函数中不满足罗尔定理的是（ ）。
A．； B .；
C. ； D .。
2．函数在区间上满足拉格朗日中值定理的是（ ）。
A.； B.； C.；D.。
3．下列各函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是（ ）。
A. ； B.；
C.； D.。
4．下列极限中能使用洛必达法则的是（ ）。
A.；B.； C.； D. 。
5．下列说法正确的是（ ）。
A．函数的驻点一定是极值点；
B．若在处可导，则在点处一定不可导；
C．若，则点一定是曲线的拐点；
D．若为函数的极值点，则或 不存在。
6．若函数在内则在内有（ ）。
A．；B.；
C.；D.。
7．函数在区间内是（ ）。
A．单调增加且凹； B.单调减少且凹； C．单调增加且凸； D.单调减少且凸。
8．点是函数的（ ）。
A．驻点但非极值点； B.拐点；
C．驻点且是拐点； D.驻点且是极值点。
9．函数的水平渐近线是（ ）。
A．不存在； B.；
C.； D.。
10．曲线是（ ）。
A. 只有水平渐近线；
B. 只有垂直渐近线；
C．既无水平渐近线又无垂直渐近线；
D. 既有水平渐近线又有垂直渐近线。
三、求下列函数的极限：
1.； 2.；

3.； 4.；

5.； 6.。

四、求下列函数的单调区间与极值：
1.； 2.；

3.； 4. 。

五、求函数在区间上的最大值和最小值。

六、求曲线的凹凸区间和拐点。

七、一租赁公司有40套设备要出租，当租金定为每套每月200元时，该设备可以全部出租；当租金每套每月增加10元时，出租的设备就会减少一套；而对于出租的设备，每套每月还需要花20元的维修费.问每套每月的租金定为多少时，该公司可获得最大利润？

八、求内接于半径为的半圆而周长为最大的矩形的各边之长。

第四章 一元函数积分

复习重点：
1.理解原函数的概念、不定积分的概念、定积分的概念、不定积分和定积分的性质。
2.熟记不定积分的基本积分公式。
3.掌握牛顿（Newton）—莱布尼茨(Leibniz)公式、不定积分的换元法和分部积分法、定积分的换元法和分部积分法。
4.会求平面图形的面积以及平面图形分别绕轴与轴旋转一周所得旋转体的体积。

综 合 练 习
一、选择题：
1．设，则（ ）。
A．； B．；
C．； D．。
2．下列计算正确的是（ ）。
A． ；B．；
c. ； D．。
3．设，，则（ ）。
A．；B．；C．；D．。
4．下列积分值为0的是（ ）。
A．； B．；
C．； D． 。
5．下列无穷积分收敛的是（　）。
A．；　　　B．；
C．； D．。　　 　　　
6．设的一个原函数为，则（ ）。
A．； B．-；
C．； D．-。
7．如果，则（ ）。
A．；B．；
c. ； D．。
8．已知，则（ ）。
A．； B．； C．； D．。

9．设的一个原函数为，则（ ）。
A．； B．；
C．； D． 。
10．（　）。
A.；B.；C.；D.。二、填空题：
1．若，则　　　　。
2．设，则=　　　　。
3．　　　　。
4． =　　　　。
5．　　　　。
6．　　　　。
7．　　　　。
8．　　　　。
9．　　　　。
10. 　　　　。
三、计算题：
1.； 2. ；

3. ； 4. ；

5. ； 6. ；

7. ； 8. ；

9. ； 10. ；

11. ； 12.；

13. ； 14. 。

四、计算下列极限：
1.； 2. ；

3.； 4.。

五、 判断下列广义积分是否收敛，若收敛，求其值。
1．； 2.；

3.； 4. 。

六、应用题。
1.计算与围成的平面图形面积。

2. (1) 计算=与以及轴围成的平面图形面积。
(2) 计算=与以及轴围成的平面图形分别绕轴与轴旋转一周所得旋转体的体积。

3. (1) 计算=与=9围成的平面图形面积。
(2) 计算=与=9围成的平面图形分别绕轴与轴旋转一周所得旋转体的体积。

第 五 章 微 分 方 程 基 础

复习重点：
1.理解微分方程的阶、解、通解、特解等概念。
2.掌握变量可分离微分方程、齐次方程及一阶线性微分方程的解法。
3.掌握几种可降阶的高阶微分方程的解法。
4.会建立简单的微分方程的模型。

综 合 练 习

一、单项选择题：
1. 下列微分方程中，（ A ）是二阶线性微分方程。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
2. 微分方程是（ B ）微分方程。
A. 一阶线性齐次 B. 一阶线性非齐次 C. 变量分离 D. 二阶线性齐次
3. 微分方程是（ B ）微分方程。
A. 一阶线性齐次 B. 一阶线性非齐次 C. 变量分离 D. 二阶线性齐次
4. 一曲线在其上任意一点处切线斜率为，则曲线是（ B ）。
A.直线； B.抛物线； C.双曲线；D.椭圆。
5. 下列方程是可分离变量方程的是（ A ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
6. 下列方程是齐次微分方程的是（ D ）。
A.；
B. ；
C. ； D. 。
7. 微分方程满足的特解是（ A ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
8. 方程的通解是（ ）。
A.； B. ；
C. ； D. 。
9. 微分方程的通解为（ ）。
A.；B.；C.；D.。
10. 微分方程满足的特解为（ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。

二、填空题：
1. 微分方程的阶数是　　　　。
2. 方程是　　　　阶微分方程。
3. 方程是　　阶微分方程。
4. 方程是　 阶微分方程。
5. 方程的通解是　　　　。
6. 微分方程的通解是　　　　。
7. 微分方程的通解是　　　　。
8. 的通解为　　 　　。
9. 微分方程的通解是　　　　。
10. 方程的通解是　　　　。
三、解答题：
1. 求满足的特解。

2. 求的通解。

3. 已知：，求。

4. 求微分方程的通解。

5. 求方程的通解。

6. 求微分方程满足初始条件的特解。

7. 求微分方程满足初始条件的特解。

8. 曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程。

9．小船从河边点处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为，船行方向始终与河岸垂直。又设河宽为，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为）。求小船的航行路线。

10. 已知边际收益是产量的函数，且当时，，求此收益函数。

模 拟 试 卷 一

一、选择题：
1．（ ）。
A．1； B. ； C. ； D. 。
2.是函数的（ ）。
A．连续点； B.可去间断点；
C.跳跃间断点； D.无穷间断点。
3．设函数 则（ ）。
A.；B. ；C.；D.。
4．已知则（ ）。
A．1； B. 2； C. 3； D. 4。
5. （ ）。
A. ； B. ；
C. ； D. 。
6. （ ）。
A.; B.;
C.； D.。
7.已知是的一个原函数，则( )
A．； B. ；C. ；D. 。
8.在下列各广义积分中，收敛的是( )
A. ； B. ；
C. ； D. 。
9.曲线的渐近线是（ ）。
A.；B.；C.； D. 。
10.下列方程中（ ）为线性微分方程。
A. ；
B. ；
C.；
D. 。
二、填空题：
1.计算=　　　　。
2. = 　　　　。
3.设函数在处连续，则　　　　。
4.函数的极值点为　　　　。
5.设函数则　　　　。
6.曲线在点处的切线方程为　　　　。
7. 　　　　。
8. 　　　　。
9. 　　　　。
10.微分方程的通解为　　　　。
三、求下列极限：
1. ； 2. 。

四、已知。

五、设，求。

六、求下列积分
1. ； 2. ；

3．； 4. 。

七、求函数的单调区间、极值点、凹向及拐点。

八、求内接于抛物线与轴所围区域内矩形的最大面积。

九、（1）求由曲线与所围成的平面图形（如图所示）的面积S；
（2）求（1）中的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

十、求解微分方程。

模 拟 试 卷 二

一、单项选择题：
1.若（常数），则在点处（　　）。
A.有定义，且；　
B.有定义，且可为任意值；
C.无定义；　　　　　　　　　
D.可以有定义，也可以没有定义。
2.下列极限计算正确的是（　　）。
A. ；　B. ；
C. ； D. 。
3.设，则＝（　　）．
A.；B.； C. ； D. 。
4.若在区间（）内是（　 　）。
A.单调增加且是下凹；
B.单调减少且是下凹；
C.单调增加且是上凹；　　　　
D.单调减少且是上凹。　
5.下列微分方程中，（　　）是变量可分离的方程。
A.；　B.；
C.；　　 D.。
6.已知：是的一个原函数，则( )。
A.； B.；
C.； D.。
7.在下列各广义积分中，收敛的是( )。
A.； B.； C.； D.。
8.曲线的渐近线是（ ）。
A.；B.；C.；D.。
９.函数在处（　　）。
Ａ.连续不可导； Ｂ.可导；
Ｃ.不可微； Ｄ.没有定义。
１０.下列（　）滿足罗尔定理的所有条件。
A.在； B.在；
C.在； D.在.。
二、填空题：
1.函数的可去间断点为____________。
2.已知函数
在处连续，
则 ____________。
3.曲线在点处的切线方程为____________。
4.在［－2，2］上的最小值是＿＿＿＿＿＿。
5.＝____________。
6.____________。
7.＝____________。
8.____________。
9.方程是________阶微分方程。
10.微分方程的通解是__________。
三、求下列极限：
1.； 2. 。

四、求下列导数或微分：
1.设，求。

2.设，求。

3.已知：　，求 。

4.已知由方程确定，求 。

五、求下列积分：
1.； 2.；　　　　　　　　

3.； 4.。

六、求微分方程的通解。

七、1.求由和所围图形的面积。

2.求上述图形绕轴旋转一周所得旋转体体积。

八、求内接于椭圆
面积为最大的矩形各边之长。

九、求函数的单调区间、极值点、凹向及拐点。

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