2022-2023学年山东省济南市济阳区数学九年级第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
4．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（ ）

A．OF=CF B．AF=BF C． D．∠DBC=90°
5．二次函数的部分图象如图所示，由图象可知方程的根是（ ）

A． B．
C． D．
6．已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十二边形
7．下列结论中，错误的有：（ ）
①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列事件中，必然发生的是 （ ）
A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
9．中，，是边上的高，若，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
10．若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（　 　）
A．3和2   B．4和2  C．2和2  D．2和4
11．如图，中，．将绕点顺时针旋转得到，边与边交于点（不在上），则的度数为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝4，AB＝6，BC＝12，则DE等于（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则的值是___．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝________．

15．数据﹣3，6，0，5的极差为_____．
16．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
17．已知m，n是方程的两个实数根，则．
18．点关于轴的对称点的坐标是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在中，，，垂足分别为，与相交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．

20．（8分）如图，在中，∠A=90°，AB=12cm，AC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以每秒2cm的速度移动，点Q沿CA边从点C开始向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q同时出发，用t表示移动的时间．

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形?
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
21．（8分）已知：如图，是正方形的对角线上的两点，且.
求证：四边形是菱形.

22．（10分）定义：如图1，在中，把绕点逆时针旋转（）并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连接．当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．

特例感知：
（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；

猜想论证：
（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．

23．（10分）如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果，，
①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为 ，线段的数量关系为 ；
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由．

24．（10分）如图，点A是我市某小学，在位于学校南偏西15°方向距离120米的C点处有一消防车.某一时刻消防车突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即沿路线CF赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为110米，问消防车的警报声对学校是否会造成影响？若会造成影响，已知消防车行驶的速度为每小时60千米，则对学校的影响时间为几秒？（≈3.6，结果精确到1秒）

25．（12分）如图所示，分别切的三边、、于点、、，若，，．

（1）求的长；
（2）求的半径长．
26．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AD＝1，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
2、A
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、C
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．
【详解】A、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得；
故本选项正确；
B、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，，
故本选项正确；
C、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x＋4）2＝7；
故本选项错误；
D、由原方程，得3x2−4x＝2，
化二次项系数为1，得x2−x＝
等式的两边同时加上一次项系数−的一半的平方，得；
故本选项正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4、A
【分析】分别根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行分析即可．
【详解】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，
∴AF=BF，，∠DBC=90°，
∴B、C、D正确；
∵点F不一定是OC的中点，
∴A错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
5、A
【分析】根据图象与x轴的交点即可求出方程的根．
【详解】根据题意得
，对称轴为
∵
∴
∴
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程图象的性质是解题的关键．
6、B
【分析】边心距与边长的比为，即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的夹角是15度．可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数．
【详解】如图，圆A是正多边形的内切圆；

∠ACD＝∠ABD＝90°，AC＝AB，CD＝BD是边长的一半，
当正多边形的边心距与边长的比为，即如图有AB＝BD，
则△ABD是等腰直角三角形，
∠BAD＝15°，∠CAB＝90°，
即正多边形的中心角是90度，
所以它的边数＝360÷90＝1．
故选：B．
【点睛】
本题利用了正多边形与它的内切圆的关系求解，转化为解直角三角形的计算．
7、B
【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④.
【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；
放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；
等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；
钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；
矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.
有2个错误，故选B.
【点睛】
本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.
8、B
【解析】A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．
9、B
【分析】根据题意画出图形，当△ABC中为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件可以推出△ABD∽△BCD，即可得出∠ABC的度数．
【详解】
（1）如图，当△ABC中为锐角三角形时，
∵BD⊥AC，
∴△ABD∽△BCD，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=∠C=60°，∠A=∠CBD=30°，
∴∠ABC=90°．
（2）如图，当△ABC中为钝角三角形时，

∵BD⊥AC，
∴△ABD∽△BCD，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=∠DCB=60°，∠A=∠DBC=30°，
∴∠ABC=30°．
故选择B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，将三角形分锐角三角形和钝角三角形分别讨论是解题的关键．
10、A
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数．
【详解】这组数的平均数为＝4，
解得：x＝2；
所以这组数据是：2，2，4，8；
中位数是（2＋4）÷2＝3，
2在这组数据中出现2次，4出现一次，8出现一次，
所以众数是2；
故选：A．
【点睛】
本题考查平均数和中位数和众数的概念．
11、D
【分析】根据旋转的性质可得∠B′=∠B=30°，∠BOB′=52°，再由三角形外角的性质即可求得的度数.
【详解】∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，
∴∠B′=∠B=30°，
∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，
∴∠BOB′=52°，
∵∠A′CO是△B′OC的外角，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解决问题的关键.
12、C
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出，再代入AD＝4，AB＝6，BC＝12即可求出DE的长．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴DE＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，平行于三角形一边的直线与三角形的两边相交，所截出的三角形与原三角形相似，故而依次得到线段成比例，得到线段的长.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据题意列出方程，求方程的解即可．
【详解】根据题意可得以下方程

解得 （舍去）
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
14、1， ，
【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，

∴,∴,∴DP=1;
②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．

∴,∴,∴DP=;
③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，

∴,∴,∴DP=;
④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。

综上所述，满足条件的DP的值为1， ，.
【点睛】
本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．
15、1
【分析】根据极差的定义直接得出结论．
【详解】∵数据﹣3，6，0，5的最大值为6，最小值为﹣3，
∴数据﹣3，6，0，5的极差为6﹣（﹣3）＝1，
故答案为1．
【点睛】
此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
16、y=x1+x﹣1．
【解析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，将抛物线y=x1+x向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x1+x﹣1．
17、3
【解析】根据题意得m+n=−2，mn=−5，
所以m+n−mn=2−（-5）=3.
18、
【分析】根据对称点的特征即可得出答案.
【详解】点关于轴的对称点的坐标是，故答案为.
【点睛】
本题考查的是点的对称，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识.

三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）只要证明∠DBF=∠DAC，即可判断．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】(1)，
，
，，
，
；
(2)由，可得，

，
，
．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的应用，相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．
20、（1）；（2）或．
【分析】（1）利用距离=速度×时间可用含t的式子表示AP、CQ、QA的长，根据QA=AP列方程求出t值即可；
（2）分△QAP∽△BAC和△QAP∽△CAB两种情况，根据相似三角形的性质列方程分别求出t的值即可．
【详解】（1）∵点P的速度是每秒2cm，点Q的速度是每秒1cm，
∴，，，
∵时，为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴当时，为等腰直角三角形．
（2）根据题意，可分为两种情况，
①如图，当∽时，，
∴，
解得：，

②当∽，，
∴，
解得：，

综上所述：当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，正确列出关于t的方程式是解题的关键．
21、见解析
【解析】连接AC，交BD于O，由正方形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD根据BE=DF可得OE=OF，由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定，
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∵OA=OC，AC⊥EF，OE=OF，
∴四边形AECF为菱形．

【点睛】
本题考查了正方形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形的判定，对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键.
22、（1）①4，②；（2），证明见解析．
【分析】（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；如图2，过点A作，易证，根据易得结论．
（2）延长到，使得，连接，易证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论．
【详解】（1）如图1，

∵，
∴
∵，
∴
∴
∵BC=4，
∴，
∵D是的中点，
∴AD=;
如图2，

∵，，
∴
根据“倍旋中线”知等腰三角形，
过A作，垂足为
∴， ，
∵D是等边三角形的边的中点，
且
∴
∴
∴
（2）结论：
理由：如图，延长到，使得，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴

【点睛】
本题属于几何变换综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
23、（1）①垂直，相等；②见解析;（2）见解析.
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，于是得到∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，证得AC=AG，根据（1）的结论于是得到结果．
【详解】（1）①正方形ADEF中，AD=AF．
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF．
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．
故答案为垂直、相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°．
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，
∴∠AGC=90°﹣45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG．
在△GAD与△CAF中，，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键．
24、4秒
【分析】作AB⊥CF于B，根据方向角、勾股定理求出AB的长，根据题意比较得到消防车的警报声对听力测试是否会造成影响；求出造成影响的距离，根据速度计算即可．
【详解】解：作AB⊥CF于B，由题意得：

∠ACB=60°，AC=120米，则∠CAB=30°
∴米，
∴米，　
∵＜110，
∴消防车的警报声对学校会造成影响，
造成影响的路程为米，
∵秒，
∴对学校的影响时间为4秒．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
25、（1）4；（2）2
【分析】（1）设AD=x，根据切线长定理得到AF=AD,BE=BD,CE=CF,根据关系式列得方程解答即可；
（2）连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，将△ABC分为三个三角形：△AOB、△BOC、△AOC，再用面积法求得半径即可.
【详解】解：（1）设 ，
分别切 的三边 、、 于点 、、，
，
，，，
，，
，
即 ，得 ，
的长为 ．
（2）如图，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，
则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且OD=OE=OF=2，
∵，，,
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，
∴△ABC的面积=,
∴,
∴OD=2,即的半径长为2.

【点睛】
此题考查圆的性质，切线长定理，利用面积法求得圆的半径，是一道圆的综合题.
26、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）连接OC，由OB＝OC，利用等边对等角得到∠BCO＝∠B，由∠ACD＝∠B，得到∠ACD+∠OCA＝90°，即可得到EF为圆O的切线；
（2）证明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC＝2，由勾股定理求出BC的长即可；
（3）求出∠B＝30°，可得∠AOC＝60°，在Rt△ACD中，求出CD，然后用梯形ADCO和扇形OAC的面积相减即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵∠ACD＝∠B，∠ACB＝∠ADC，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，
∴AC2＝AD•AB＝1×4＝4，
∴AC＝2，
∴；
（3）解：∵在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
在Rt△ADC中，∠ACD＝∠B＝30°，AD＝1，
∴CD＝＝＝，
∴S阴影＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC＝．

【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及扇形面积的计算，熟练掌握圆的基本性质是解本题的关键．