电动力学课后答案.pdf

1.根据算符的微分性与矢量性推导下列公式 BABAABABBArrrrrrrrrr)()()()()(+=AAAAArrrrr)(21)(2=解1BABAABABBAvvvvvvvvvv)()()()()(+=首先算符是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题将作用于BAvv和又是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式bacbcabacvvvvvvvvv)()()(=可得上式 其中右边前两项是作用于Av后两项是作用于Bv2根据第一个公式令AvBv可得证2.设 u 是空间坐标 xyz 的函数证明 .)()()(duAduuAduAduuAududfufrrrr=证明1ududfezududfeyududfedudfezufeyufexufufzyxxuzyx=+=+=rrrrrr)()()()(2duAduzudzuAdyuduuAdxuduuAdzuzAyuAxuAuAzyxzyxrrrrrrrr=+=+=)()()()()()()(3+=zxyyzxxyzzyuxzyxeyAxAexAzAezAyAuAuAAzyxeeeuArrrrrrrrrrrrrrrr)()()()()()()(duAdueyuduAdxuduAdexuduAdzuduAdezuduAdyuduAdzxyyzxxyzrrrrrrrrrr=+=)()()(7有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球介质的电容率为使介质内均匀带静止自由电荷f求1 空间各点的电场2 极化体电荷和极化面电荷分布解1=dVSdDfSrr,(r2rr1)frrrD)(3443132=即 )(,3)(123313rrrrrrrEf=rr 由)(,)(342313200rrrrQSdEffS=rr )(,3)(2303132rrrrrrEf=rr 01时Errr2)EEEPerrrr)(00000=)(33)()()(3310331300rrrrrrrrEPffPrrrrr=ff)()03(300=nnPPP21=考虑外球壳时rr2 n 从介质 1 指向介质 2介质指向真空02=nPfrrfnPrrrrrrrP32313203313013)1(3)(2=r考虑到内球壳时rr203)(133130=rrfPrrrrr9证明均匀介质内部的体极化电荷密度P总是等于体自由电荷密度f的倍)1(0证明ffPEEP)1()()()(0000=rrr电动力学 第 页1兰老师 3.设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动以 z0 区域为真空试用唯一性定理求磁感应强度 B然后求出磁化电流分布解本题的定解问题为 =010020212201211)0(,)0(,zzzAAAAzJAzJArrrrrrrr由本题具有轴对称性可得出两个泛定方程的特解为 =rlIdxArlIdxArrrrrr4)(4)(201由此可推测本题的可能解是=)0(,2)0(,20zerIzerIBrrr验证边界条件10)(,12021=BBnAAzrrrrr即 题中0,=eeenzzrrrr且所以边界条件 1满足20)(,111201002=HHnAAzzrrrrr即本题中介质分界面上无自由电流密度又 erIBHerIBHrrrrrr2222011=,012=HHrr满足边界条件0)(12=HHnrrr 综上所述由唯一性定理可得本题有唯一解=)0(,2)0(,20zerIzerIBrrr 在介质中MBHrrr=0故在 z0 的介质中202HBMrrr=即erIerIerIMrrrr)1(22200=介质界面上的磁化电流密度rzMerIeerInMrrrrrr)1(2)1(200=总的感应电流)1()1(20200=IedrerIl dMJMrrrr电流在 z0 的空间中 沿 z 轴流向介质分界面4.设 x0 空间为真空 今有线电流 I 沿 z 轴流动 求磁感应强度和磁化电流分布解假设本题中得磁场分布仍呈轴对称则可写作 erIBvv2=其满足边界条件0)(0)(1212=vvvvvvvHHnBBn 即可得在介质中 erIBHvvv22=而MerIMBHvvvvv=0022在 xpQ 0)(h即 散射后频率降低28.一个处于基态的原子吸收能量为h的光子跃迁到激发态基态能量比激发态能量低w求光子的频率解设原子基态静止质量为1M激发态静止质量为0M光子能量为h=h动量为kvh原子吸收光子后动量为pv设原子基态时静止 吸收前四维动量为),(211hvh+=cMkp 吸收后四维动量为),(420222cMcppp+=v由四维动量守恒+=+=)2(,)1(,4212221cMcpcMkphvhr由1得 ckphh=得 2222h=cp 3 又wcMcM=2120 得221420)(wcMcM+=43(4)代入2得22122221)()(wcMcM+=+hh整理得 2212121222wwcMhcMcM+=h 光子频率)21(21cMwhw+=电动力学 第 页5 25.频率为的光子能量为h动量为kvh碰在静止的电子上试证明1 电子不可能吸收光子否则能量和动量守恒定律不能满足2 电子可以散射这个光子散射后光子频率比散射前光子频率小不同于经典理论中散射光频率不变的结论证明1设电子可以吸收这个光子反应后它的动量为pv反应前光子能量h电子能量2cme反应后能量为 2242cpcme+由动量守恒 pkvvh=pk=h 1能量守恒 22422cpcmcmee+=+h 21 式代入2式得 2422422)()(hhh+=+=+cmkccmcmeee022=cmeh 显然此式不成立所以电子不可能吸收光子否则能量和动量守恒定律不能满足兰老师