光学课后习题解答.doc

第一章 光的干涉
1、波长为的绿光投射在间距d为的双缝上，在距离处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离.若改用波长为的红光投射到此双缝上,两个亮条纹之间的距离又为多少?算出这两种光第级亮纹位置的距离.
解：由条纹间距公式 得

2．在杨氏实验装置中,光源波长为,两狭缝间距为,光屏离狭缝的距离为.试求：(1)光屏上第亮条纹和中央亮条纹之间的距离；（2）若p点离中央亮条纹为，问两束光在p点的相位差是多少？（3）求p点的光强度和中央点的强度之比.
解：（1）由公式  
得   =
（2）由课本第20页图1-2的几何关系可知

 由公式 得

3．把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中,光屏上原来第5级亮条纹所在的位置为中央亮条纹,试求插入的玻璃片的厚度.已知光波长为6×10-7m.
解：未加玻璃片时，、到点的光程差，由公式可知为
Δr =
现在发出的光束途中插入玻璃片时，点的光程差为

所以玻璃片的厚度为

4. 波长为500nm的单色平行光射在间距为0.2mm的双狭缝上.通过其中一个缝的能量为另一个的2倍,在离狭缝50cm的光屏上形成干涉图样.求干涉条纹间距和条纹的可见度.
解：

7. 试求能产生红光(λ=700nm)的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度.已知肥皂膜折射率为1.33,且平行光与发向成30°角入射.
解：根据题意

8. 透镜表面通常镀一层如MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射．为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm）处产生极小的反射,则镀层必须有多厚?
解：可以认为光是沿垂直方向入射的。即
    由于上下表面的反射都由光密介质反射到光疏介质，所以无额外光程差。
因此光程差
如果光程差等于半波长的奇数倍即公式  ，则满足反射相消的条件
因此有         
所以        
当时厚度最小  
9. 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸,另一边相互压紧.玻璃片l长10cm,纸厚为0.05mm,从60°的反射角进行观察,问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少?设单色光源波长为500nm.
解：由课本49页公式（1-35）可知斜面上每一条纹的宽度所对应的空气尖劈的厚度的变化量为    

        如果认为玻璃片的厚度可以忽略不记的情况下，则上式中。而厚度h所对应的斜面上包含的条纹数为

        故玻璃片上单位长度的条纹数为
             条/厘米
10. 在上题装置中,沿垂直于玻璃片表面的方向看去,看到相邻两条暗纹间距为1.4mm。—已知玻璃片长17.9cm,纸厚0.036mm,求光波的波长。
解:依题意,相对于空气劈的入射角 

11. 波长为400760nm的可见光正射在一块厚度为1.2×10-6m,折射率为1.5玻璃片上,试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强.
解：依题意，反射光最强即为增反膜的相长干涉，则有：

故     
 当时，
  当时， 
    当时，
    当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以，在的可见光中，从玻璃片上反射最强的光波波长为

12. 迈克耳孙干涉仪的反射镜M2移动0.25mm时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。
解：根据课本59页公式可知，迈克耳孙干涉仪移动每一条条纹相当h的变化为：

现因 ，  故 
所对应的h为

      故   
13. 迈克耳孙干涉仪平面镜的面积为４×４cm2，观察到该镜上有20个条纹。当入射光的波长为589nm时，两镜面之间的夹角为多大？
解： 因为 
所以 
所以 
又因为 
所以 
15. 用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm，在它外边第5个亮环的直径为4.6mm，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m，求此单色光的波长。
解：对于亮环，有   （）
所以        
所以 
16. 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环。其第2级亮环与第3级亮环间距为1mm，求第19和20级亮环之间的距离。
解：对于亮环，有   （）
所以            
又根据题意可知

两边平方得

所以  
故                                                                                                                                  

第二章 光的衍射
1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第к个带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。
  解：  而

      将上式两边平方，得

     略去项，则 
     将 带入上式，得

2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm。
解：（1）根据上题结论 
将代入，得

当k为奇数时，P点为极大值；
k为偶数时，P点为极小值。
（2）P点最亮时，小孔的直径为

3．波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。
解：根据题意    
    有光阑时，由公式
    得    

    按圆孔里面套一个小圆屏幕

    没有光阑时

      所以       
7. 平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.
解：设P点离焦点的距离为y，透镜的焦距为。缝宽为，则位相差和光程差的关系式为
故      
当缝的两边到P点的位相差为时，P点离焦点的距离为

当缝的两边到P点的位相差为时，P点离焦点的距离为

8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.
解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知

  得    
  所以     
  所以该光为紫色光.
9. 波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少?
 解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:

得第一、第三最小值的位置分别为

  由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式

得    
10. 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?
解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式 
得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为

    那么   
    如果改用时

12. 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为400nm，最长的红光波长为760nm)
解：由光栅方程 得

    所以       

    所以      
式中    
所以    
13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？
解：根据光栅方程

得    
       ，
因为  >    所以   一级和二级不重叠.
而    

因为   <   所以二级和三级光谱部分交迭.
设第3级紫光和第2级波长的光重合
     则 
所以 
设第2级红光和第3级波长为的光重合
     则 
所以
综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的与三级光谱的重叠.
15. 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以角入射时,最多能观察到几级光谱?
解: 根据光栅方程  得
可见的最大值与的情况相对应(真正等于1时,光就不能到达屏上).
    根据已知条件,并取则得
         (此处只能取整数,分数无实际意义)
    即能得到最大为第四级的光谱线.
 (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程  ,可得                       
 同样,取得

    即能得到最大为第六级的光谱线.
16. 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光？其颜色如何？
解: 由题意可知             
   当时,     由公式
   得
   当时, 
   所以      这里可取3, 4, 5
   当时     (为红色)
   当时     (为绿色)
   当时     (为紫色)
17. 用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？
    解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度

   (2)  单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定

        式中为光栅的光栅常数.
        所以看到的级数为3.
  (3) 谱线的半角宽度的公式为:
     令   

第三章　几何光学基本原
1、证明反射定律符合费马原理。
证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。C

A

O

B

O‘

B‘

•
•

O

•
•

题3.19图

•
•

•
•

i

i’

n

n’

，在介质n与的界面上，入射光A遵守反射定律,
经O点到达B点，如果能证明从A点到B点的所有光程中AOB是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。
设C点为介质分界面上除O点以外的其他任意一点，连接ACB并说明光程 ACB>光程AOB
由于ACB 与AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB与AOB的大小。
从B点到分界面的垂线，垂足为，并延长至 B′，使，连接 ，根据几何关系知，再结合，又可证明∠°，说明三点在一直线上， 与AC和组成Δ，其中。
又∵

即符合反射定律的光程是从A点到B点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。
4．玻璃棱镜的折射棱角A为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.
解：由最小偏向角定义得 n=sin/sin,得=46゜１６′
由几何关系知，此时的入射角为:i==５３゜８′
当在C处正好发生全反射时：i2’= sin-1 =38゜41′,i2=A- i2’=21゜19′
i1= sin-1(1.6sin21゜19′)= 35゜34′
ｉmin＝３５゜３4′
６．高５cm的物体距凹面镜的焦距顶点12cm，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度，并作光路图．
解：∵     又  
∴，即，
    ∴=-25cm
即像在镜前60cm处，像高为25cm
７．一个５cm高的物体放在球面镜前１０cm处成1cm高的虚像．求（１）此像的曲率半径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？
解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，
  ∵
  ∴，  又  ，  ∴  ，所以此镜为凸面镜。
10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的折射率为多少?
解：设球面半径为r，物距和相距分别为s和,由物像公式:
S=,=2r,n=1,得=2
11.有一折射率为1.5,半径为4cm的玻璃球,物体在距球表面6cm处,求(1)物所在的像到球心之间的距离;(2)像的横向放大率.
解：的玻璃球。
   对第一个球面，
     ，
对第二个球面
∴    ∴
∴从物成的像到球心距离

14.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为2cm.将它水平地浸入折射率为1.33的水中,沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光路图.
解:             ∴

    ∵    

15.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为10cm.一物点在主轴上距离20cm处,若物和镜均浸在水中,分别用作图法和计算法求像点的位置.设玻璃的折射率为1.5,水的折射率为1.33.
解：（！）对于凸透镜：由薄透镜焦距公式得： =-39.12 ,
由透镜成像公式：，s=20cm, 得=-40.92
（2）对于凹透镜：由薄透镜焦距公式得:  f= -=39.12
由透镜成像公式：，s=20cm, 得=-13.2
F

S

O

（3）作图：
                                           ‘

                           （1）
F

S

O

                                   （2）
16.一凸透镜在空气中的焦距为40cm,在水中时焦距为136.8cm,问此透镜的折射率为多少(水的折射率为1.33)?若将此透镜置于CS2中(CS2的折射率为1.62),其焦距又为多少?
解：由题意知凸透镜的焦距为：
 又∵在同一介质中，   设
 ∴     因为对同一凸透镜而言是一常数，
设 ，当在空气中时 ，在水中时
∴      ，   两式相比，可n=1.54，将其代入上式得  ∴在中即， ，
得.即透镜的折射率为1.54，在CS2中的焦距为-437.4cm  
17.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为20cm和25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的双凸透镜,把它置于水中,求其焦距为多少?
解：由薄透镜焦距公式：  ，
其中n=1,n1=n2=1.33, r1=20cm,r2=25cm,得
=-44.8cm
18.会聚透镜和发散透镜的焦距都是１０cm,求(1)与主轴成30度的一束平行光入射到每个透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴1cm 处各置一发光点,成像在何处?作出光路图.

解：(1)由，s =, 对于会聚透镜：x==10cm, y=xtg30。=5.8cm 或者y=xtg(-30。)=-5.8cm， 像点的坐标为(10,|5.8|) 同理，对于发散透镜：像点的坐标为(-10,|5.8|)

F

S，(10,5.8)

O

30。

30。

（a）

F

S(-10,-5.8)

O

(b)

(2) 由，s =f , 对于会聚透镜：x= ，即经透镜后为一平行光束。
对于发散透镜：x=-5cm，又 ，=0.5cm，
考虑到物点的另一种放置， =-0.5cm，像点的坐标为(-5,|0.5|)
27．双凸透镜的折射率为1.5，  │r1│=10cm，│r2  │=15cm，r2 的一面镀银，污点P在透镜的前主轴上20cm处，求最后像的位置并作出光路图。
解：经第一界面折射成像： ，=1.5 , =1,1=10cm,1=-20cm
所以 1→，即折射光为平行光束
经第二界面反射成像： ，2=1→，2=-15cm ,所以2=-7.5cm
再经第一界面折射成像：  ，=1 , =1.5,1=10cm,3=2=-7.5cm
所以3=-4cm ,即最后成像于第一界面左方4cm处。