《3.7-点到平面的距离》同步练习.doc

《3.7 点到平面的距离》同步练习

1．若O为坐标原点，OA＝(1，1，－2)，OB＝(3，2，8)，OC＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为 (　　)．
A. B．2
C. D.
解析　由题意OP＝(＋)＝，PC＝OC－OP＝(－2，－，－3)，PC＝|PC|＝ ＝.
答案　D

2．如右图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1). 因O为A1C1的中点，所以O，＝，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取n＝(1，0，1)，
∴O到平面ABC1D1的距离为：d＝＝＝.
答案　B
3．在直角坐标系中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为 (　　)．
A．2 B.
C. D．3

解析　如图，AB＝AE＋EF＋FB，
Ｋ2＝Ｋ2＋Ｋ2＋Ｋ2＋2·EF＋2·FB＋2·
＝Ｋ2＋Ｋ2＋Ｋ2＋2·FB
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44.
∴|AB|＝2.
答案　A
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为________．
答案　
5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．
解析　∵α∥β，∴u1∥u2.
∴＝＝.
∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.
答案　－3

6．如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：
(1)与所成的角；
(2)P点到平面EFB的距离．
解　建立空间直角坐标系，使得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P，Q，
(1)所以＝，＝，
·＝×＋0＋×(－a)＝－a2，
且|PM|＝a，|FQ|＝a，
所以cosPM，FQ＝＝＝－，
故得两向量所成的角为150°.
(2)设n＝(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，即|n|＝1，n⊥平面EFB，所以n⊥，且n⊥，又＝(－a，a，0)，
＝(0，－a，a)，即由得其中的一组解是∴n＝，PE＝，
设所求距离为d，则d＝|PE·n|＝a.

7．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为
(　　)．
A.　　 B.　　
C.　　 D．2
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2).

AD＝(0，0，2)，AE＝(1，1，0)，
AC＝(0，2，2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝1，∴n＝(－1，1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝||＝||＝.
答案　B
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　如图所示，BA＝(2，0，0)，

BE＝(1，0，2)，
∴cos θ＝＝＝，
∴sin θ＝＝，
A到直线BE的距离d＝|AB|sin θ＝2×＝.
答案　B
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为________．
解析　以D为空间直角坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)．
设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量，
则有即
∴令x＝1，∴n＝(1，－1，－1)．
∴点A到平面A1BD的距离
d＝＝＝a.
答案　a
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是________．

解析　如图所示建立空间直角坐标系，设n为异面直线D1E与BC1公垂线的方向向量，并设n＝(x，y，z)，
则有
易求得n＝(1，－2，1)，
∴d＝＝＝＝.
答案　
11．边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，DG＝DD1，过E、F、G的平面交AA1于点H，求A1D1到面EFGH的距离．

解　如图，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E，F，
G，D1(0，0，1)．
＝(－1，0，0)，＝，
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0且n·＝0，
即
令z＝6，可得n＝(0，－1，6)．
又＝(0，1，－)，∴d＝＝.
又∵A1D1∥平面EFGH
∴A1D1到平面EFGH的距离为.
12．(创新拓展)已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1与B1D1的交点．
若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高h.

解　建立如图所示的坐标系，则A(0，0，h)，B1(1，0，0)，C(1，1，h)，D1(0，1，0)．
＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)
设平面AB1D1的一个法向量为n＝
(x，y，z)．
由得取z＝1得n＝(h，h，1)．
∴C到平面AB1D1的距离d＝
＝＝，∴h＝2.