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课时作业8　辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法
时间：45分钟　　分值：100分

一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列各组数的最大公约数不正确的是(　　)
A．16和12的最大公约数是4
B．78和36的最大公约数是6
C．85和357的最大公约数是34
D．105和315的最大公约数是105
解析：用更相减损术求它们的最大公约数：(85,357)→(85,272)→(85,187)→(85,102)→(85,17)→(68,17)→(51,17)→(34,17)→(17,17)，所以85和357的最大公约数是17.
答案：C
2．用“辗转相除法”可求得21672,8127的最大公约数是(　　)
A．2709　　　 B．2606　　　
C．2703　　　 D．2706
解析：用辗转相除法转化．解法如下(21672,8127)→(5418,8127)→(5418,2709)，可见5418是2709的倍数，故所求最大公约数是2709.
答案：A
3．用“更相减损术”可求得459与357的最大公约数是(　　)
A．3 B．9
C．17 D．51
解析：459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51.102－51＝51，所以459和357的最大公约数是51.
答案：D
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为(　　)
A．－144 B．－136
C．－57 D．34
解析：根据秦九韶算法多项式可化为
f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.
答案：B
5．用秦九韶算法计算当x＝2时，f(x)＝3x3＋7x2－9x＋5的值为(　　)
A．39 B．37
C．59 D．26
解析：秦九韶算法求多项式的值时要先将多项式改写，然后由内向外逐层计算：f(x)＝(3x2＋7x－9)x＋5＝((3x＋7)x－9)x＋5，
令x＝2，由内向外依次得：
v0＝3，v1＝3×2＋7＝13，
v2＝13×2－9＝17，
v3＝17×2＋5＝39，f(2)＝39.
答案：A
6．如下的程序框图是古代一数学家的算法的程序框图，它输出的结果s代表(　　)

图1
A．一个数列的和
B．一个多项式系数的和
C．自变量取x0时，n次多项式函数的值
D．自变量取x0时，n个代数式的值
解析：结合该程序框图及秦九韶算法求n次多项式的值的方法可知，该程序框图的作用是求一个n次多项式函数的值．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．117与182的最大公约数是__________．
解析：本题采用辗转相除法，过程如下：(117,182)―→(117,65)―→(52,65)―→(52,13)，故最大公约数是13.
答案：13
8．用更相减损术求81与135的最大公约数时，要进行__________次减法运算．
解析：辗转相减的过程如下：
135－81＝54,81－54＝27,54－27＝27
要进行3次减法运算．
答案：3
9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值为__________．
解析：先改写多项式，由内向外计算．
f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，
当x＝－2时，
v0＝1，v1＝v0×(－2)＋5＝3，
v2＝3×(－2)＋10＝4，
v3＝4×(－2)＋10＝2，
v4＝2×(－2)＋5＝1，
v5＝1×(－2)＋1＝－1.
故f(－2)＝－1.
答案：－1
三、解答题(共49分)
10．(14分)用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．
(1)294,84；(2)228,1995.
解：(1)294＝84×3＋42
84＝42×2
即294与84的最大公约数是42.
验证：∵294与84都是偶数可同时除以2，
即取147与42的最大公约数后再乘以2.
147－42＝105，
105－42＝63，
63－42＝21，
42－21＝21，
∴294与84的最大公约数为21×2＝42.
(2)1995＝8×228＋171
228＝1×171＋57
171＝3×57＋0
∴57就是228和1995的最大公约数．
验证：1995－228＝1767
1767－228＝1539
1539－228＝1311
1311－228＝1083
1083－228＝855
855－228＝627
627－228＝399
399－228＝171
228－171＝57
171－57＝114
114－57＝57
57－57＝0
∴228与1995的最大公约数是57.
11．(15分)用秦九韶算法求多项式f(x)＝x7－2x6＋3x3－4x2＋1当x＝2时的函数值．
解：先将多项式f(x)进行改写：
f(x)＝x7－2x6＋3x3－4x2＋1
＝((((((x－2)x＋0)x＋0)x＋3)x－4)x＋0)x＋1，
由内向外逐层计算
v0＝1，v1＝v0x＋a6＝1×2－2＝0，
v2＝v1x＋a5＝0×2＋0＝0，
v3＝v2x＋a4＝0×2＋0＝0，
v4＝v3x＋a3＝0×2＋3＝3，
v5＝v4x＋a2＝3×2－4＝2，
v6＝v5x＋a1＝2×2＋0＝4，
v7＝v6x＋a0＝4×2＋1＝9，
故f(2)＝9.

12．(20分)现有长度2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计，才能保证正方体体积最大且不浪费材料？
解：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数；要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数．
用“等值算法”求得2.4和5.6的最大公约数：(2.4,5.6)→(2.4,3.2)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8 m时，体积最大且不浪费材料．